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1高新区 2020-2021 学年高 2018 级高三第三次阶段质量检测数学试卷(文科)第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数 满足 , 为虚数单位,则 ( ▲ )A.1 B. C.2 D.2.已知集合 , ,则 中元素的个数为( ▲ )A.2 B.3 C.4 D.6 3.我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产,各旅游景区也逐渐恢复开放.某 景区对重新开放后的月份 与该月游客的日平均人数 (单位:千人/天)进行了统计分析,得出下表数据:月份日平均人数若 与 线性相关.且求得其线性回归方程为 ,则表中 的值为( ▲ )A. B. C. D.无法确定4. 在等差数列 中, 为前 项和, ,则 ( ▲ )A.5 B.10 C.55 D.5.已知 是边长为 2 的正方形 的边 中点,则 的值是( ▲ )A.2 B.3 C.4 D.6. 已知 x,y 满足不等式组 ,则 的最大值为( ▲ )A.2 B. C.4 D.7. 已知 , 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是A.若 , ,则 B.若 , ,则C.若 , ,则 D.若 , ,则8. 已知 , , ,则( ▲ )A. B. C. D.9.已知 ,若直线 分别 与 的交点横坐标为 ,则( ▲ )A. B. C. D.10. 命题 函数 的最小正周期为 的充要条件是 ;命题 定义域为的函数 满足 ,则函数 的图象关于 轴对称.则下列命题为真命题的是( ▲ )A. B. C. D.11. 已知 , ,则 的最大值为( ▲ )A. B.2 C.4 D.z (1 ) 2z i+ = i =z1 i− 1 i+{( , ) | , , }A x y x y y x= ∈ ≤*N {( , ) | 8}B x y x y= + = A B4Ax y( )x 4 5 7 8( )y 1.9 3.2 t 6.1y x 2y x= − t4.7 4.8 5{ }na nS n 7 82 5a a= + 6a =60P ABCD BC AP AB⋅ 2 222y xx yx≤ + ≥ ≤2z x y= +3 6m n α/ /m n / /m α / /n αm n⊥ n α⊂ m α⊥m α⊥ m n⊥ / /n α/ /m α n α⊥ m n⊥sin1a = 13log 4b = 0.53c =a b c a c b b c a b a c 1a 4y x= − ( ) xf x a= ( ) logag x x= ,m nm n+ =0 2 4 8:p ( ) sin 2f x xω= π 1ω = ± :q R( )g x ( )= ( )g x g x− ( )g x yp q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∧ ( )p q∧ ¬(cos ,sin )P α α (cos ,sin )Q β β | |PQ2 2 2212.已知三棱锥 中, , , 为中点,关于该三棱锥有下述四个结论:①该三棱锥是正三棱锥;②点 到棱 的距离为 ;③平面 平面 ;④该多面体外接球的直径为 .其中所有正确结论有( ▲ )个A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13. 已知函数 , 的最小正周期是▲.14.已知数列 的前 n 项和 ,则 ▲.15. 已知双曲线 C: ( , )的左、右焦点分别为 , ,若双曲线的左支上存在一点 P,使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点 H,且 ,则此双曲线的离心率为▲.16. 若对任意 满足 ,都有 ,则 的最大值为▲.三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)在 中, , , .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求 的面积.18.(本小题满分 12 分)共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2020 年该市共享单车用户年龄等级分布如图 1 所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20 岁-39 岁)和“非年轻人”(19 岁及以下或者 40 岁及以上)两类,将一周内使用的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”,使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”.A BCD− 3 22AB BC AD CD= = = = 6AC BD= = M BDM AC62ABD ⊥ AMC3022tan( )1 tanxf xx=−( )f x{ }na 2 1nnS = − na =2 22 21x ya b− = 0a 0b 1F 2F2PF 2PH HF=,a b 0 a b t ln lna ba b tABC∆ 7a = 8b =1cos7B = −A∠ABC∆563图 1 共享单车用户年龄等级分布 图 2 共享单车使用频率分布(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为 200 的样本,请你根据图表中的数据,补全下列 列联表,并根据列联表的独立性检验,判断是否有 85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?使用共享单车情况与年龄列联表年轻人 非年轻人 合计经常使用单车用户 120不常使用单车用户 80合计 160 40 200(Ⅱ)现从不常使用共享单车的人中分层抽样抽出 4人跟踪调查,若从这 4人中随机抽取 2人,求 2人都是年轻人的概率。参考数据:独立性检验界值表0.15 0.10 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中, ,19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中, 底面 , 是直角梯形, ,, ,点 E 是 的中点.(Ⅰ)线段 上是否存在一点 ,使得点 共面,存在请证明,不存在请说明理由;(Ⅱ)若 ,求三棱锥 的体积。20.(本小题满分 12 分)如图,抛物线 的焦点为 ,抛物线上一定点 .过焦点 的直线(不经过点 )与抛物线交于 两点,与准线 交于点 .(Ⅰ)过 中点 ,作准线 的垂线,垂足为 ,若 ,求直线 的斜率.(Ⅱ)已知 直线方程为 ,记 的斜率分别为 , ,,若 成立,求出 的值.2 2×( )2 0P K k≥0k22 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d−=+ + + +n a b c d= + + +P ABCD− PC ⊥ ABCD ABCD AD DC⊥/ /AB DC 2 2 2AB AD CD= = = PBPA G , , ,D C E G2PC = P ACE−2: 2C y px= F (1, 2)Q FQ ,A B l M,A B C l E CE MB= ABAB ( 1)y k x= − ( 0)k ≠ , ,QA QB QM 1k 2k3k 1 2 3k k kλ+ = λ421.(本小题满分 12 分)已知函数 , , 为自然对数的底数.(1)当 , 恒成立,求 的取值范围;(Ⅱ)当 时,记 ,求证:对任意 , 恒成立.请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆 ( ),直线 .(1)若点 在圆 上,求 的值;(2)以极点 为原点,以极轴为 轴正半轴建立直角坐标系,已知直线 与 、在第一象限的交点分别为 ,求 的值.23、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知 为正数,且满足 证明:(Ⅰ) ;(Ⅱ)2020-2021 学年高 2018 级高三第三次阶段质量检测数学试卷(文科)参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BCBAC DDDCA BC二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 14. 15. 16. .三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.17.(本小题满分 12分)解:(1) 中, , , .所以: ,……2分利用正弦定理得: ,解得: ,……4分由于 ,所以: ,利用三角形内角和,所以: ;……6分( ) sinf x x ax= − ( ) = ln 1xg x x x e− + 2.71828e = ⋅⋅⋅(0, )x π∈ ( ) 0f x a0a = ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )1,x ∈ +∞ ( ) 0h x 1 4cosC ρ θ=: 0ρ ≥ 1 sin 2l ρ θ =:1( , )3Aπρ 1C 1ρO x 2 : 3l y x= 1C 1l,M N | |MN, ,a b c 1.a b c+ + =1 1 19a b c+ + ≥8.27ac bc ab abc+ + − ≤2π 12nna−= 5 eABCV 7a= 8b= 1cos7B = −2 4 3sin 1 cos7B B= − =sin sina bA B= 3sin2A =1cos7B = −2Bπ π 3Aπ∠ =5(2)利用余弦定理: ,解得: .……9 分所以: .……12 分18.(本小题满分 12分)解:(1)补全的列联表如下:年轻人 非年轻人 合计经常使用共享单车 100 20 120不常使用共享单车 60 20 80合计 160 40 200于是 , , , ,……3分∴ ,……5分即有 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.……6分(2)从不经常使用共享单车的人中抽取的“年轻人”是 3 人,不妨记作 a,b,c,“非年轻人”是 1人,不妨记作 x,则从这 4 人中抽取 2 人包含(a,b)(a,c)(a,x)(b,c)(b,x)(c,x)这 6 种情况,……8 分两人都是年轻人包含(a,b)(a,c)(b,c)3 种情况……10 分,故从这 4 人中随机抽取 2 人, 2 人都是年轻人的概率是 ……12 分19.(本小题满分 12分)证明:(Ⅰ)存在 PA的中点 G满足条件。连接 GE,GD,则 GE 是三角形 PAB 的中位线,所以 ,又由已知所以 ,所以 G,E,C,D 四点共面……6 分(Ⅱ)因为 E 是 PB 的中点,所以由(Ⅰ)知 ,所以,……12 分20.(本小题满分 12分)解:(1)把点 Q(1,2)的坐标代入 y2=2px,解得 2p=4, 所以抛物线方程为 y2=4x, 准线 的方程为 x=-1. ……1 分由题意2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 3c =1sin 6 32ABCS ac B= =△100a = 20b = 60c = 20d =22 200 (100 20 60 20) 2.083 2.072120 80 160 40K× × − ×= ≈ × × ×85%3 16 2P = =ABGE// DCAB//DCGE//PABCACBPPAECACEP VVVV −−−− === 2121AC BC⊥112ABCS AC BC∆ = ⋅ =1 23 3P CAB CABV PC S− ∆= ⋅ =13P ACEV −∴ =l1| |2CE AB BC= =6而 ……3 分设 AB 的中点为点 C,直线 AB 的倾斜角为 。直线 AB 的斜率为 ……5 分(2) AB 的方程为 , ,由抛物线准线 ,可知 .又 Q(1,2),所以 ……6 分由 消去 y 整理得 ,显然 ,设 ,则 ,……7 分又 Q(1,2),则 .……8 分因为 A,F,B 三点共线,所以 ,即 ,……9 分所以 ……11 分即存在常数 λ=2,使得 k1+k2=2k3成立.……12分21.(本小题满分 12分)解:(1)因为 ,所以 ,……1 分易知 在 单调递减;,i)当 时, ,所以 在 单调递减,故 ,符合题意;……3 分ii)当 时, 使 ,则 在 单调递增,在 单调递减;故当 时, ,不符合题意;……4 分iii)当 时, ,所以 在 单调递增,故 ,不符合题意;……5 分综上所述, ……6 分(2) ,当 时, ,令 ,2 | |MC MB BC CE= + =α21cos ==∴ αMECE3πα =∴∴ 3 ( 1)y k x= − 0k ≠: 1l x = − ( 1, 2 )M k− −32 211 1kk k+= = ++( )214y k xy x = − =2 2 2 22( 2) 0k x k x k− + + =2 2 4 2=4( 2) 4 16( 1) 0k k k∆ + − = + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y21 2 1 222 4= , =1kx x x xk++1 21 11 22 2,1 1y yk kx x− −= =− −AF BFk k k= =1 21 21 1y ykx x= =− −1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 22 2 2 (2 2)( ) 2 42( 1)1 1 ( )y y kx x k x x kk k kx x x x x x− − − + + + ++ = + = = +− − − +( ) sinf x x ax= − ( ) cosf x x a′ = −( )f x′ (0, )x π∈(0, )x π∈ 1 cos 1∴− 1a ≥ ( ) cos 0f x x a′ = − ( ) sinf x x ax= − (0, )π( ) (0) 0f x f =1 1a− 0 (0, )x π∈ ( )0 0cos =0f x x a′ = −( )f x 0(0, )x 0( , )x π0(0, )x x∈ ( ) (0) 0f x f =1a ≤ − ( ) cos 0f x x a′ = − ( ) sinf x x ax= − (0, )π( ) (0) 0f x f =1a ≥( ) ln e sin 1xh x x x x= − + +( )1,∈ +∞x ( ) ln cos e 1xh x x x′ = + − + ( ) ln cos e 1xu x x x= + − +7所以 ,……9 分故 在 单调递减,所以 ,……10分即 ,所以 在 单调递减,所以 .……11 分综上:对任意 , 恒成立.……12 分22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程解:(1)将 的坐标代入 得到 ,又因为 (即极点)也在圆 上,所有 ……5 分说明:只求出 扣一分。(2)由题意可知, 的极坐标方程为 ( ),……6 分联立 与 得 ,……7 分联立 与 得 ,……8 分所以 ……10 分( ) ( )1 sin e 1 1 e 2 e 0xu x xx′ = − − − − − = − ( )u x ( )1,+¥ ( ) ( )1 cos1 1 e 0u x u = + − ( ) 0h x′ ( )h x ( )1,+¥( ) ( )1 1 sin1 e 0h x h = + − ( )0,x ∈ +∞ ( ) 0h x 1( , )3Aπρ 1 4cosC ρ θ=: 1=2ρ(0, )3π1C1=0 2ρ 或1=2ρl =3πθ Rρ ∈=3πθ 4cosρ θ= 2Mρ ==3πθ sin 2ρ θ =4 33Nρ =4 3| | | | 23M NMN ρ ρ= − = −823、(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲解:(1) ,故,当 时等号成立.(2)易知 .……5 分.……9分当 时等号成立.……10 分1a b c+ + = 1 1 1 a b c a b c a b ca b c a b c+ + + + + ++ + = + +3 3 2 2 2 9b a c a c ba b a c b c= + + + + + + ≥ + + + = 13a b c= = =1 0,1 0,1 0a b c− − − ( ) ( )( )( )1 1 1 1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c+ + − = − + + + + + − = − − −31 1 1 83 27a b c− + − + − ≤ =  13a b c= = =

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