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四川省成都市郫都区2021届高三数学(理)12月阶段试题(附答案Word版)

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时间:2021-01-05

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成都市郫都区高 2018 级阶段性检测(二)数学(理科)说明:1 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的)1.已知集合 , ,则集合 可以是( )A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{2,3,4}2.设复数 , 在复平面内的对应点关于实轴对称, ,则 ( )A.-5 B.5 C.-13 D.133.平面向量 与 的夹角为 60°, , ,则 等于( )A. B. C.12 D.4.某学校要从高一年级的 752 名学生中选取 5 名学生代表去敬老院慰问老人,若采用系统抽样方法,首先要随机剔除 2 名学生,再从余下的 750 名学生中抽取 5 名学生,则其中学生甲被选中的概率为( )A. B. C. D.5.如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,其侧视图中的曲线为圆周,则该几何体中曲面的面积为( )A. B. C.32 D.646.在 中,角 , , 的对边分别是 , , ,若 ,则 ( )A. B. C. D.{ }4log 1M x x= ∣ {2}M N∩ = N1z 2z 1 2 3z i= + 1 2z z =ab(2,0)a = | | 1b =| 2 |a b+2 2 2 3 101150275221505752148π 32 8π−ABC△ A B C a b c : : 4 : 3 : 2a b c = 2sin sinsin 2A BC− =3757971077.执行如图所示的程序框图,输出的 值为( )A.1 B. C. D.8.已知函数 ,则下列说法正确的是( )A. 的最大值为 2B. 由 的图像向左平移 个单位C. 的最小正周期为D. 的单调递增区间为9.函数 在区间[-3,3]的图像大致为( )A. B.C. D.10.已知角的 终边在直线 上, ( )A.2 B. C.±2 D.311.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与抛物线 的一个交点,若 ,则 ( )S2019 1− 2020 1− 2021 1−( ) 2sin cos cos 26f x x x xπ = + −  ( )f x( )f x ( ) 3 sin 2g x x=6π( )f x 2π( )f x , ( )3 6k k k Zπ ππ π − + + ∈ sin ln | |y x x= +α 3y x= 1 sin 2 cos 21 sin 2 cos 2α αα α− + =+ +12−2: 4C y x= F l P l Q PF C4PF FQ= | |QF =A.3 B. C. D. 或12.设函数 在 上存在导数 ,对 , ,且在 上有,则不等式 的解集是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题)注意事项:必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题13.已知 , 满足 ,则目标函数 的取值范围为________.14.如图所示,在边长为 的正方形内,四条曲线均是 在 的图象,若在正方形内任取一点,则该点落在阴影部分的概率 ________.15. 的展开式中 的系数为________.(用数字作答)16.如图,在四棱锥 中,四边形 为菱形,且 , , 是等边三角形 , 点是侧面 内的一个动点,且满足 ,则 点所形成的轨迹长度是________.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.在公差不为 0 的等差数列 中,前 项和记为 .若 ,且 , , 成等比数列.(1)求数列 的通项公式;52323252( )f x R ( )f x′ Rx∀ ∈ ( ) ( ) 2cosf x f x x+ − = [0, )+∞( ) sinf x x′ − ( ) cos sin2f x f x x xπ − − ≥ −  ,4π −∞  ,4π +∞ ,6π −∞  ,6π +∞ x y21y xx y≤ + ≤z x y= −π siny x= [0, ]x π∈p =( )( )421 2 1x x+ + 3xP ABCD− ABCD 2AB = 60DAB∠ = ° PAD△6PB = Q PBC DQ AC⊥ Q{ }na n nS 1 1a = 1S 22S 44S{ }na(2)求数列 的前项 项和 .18.2020 年上半年受新冠疫情的影响,国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降,因此国内多地在 3 月陆续开展促销活动,某销售商在活动的前 2 天大力宣传后,从第 3 天开始连续统计了 6 天的汽车销售量(单位:辆)如下:第 天 3 4 5 6 7 8销售量 (单位:辆) 17 20 19 24 24 27(1)从以上 6 天中随机选取 2 天,求这 2 天的销售量均不小于 24 辆的概率;(2)根据上表中前 4 组数据,求 关于 的线性回归方程 ;(3)用(2)中的结果计算第 7、8 天所对应的 ,再求 与当天实际销售量 的差,若差值的绝对值都不超过 1,则认为求得的线性回归方程“可行”,若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量请根据题意进行判断,(2)中的结果是否可行?若可行,请预测第 10 天的销售量;若不可行,请说明理由.参考公式:回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别为, .19.如图,在以 、 、 、 为顶点的多面体中,四边形 是边长为 2 的正方形. 平面, ,且 .(1)求证: 平面 ;(2)求二面角 的正弦值.20.已知椭圆 ,离心率为 ,点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆 的标准方程;{ }2 na n nTxyy x ˆˆ ˆy bx a= +ŷ ŷ yˆˆ ˆy bx a= +( )( )( )121ˆni iiniix x y ybx x==− −=−∑∑â y bx= −A B C D ABCD EA ⊥ABCD //FD EA112EA FD= =//BE CDFC EF D− −2 22 21( 0)x ya ba b+ = 12(0, 2)GC(2)若直线 与椭圆 交于 , 两点, 为坐标原点直线 , 的斜率之积等于 ,试探求 的面积是否为定值,并说明理由.21.已知 ,其中 .(1)当 时,讨论 的单调性;(2)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;(3)令 ,存在 ,且 , ,求实数 的取值范围.请考生在 22、23 题中任选一题作答,共 10 分,如果多作,则按所作的第一题计分.作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.22.选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 与直线 的极坐标方程分别为, .(1)求 与 交点的极坐标;(2)设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点.已知直线 的参数方程为 ( 为参数),求实数 , 的值.23.选修 4-5:不等式选讲已知函数 最大值为 .(1)求 的值;(2)若 , , , ,求 的最小值.郫都区 2018 级二阶数学(理)参考答案及评分意见题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12答案 C D B D A D D D A B B13. 14. 15.12 16.y kx m= + C M N O OM ON 34−OMN△( ) ( 1) lnf x ax x ax= + − a R∈1a = ( )f x( )f x (0, )+∞ a( ) ( )g x f x′= 1 20 x x 1 2 1x x+ = ( ) ( )1 2g x g x= axOy O x 1C 2C4sinρ θ= cos 2 24πρ θ − =  1C 2CP 1C Q 1C 2C PQ33 12x t aby t = += +t R∈a b( ) | 2 1| | 2 3 |f x x x= − − + mm1a 1b 1c a b c m+ + = 1 1 11 1 1a b c+ +− − −1,3 − +∞ 228ππ− 2 7317.解:(1)由已知可得: ,即: ,解得 (舍)或所以 .(2)由 知, 是首项为 2,公比为 4 的等比数列.因此, .18.解:(1)设“从 6 天中随机选取 2 天,这 2 天的销售量均在 24 辆以上(含 24 辆)”为事件 ,这 6个数据为 3、4、5、6、7、8,抽取两个事件的基本事件有:(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),共 15 种,其中事件 发生的基本事件包括(6,7),(6,8),(7,8),共 3 种,所以 .(2)因为 , ,, ,所以 ,,所以所求线性回归方程为 .(3)当 时, ,此时 ;当 时, ,此时 ;所以所求线性回归方程为 是“可行”的.当 时, ;所以预测第 10 天的销售量为 31 辆.22 1 44 4S S S= ×2(2 ) 1 (4 6 )d d+ = × +0d = 2d =2 1na n= −2 12 2na n−= { }2 na( ) 2 12 1 4 2 21 4 3n nnS+− −= =−AA3 1( )15 5P A = =3 4 5 6 94 2x+ + += = 17 20 19 24 204y+ + += =42186iix==∑41370i iix y==∑12 219370 4 202ˆ 28186 44ni iiniix y nxybx nx==− − × ×= = =− ×−∑∑9ˆˆ 20 2 112a y bx= − = − × =ˆ 2 11y x= +7x = ˆ 2 7 11 25y = × + = | 24 25 | 1 1− = ≤8x = ˆ 2 8 11 27y = × + = | 27 27 | 0 1− = ≤ˆ 2 11y x= +10x = ˆ 2 10 11 31y = × + =19.解:(1)解法 1:记线段 的中点 ,连接 , .∵ , ,∵ 且 .∴四边形 为平行四边形,∴ , .∵ , ;∴ , .∴四边形 为平行四边形,∴ .又∵ 面 , 面 ,∴ 面解法 2:∵ , 面 ,∴ 面 .同理, , 面 ,∴ 面 .又∵ ,∴面 面 .又∵ 面 ,∴ 面 .(2)以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系 .则 , , , , , ,∴ , .设平面 的法向量为 ,则 ,∴ .令 ,则 , .∴ 为平面 的一个法向量.易得 为平面 的一个法向量.设二面角 的大小为 ,则 .∴ ,即二面角 的正弦值为 .DF M EM CM//EA FD12EA FD= //EA MD EA MD=EADM //EM AD EM AD=/ /AD BC AD BC= //EM BC EM BC=EBCM //BE CMBE ⊄ CDF CM ⊂ CDF //BE CDF//EA FD EA ⊄ CDF //EA CDF//AB DC AB ⊄ CDF //AB CDFEA AB A∩ = //BAE CDFBE ⊂ BAE//BE CDFA AB x AD y AE z O xyz−(0,0,0)A (2,0,0)B (0, 2,0)D (0,0,1)E (0, 2, 2)F (2, 2,0)C( 2, 2,1)CE = − −(0, 2,1)EF =CEF 1 ( , , )n x y z= 1100n CEn EF ⋅ =⋅ =  2 2 02 0x y zy z− − + = + =1y = − 2z = 2x =1 (2, 1, 2)n = −CEF2 (1,0,0)n =DEFC EF D− − θ 1 21 22cos3n nn nθ ⋅= =⋅  4 5sin 19 3θ = − = C EF D− − 5320.解:(1)椭圆 离心率为 ,即 ,∵点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形,∴ , , ,故椭圆方程为 .(2)由直线与椭圆交于 , 两点,联立 ,得 ,设 , ,则,所以∴ ,∴∵原点 到 的距离 ,∴ 为定值.21.解:(1)当 时, ,则设 ∴ ,2 22 21( 0)x ya ba b+ = 1212cea= =(0, 2)G2a = 1c = 3b =2 214 3x y+ =M N2 214 3y kx mx y= ++ =( ) ( )2 2 23 4 8 4 3 0k x kmx m+ + + − =( )1 1,M x y ( )2 2,N x y( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 28 16 3 4 3 48 4 3 0km k m k m∆ = − + − = + − 1 2 283 4kmx xk−+ =+( )21 2 24 33 4mx xk−=+( )( ) ( )2 21 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 2OM ONkx m kx m k x x mk x x my yk kx x x x x x+ + + + += = =( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 2 2 2 22 24 3 8 3 4 3 4 344 3 4 3k m k m m k m km m− − + + −= = = −− −2 22 4 3m k= +2 22 2 21 2 2 24 3 4 3 4 3 | || | 1 1 13 4 2k m mMN k x x k kk m+ −= + − = + = ++O l2| |1mdk=+22 2| | 1 4 3 | | | |1 32 2 2 1OMNMN m mS d km k= ⋅ = + ⋅ =+△1a = ( ) ( 1) lnf x x x x= + − 1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x+′ = + − = +1( ) lng x xx= +21( )xg xx−′ =当 时, , 时, ,则 在(0,1)上单调递减,在 上单调递增,又∵ ,∴ 时, ,∴ 在 上单调递增.(2)解法 1:当 时, , 在 上单调递增,则 满足要求;当 时, 在 上单调递增,则当 时, 恒成立,即 对 恒成立,当 时, ,易知得 的最小值为 ,无最大值,故不符合题意;当 时, ,所以 ,即综上,实数 的取值范围是 .解法 2:当 时, , 在 上单调递增,则 满足要求;当 时, 在 上单调递增,则当 时, 恒成立,∵ , ,当 时, ,∴ 在 上单调递减,而,∵ , ,∴ ,∴ 时, ,故 时不成立,当 时, ,当 时, , 时, ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,∵ 时, ,(0,1)x ∈ ( ) 0g x′ (1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ ( )g x (1, )+∞(1) 1 0f ′ = (0, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ ( )f x (0, )+∞0a = ( ) lnf x x= ( )f x (0, )+∞ 0a =0a ≠ ( )f x (0, )+∞ (0, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ln 1 0ax x + ≥ (0, )x ∈ +∞0a 1 lnx xa− ≥ ( ) lnx x xϕ = 1 1e eϕ   = −  0a 1 lnx xa− ≤ min1 1( ln )x xa e− ≤ = − (0, ]a e∈a (0, ]e0a = ( ) lnf x x= ( )f x (0, )+∞ 0a =0a ≠ ( )f x (0, )+∞ (0, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥1( ) lnf x a xx′ = +21( )af xx x′′ = −0a 21( ) 0af xx x′′ = − ( )f x′ (0, )+∞1111aaf ee−− ′ = − +  0a 11ae−≥1111 0aaf ee−− ′ = − +   1,ax e− ∈ +∞  ( ) 0f x′ 0a 0a 21( )axf xx−′′ = 10,xa ∈  ( ) 0f x′′ 1 ,xa ∈ +∞  ( ) 0f x′′ ( )f x′ 10,a   1,a +∞  (0, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥只需 ,即 ,∵ ,∴ ,则 ,综上所述,实数 的取值范围是 .(3)∵ ,又∵ ,∴ ,即 ,又 ,∴ ,即 ,令 ,则 ,即 方程有解.解法一:令 ,则 时, 有解,,因为 时,则 ,当 时, ,即 时, ,则 在 上单调递减,又 ,故 时, 无解,则 时不成立分;当 时,当 时, , 时, ,又 ,则 , ,而 ,令 , , ,因为 ,则 ,则 在 单调递减,,10fa ′ ≥  1 1ln (1 ln ) 0f a a aa a ′ = + = − ≥  0a 1 ln 0a− ≥ 0 a e ≤a (0, ]e1( ) ( ) lng x f x a xx′= = + ( ) ( )1 2g x g x=1 21 21 1ln lna x a xx x+ = + 21 2 11 1ln 0xax x x+ − =1 2 1x x+ =( ) ( )1 2 1 221 2 1ln 0x x x xxax x x+ ++ − = 2 1 21 2 1ln 0x x xax x x+ − =21xtx= (1, )t ∈ +∞ 1ln 0a t tt+ − =1( ) lnG t a t tt= + − (1, )t ∈ +∞ ( ) 0G t =22 21 1( ) 1a t atG tt t t− + −′ = − − = (1, )t ∈ +∞ 1 2tt+ 2a ≤22110a tt at tt t − + − + −  = ≤ (1, )t ∈ +∞ ( ) 0G t′ ≤( )G t (1, )+∞(1) 0G = (1, )t ∈ +∞ ( ) 0G t = 2a ≤2a 2 41,2a at + −∈   ( ) 0G t′ 2 4,2a at + −∈ +∞   ( ) 0G t′ (1) 0G =2 41,2a at + −∈   ( ) 0G t ( ) 2 21 1 ( 2)a a aaG e a e a e ae= + − + − 2( ) 1 ( 2)xH x x e x= + − ( ) 2 xH x x e′ = − ( ) 2 xH x e′′ = −2x ( ) 2 0xH x e′′ = − ( )H x′ (2, )+∞2( ) (2) 4 0H x H e′ ′≤ = − 则 在 单调递减,则 ,即 ,故存在 ,使得 ,故 时满足要求,综上所述,实数 的取值范围是 .解法二:分离参数后用洛必达法则: ,令 ,则 ,令 , ,∴当 时, ,故 在 上单调递增,故 ,由洛必达法则知:当 时, ,则 ,则 ,∴实数 的取值范围是 .22.解:(Ⅰ)圆 的直角坐标方程为 ,直线 的直角坐标方程为 .联立得 得 , ,所以 与 交点的极坐标为 , .(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, , 的直角坐标为(0,2),(1,3),故, 的直角坐标方程为由参数方程可得 ,所以 , ,解得 ,23.解:(1)由绝对值不等式 ,所以 .(2)由(1)知: ,即 ,所以 ,由柯西不等式:,∴ 的最小值为 9,当且仅当 ,等号成立.( )H x (2, )+∞ 2( ) (2) 5 0H x H e = − ( ) 0aG e 204,2aa ax e + −∈   ( )0 0G x = 2a a (2, )+∞1lnttat−=1( )lntth tt−=2 22 222 21 11 1 1 ln1 ln( )(ln ) (ln )t ttt tt tt t th tt t + −    ++ − − ×          ′ = =221( ) ln1tF t tt−= ++ ( )( )( )22 22 22 21 41 4( ) 01 1t ttF tt t t t+ −−′ = + = ≥+ +(1, )t ∈ +∞ ( ) 0h t′ ≥ ( )h t (1, )+∞1( ) (1)lntth t ht−= 1t →211( )1th tt+= (1) 2h → 2a a (2, )+∞1C2 2( 2) 4x y+ − = 2C 4 0x y+ − =2 2( 2) 44 0x yx y + − =+ − =1104xy= =2222xy= =1C 2C 4, 2π   2 2,4π   P Q PQ 2 0x y− + =12 2b aby x= − + 12b = 1 22ab− + = 1a = − 2b =( ) | 2 1| | 2 3 | | 2 1 2 3 | 4f x x x x x= − − + ≤ − − − = 4m =4m = 4a b c+ + = 1 1 1 1a b c− + − + − =( ) ( )21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 91 1 1 1 1 1a b ca b c a b c + + = + + − + − + − ≥ + + = − − − − − − 1 1 11 1 1a b c+ +− − −43a b c= = =

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