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丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021 届六校联考理科数学试卷命题人:上高二中 审题人:上高二中 2021 年元 2 日本试卷总分值为 150 分 考试时长 120 分钟考试范围:高考范围一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数 ,则复数 的虚部为( )A.-1 B.1 C.-i D.i2.已知集合 , ,则 ( )A. B.C. D.3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ,则侧棱与底面外接圆半径的比为( )A. B. C. D.4.已知点 是抛物线 上的一个动点,则点 到点 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是( )A. B. C. D. 1z i i⋅ = − + z{ | 2 7 0}A x N x= ∈ − 2{ | 3 4 0}B x x x= − − ≤ A B ={ }1,2,3 { }0,1, 2,37|2x x ≤  7| 02x x  ≤  α12cosα12sinαsin3πsin8α cos3πcos8αP 2 8y x= P (0, 2)A2 5 3 2 2 55.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其线性相关系数比较,正确的是( )A. B.C. D.6.已知函数 ,则 在 处的切线方程为( )A. B. C. D. 7.函数 的图象如图所示,为了得到 的图象,只需把 的图象上所有点( )A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位8.在 的展开式中, 的系数是( )A.20 B. C. D.9.若 ,则 ( )A. B. 或 C. 或 D.2 4 3 10r r r r 4 2 1 30r r r r 4 2 3 10r r r r 2 4 1 30r r r r ( ) ( )2 1 xf x x x e= + + ( )f x (0 ( ))0f,1 0x y+ + = 1 0x y− + =2 1 0x y+ + = 2 1 0x y− + =( ) ( )cos 0,2f x xπω ϕ ω ϕ = +   siny xω=( )y f x=6π12π6π12π( )62xy x y − +  3 4x y1525−252−23sin 2 2sin 0α α− =πcos 24α + =  7 210− 227 210− 210− 222210.在三棱锥 中, 平面 ,则三棱锥 的外接球的表面积是( )A. B. C. D. 11.已知点 为直线 上的动点,过点 引圆 的两条切线,切点分别为 , ,则点 到直线 的距离的最大值为( )A. B. C. D.12.已知函数 ,若对于任意的 ,函数在 内都有两个不同的零点,则实数 的取值范围为( ).A. B. C. D.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知 , 满足约束条件 ,则 的最小值为______.14.设向量 , 满足 , ,且 ,则 __________.15.设 , 分别是双曲线 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 ,使 , 为坐标原点,且 ,则该双曲线的离心率为__________.16.在三棱锥 中,已知 , , , ,则三棱锥 ABCD 体积的最大值是______.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。17.已知数列 中, ,(1)求证: 是等差数列;P ABC− PA ⊥ ABC 120 2 2 4BAC AP AB AC∠ = = = =, ,P ABC−18π 36π 72π 40πM 3 0x y+ − = M 2 2 1x y+ =A B ( )0, 1P − AB32531121731( ) xf x xe −= ( 20 0,x e ∈  ( )2 0( ) ln 1g x x x ax f x= − + − +( 20,e  a2231,ee −  223,ee −∞ −  2 2,e ee e − +  21,ee −  x y012 2xx yx y≥ + ≥ + ≤3 2z x y= +ab3a =1b = 1cos ,6a b = 2a b− = 1F 2F ( )2 22 21 0, 0x ya ba b− = P ( )2 2 0OP OF F P+ ⋅ =  O 1 23PF PF= A BCD− AD BC⊥ 8AD = 2BC = 10AB BD AC CD+ = + ={ }na 1 1a = 1( 1)( )2nnnn aa n Nn a∗++= ∈+nna   (2)若 ,且数列 ,数列 的前 项和为 ,求 的取值范围.18.如图,等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E 为 CD 中点,以 AE为折痕把△ADE 折起,使点 D 到达点 P 的位置(P∉平面 ABCE).(1)证明:AE⊥PB;(2)若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 ,求二面角 A﹣PE﹣C 的余弦值.19.为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了 40 间大棚(每间一亩),分成两组,每组 20 间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图:(1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由;(2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为 6 千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每1n n nc a a +=43n nbn=⋅{ }n nb c n nT nT4π年的成本为 0.22 千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为 0.2 千元/亩.已知该农场共有大棚 100 间(每间 1 亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为 1 千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润;(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过 5.25 千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的 20 间大棚中随机抽取 3 间,记增产明显的大棚间数为 ,求 的分布列及期望.20.已知椭圆 的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点,且椭圆经过点 .(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 与圆 相切于点 ,且交椭圆 于 两点,射线 于椭圆 交于点 ,设 的面积与 的面积分别为 .①求 的最大值;②当 取得最大值时,求 的值.21. 定义在 的函数 (其中 R).(1)若 ,求 的最大值;(2)若函数 在 处有极小值,求实数 a 的取值范围.(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。X X( )2 22 2: 1 0x yM a ba b+ = 22,2N    M( )0y kx m k= + ≠ 2 2 3:4E x y+ = P M ,A BOP M Q OAB∆ QAB∆ 1 2,S S1S1S12SS( )0,+¥ 1( ) ( 1) ln exf x a x x x−= − − + a ∈0a = ( )f x( )f x 1x =22.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(Ⅰ)求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程;(Ⅱ)已知点 设直线 与曲线 相交于 两点,求 的值.23.已知函数 .(1)当 时,解不等式 ;(2)设不等式 的解集为 ,若 ,求实数 的取值范围.xOy C22x my m ==m Ox l sin cos 1 0ρ θ ρ θ− + =l C( )2,1 ,P l C ,M N 1 1PM PN+1( ) | | ( )3f x x a a= − ∈ R2a =1( ) 13x f x− + ≥1( )3x f x x− + ≤ M1 1,3 2M  ⊆  a丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021 届六校联考理科数学试卷答案BBAC,BDAD,BCDA13. 2 14. 15. 16. 17.解:(1) ,,,是以 为首项,2 为公差的等差数列.(2)由(1)可得 ,所以 ,因为 ,所以 是递增数列,的最小值为 ,又因为35 3 1+1623 1( 1)( )2nnnn aa n Nn a∗++= ∈+1212nn n nn an na a a+++∴ = = +112n nn na a++∴ − =111a=nna ∴  12 1nnna∴ = −2 1nnan=−( 1)(2 1)(2 1)nn ncn n+=− +14( 1) 1 13 (2 1)(2 1) 3 (2 1) 3 (2 1)n n n n nnb cn n n n−+= = −− + − +2 11 1 1 1 1 11 13 3 3 3 3 5 3 (2 1) 3 (2 1) 3 (2 1)n n n nTn n n−= − + − + + − = −⋅ ⋅ ⋅ − + +1 1 11 1 4 803 (2 1) 3 (2 3) 3 (2 1)(2 3)n n n n nnT Tn n n n+ + ++− = − = + + + +{ }nTnT 189T = 1nT 18.(1)连接 BD,设 AE 的中点为 O,∵AB∥CE,AB=CE CD,∴四边形 ABCE 为平行四边形,∴AE=BC=AD=DE,∴△ADE,△ABE 为等边三角形,∴OD⊥AE,OB⊥AE,折叠后 ,又 OP∩OB=O,∴AE⊥平面 POB,又 PB⊂平面 POB,∴AE⊥PB.(2)在平面 POB 内作 PQ⊥平面 ABCE,垂足为 Q,则 Q 在直线 OB 上,∴直线 PB 与平面 ABCE 夹角为∠PBO ,又 OP=OB,∴OP⊥OB,∴O、Q 两点重合,即 PO⊥平面 ABCE,以 O 为原点,OE 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,0, ),E( ,0,0),C(1, ,0),∴ ( ,0, ), ( , ,0),设平面 PCE 的一个法向量为 (x,y,z),则 ,即 ,令 x 得 ( ,﹣1,1),又 OB⊥平面 PAE,∴ (0,1,0)为平面 PAE 的一个法向量,819 nT∴ ≤ 12=,OP AE OB AE⊥ ⊥4π=321232PE = 1232− EC = 12321n =1100n PEn EC ⋅ =⋅ =  1 302 21 302 2x zx y− = + =3= 1n =32n =设二面角 A﹣EP﹣C 为 α,则|cosα|=|cos | ,由图可知二面角 A﹣EP﹣C 为钝角,所以 cosα .19.(1)第一组数据平均数为 千斤/亩,第二组数据平均数为 千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法;((2)(i)对于采用延长光照时间的方法:每亩平均产量为 千斤.∴该农场一年的利润为 千元.(ii)对于采用降低夜间温度的方法:每亩平均产量为 千斤,∴该农场一年的利润为 千元.因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为 426 千元;若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为 424 千元.(3)由图可知,增产明显的大棚间数为 5 间,由题意可知,的可能取值有 0,1,2,3,;;1 2,n n < >1 21 21 555n nn n⋅= = =  55= −5.05 0.1 5.15 0.2 5.25 0.4 5.35 0.3 5.24× + × + × + × =5 4 4 2 3 25.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.2220 20 20 20 20 20× + × + × + × + × + × =5.05 0.1 5.15 0.2 5.25 0.4 5.35 0.3 5.24× + × + × + × =( )5.24 2 1 6 0.22 100 426× × − − × =5.18 5 5.20 4 5.22 4 5.24 2 5.26 3 5.28 25.2220× + × + × + × + × + × =( )5.22 2 1 6 0.2 100 424× × − − × =X( )315320910228CCP X = = =( )2 115 532035176C CCP X = = =;.所以 的分布列为0 1 2 3所以 .20.解:(1)由题意设椭圆的上下顶点为 ,左焦点为 ,则是等边三角形,所以 ,则椭圆方程为 ,将 代入椭圆方程,可得 ,解得 ,所以椭圆方程为(2)①由直线 与圆 相切得 ,则,设 ,将直线 代入椭圆方程得, ,,因为 ,所以 ,且 ,所以( )1 215 53205238C CCP X = = =( )3532013114CP XC= = =XXP9122835765381114( ) 35 5 1 31 2 376 38 114 4E X = × + × + × =1 2(0, ), (0, )B b B b− 1( ,0)F c− 1 2 1B B F△2 22b c b a= + =2 22 214x yb b+ =22,2N    2 22 114 2b b+ = 1b =22 14xy+ =( )0y kx m k= + ≠ 2 2 3:4E x y+ =2321mk=+2 24 3 3m k= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y( )0y kx m k= + ≠ 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =2 2 2 2 2 264 4(1 4 )(4 4) 4(16 4 4)k m k m k m∆ = − + − = − +2 24 3 3m k= + 24(13 1) 0k∆ = + 21 2 1 22 28 4 4,1 4 1 4km mx x x xk k−+ = − =+ +2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x= + − = + ⋅ + −2 2 222 2 264 4(4 4)= 1 )[ ](1 4 ) 1 4k m mkk k−+ −+ +(设点 到直线的距离为 ,所以 的面积为,当 ,得 时等号成立,所以 的最大值为 1②设 ,由直线 与圆 相切于点 ,可得,则 ,可得 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以21. (1)若 ,则 ,求导得 ,令 ,得 ;令 ,得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 取得极大值也是最大值,.(2) ,其中 ,2222 13 111 4kkk+= + ⋅+O21mdk=+OABV2 2 2 21 1 2 2 2(3 3)(13 1)1 1 (3 3) (13 1)12 2 2(4 1) 4(4 1)k k k kS AB d m x xk k+ + + + += = − = ≤ =+ +2 23 3 13 1k k+ = + 215k = 1S3 3( , )Q x y ( )0y kx m k= + ≠ 2 23:4E x y+ = POQ AB⊥22114y xkxy= −+ =22 23 32 24 4,4 4kx yk k= =+ +2 22 23 3 2 2 24 4 1 2 1424 4 4 7k kOQ x yk k k+= + = + = =+ + +32OP = 2 14 37 2PQ OQ OP= − = −1214 42 2121 112OP AB OPSS PQPQ AB+= = =0a = 1( ) exf x x−= − + 1( ) e 1xf x −′ = − +( ) 0f x′ 0 1x ( ) 0f x′ 1x ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞1, ( )x f x=0max( ) (1) e 1 0f x f= = − + =11( ) ln 1 e 1xf x a xx− ′ = + − − +  ( ) 01f ′ =令 ,则 ,当 时, ,则函数 在 上单调递减,又 ,所以 时, , 单调递增;时, , 单调递减,即 在 处有极大值,与题干矛盾,故 不符合题意;当 时,令 ,则 ,显然 ,则 在 上单调递减,而 .①若 , ,故当 时, ,此时 单调递减,所以 ,故 在 单调递减,显然 在 处不可能有极小值,故 不满足题意;②若 时, ,故当 时, ,此时 单调递增,所以 时, ,即 在 单调递减,由(1)知, ,即 ,则 ,所以,因为 , ,所以存在 使得 ,则 时, ,即 单调递增,11( ) ln 1 e 1xh x a xx− = + − − +  121 1( ) exh x ax x− ′ = + −  0a ≤ ( ) 0h x′ ( )f x′ ( )0, ∞+ ( ) 01f ′ =( )0,1x ∈ ( ) 0f x′ ( )f x( )1,x ∈ +∞ ( ) 0f x′ ( )f x( )f x 1x = 0a ≤0a 121 1( ) ( ) ext x h x ax x− ′= = + −  12 31 2( ) ext x ax x− ′ = − − −  ( ) 0t x′ ( )h x′ ( )0, ∞+ ( ) 0(1) 1 1 e 2 1h aa′ − =+ −=102a ≤ 2 1(1) 0h a′ = − ≤( )1,x ∈ +∞ ( ) (1) 0h x h′ ′ ≤ ( )f x′( ) (1) 0f x f′ ′ = ( )f x ( )1,+∞( )f x 1x = 102a ≤12a 2 1(1) 0h a′ = − ( )0,1x ∈ ( ) (1) 0h x h′ ′ ( )f x′( )0,1x ∈ ( ) (1) 0f x f′ ′ = ( )f x ( )0,11e 0x x−− + ≤ 1ex x− ≥ e 1a a≥ +( )21 1( 1) e1 1ah a aa a ′ + = + − + +   ( )( )21 1111aaa a + − + +  ≤ +( )( )3 222 101a a aa+=− + ++(1) 0h′ ( 1) 0h a′ + ( )0 1, 1x a∈ + 0( ) 0h x′ =( )01,x x∈ ( ) 0h x′ ( )f x′所以 时, ,即 在 单调递增,所以 在 单调递减,在 单调递增,故 在 处取得极小值.综上所述,若 在 处有极小值,则 .22. 由可得直线 的直角坐标方程为由曲线 的参数方程,消去参数可得曲线 的普通方程为 .易知点 在直线 上,直线 的参数方程为 ( 为参数).将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程,并整理得 .设 是方程 的两根,则有 .23.(1)当 时,原不等式可化为 .①当 时,则 ,所以 ;②当 时,则 ,所以 ;⑧当 时,( )01,x x∈ ( ) (1) 0f x f′ ′ = ( )f x ( )01, x( )f x ( )0,1 ( )01, x( )f x 1x =( )f x 1x = 12a ( )I cos , si n ,x yρ θ ρ θ= =l 1 0.x y− − =C ,mC 2 4y x=( )II ( )2,1P l l222212x ty t= + = +tl C 2 2 2 14 0t t− − =1 2,t t 2 2 2 14 0t t− − = 1 2 1 22 2, 14t t t t+ = = −( )21 2 1 22 1 22 2 1 211 1 1 241 1 1 1 t t t tt t tPM PN t ttt t t tt t−+∴ + = + = =+=−( )22 2 4 14 414 7+ ×= =2a =| 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥13x ≤3 3 01 2 xx x− + + − ⇒ ≤≥ 0x ≤123x 3 2 11 3x x x− + ≥ ⇒ ≥− 1 2x≤ 2x ≥则 ,所以 .综上所述:当 时,不等式的解集为 或 .(2)由 ,则 ,由题可知:在 恒成立,所以 ,即 ,即 ,所以故所求实数 的取值范围是 .3 32132x x x+ ≥ ⇒ ≥− − 2x ≥2a = { | 0x x ≤ 1}x≥1| | ( )3x f x x− + ≤| 3 1| | | 3x x a x− + − ≤| 3 1| | | 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2   3 1 | | 3x x a x− + − ≤ | | 1x a− ≤1 1a x a− ≤ ≤ +111 431 2 312aaa − ≤ ⇒ − ≤ ≤ + ≥a1 4,2 3 −  

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