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四川省南充高中 2020-2021 年度高三上期第四次月考(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 2. 已知 是虚数单位, 是纯虚数,则实数 的值为 ( ) A. B. 1 C. D. 23. 某研究机构对儿童记忆能力 和识图能力 进行统计分析,得到如下数据:记忆能力 4 6 8 10识图能力 3 5 6 8由表中数据,求得线性回归方程为 ,若儿童的记忆能力为12,则他的识图能力约为 ( ) A. 9.2 B. 9.5 C. 9.8 D. 104. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休. 在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征,如函数 的图像大致是 ( ) A B C D5. 某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机,现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供选择,公司决定从四个牌子中随机选两个购买,则甲牌打印机被选中的概率为( ) { }034| 2 +−= xxxA=−= 14| 22xyyB =BA[ )3,2 ( )3,1 [ )∞+,2 [ ]3,2i mii +−12m1− 2−x yxy^^54axy +=( )144−=xxxfA. B. C. D. 6. 已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的侧面积为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 的最小值为 2,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知锐角 , 满足 ,且 ,则 ( ) A. 1 B. C. D. 29. 平面向量 与 共线,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 10. 已知 的外接圆圆 的半径为 , ,则 ( ) A. B. 1 C. 4 D. 211. 已知数列 的首项 , 为奇函数,记 为数列 的前 项和,则 ( ) A. B. 1011 C. 1008 D. 33612. 若函数 , ,若 有两个零点,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 用反证法证明命题“已知 , ,若 ,则 或 ”时,应假设 61213265π28380π π20 π12( ]baxxxy ,,14 ∈++= a( )2,1 ( )2,1− [ )2,1 [ )2,1−α β22πβα =− 1sincostan =+ ββαx=x2 3( )bm −= 2,1 ( )an ,2= ( )0,0 baba11 +24 22243 + 223 +ABC∆ O3323π=A =⋅ BCBO21{ }na 11 =a ( ) 3cos13 πnaaxxf nn −−+= + nS { }na n=2021S22023( ) ( ) xeaaexf xx −−+= 22 0a ( )xf a( )1,0  1,1eee,1 1,1ex Ry ∈ 0=xy 0=x 0=y14. 已知 为坐标原点,点 ,点 是满足 的平面区域上的一动点,则的取值范围是 15. 的展开式中常数项为 16. 已知实数 , 满足 ,则 的最大值为 三、解答题:共 70 分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22,23 为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17. (12 分)已知函数 (其中 )的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)将函数 的图像上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)得到函数 的图像,当时,求 的取值范围.O ( )2,1−A ( )yxP ,=−≤−−≥−+010101yyxyxOPOA ⋅( )42 211  ++xxx y 14 22 =+− yxyx yx +2( ) xxxxxf ωωωω cossin32cossin 22 +−= 0ω π2ω( )xf21 ( )xgy =∈125,6ππx ( )xg18. (12 分)如图, 是半圆 的直径,点 在半圆上,三棱锥 中, ,, ,点 是线段 上靠近点 的三等分点.(1)求证: 平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.AB O C ABCP − 3== BCPA5== ABPC ABPA ⊥ E PB B⊥BC PACPC ACE19. (12 分)已知正项数列 的前 项和为 ,(1)计算 , , ,猜想数列 的通项公式;(2)用数学归纳法证明数列 的通项公式;(3)证明不等式 对任意 恒成立.20. (12 分)已知椭圆 的离心率为 ,椭圆上某点到两焦点的距离之和为 4.(1)求椭圆 的标准方程;(2)记点 ,斜率为 的直线 (不过点 )与椭圆 交于 , 两点, 为坐标原点,若,则直线 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.{ }na n nS( )21+= nnnaaS1a 2a 3a { }na{ }na4711112232221++++naaaa *Nn ∈( )012222=+ babyaxE:21E( )0,4Q k l Q E A B OOQBOQA ∠=∠ l21. (12 分)已知 .(1)当 时,求函数 的单调区间;(2)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;(3)令 ,存在 ,且 , ,求实数 的取值范围.(二)选考题:请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分.( ) ( )1 lnf x ax x ax= + −1a = ( )f x( )f x ( )0, +∞ a( ) ( )g x f x′= 1 20 x x 1 2 1x x+ = ( ) ( )1 2g x g x= a22. (10分)[选修 4-4:极坐标与参数方程]在平面直角坐标系 中,抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴正半轴上,且过点 ,以原点 为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(1)求抛物线 和直线 的直角坐标方程;(2)已知点 ,直线 与抛物线 交于 , 两点,求 .23. (10分)[选修 4-5:不等式选讲]已知函数 的最大值为 3,其中 .(1)求 ;(2)若 对所有满足 的实数 , , 都成立,证明:或四川省南充高中 2020-2021 年度高三上期第四次月考(理科答案)一、选择题ABBDB CDACD BAxOy Cx ( )1,2 O x l014sin2 =+ −ρπθC l2123,P l C A BPBPA11 +( ) mxmxxf +−−= 2 0mm( ) ( ) ( )3111 222 ≥−+−+− zayx mzyx =++ x y z 2−≤a0≥a二、填空题13. 且 14. 15. 40 16. 三、解答题17. (每小题各 6 分)解:(1)则 (2)由(1)知 ,则 当 时, 18. (第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分)解:(1)证明: 是半圆 的直径,则 又 , ,则在 中, 又 , ,故 平面 ,从而又 , ,故 平面 (2)建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , ,, , ,点 是线段 上靠近 点的三等分点则设 是平面 的一个法向量,则 ,令 得设直线 与平面 所成的角为 ,则0≠x 0≠y [ ]2,0362( ) ( )062sin22cos2sin3  −=−= ωπωωω xxxxf21222 =⇒== ωπωπT( )  −=6sin2πxxf ( )  −=62sin2πxxg∈125,6ππx ( ) [ ]2,11,2162sin32,662 ∈⇒∈ −⇒∈− xgxx ππππAB O BCAC ⊥5=AB 3=BC 4=ACABC∆ ACPAPCACPA ⊥⇒=+ 222ABPA ⊥ AACAB = ⊥PA ABC BCPA ⊥ACBC ⊥ APAAC = ⊥BC PACxyzC − ( )0,0,3B ( )0,4,0A ( )3,4,0P( )0,4,0=CA ( )3,4,0=CP ( )0,0,3=CB E PB B( ) =−+=+= 1,34,21,34,10,0,331BPCBCE( )zyxm ,,= ACE=++=⋅==⋅034204zyxCEmyCAm1=x ( )2,0,1 −=mPC ACE θ2556556,cossin === mCPθ19. (每小题各 4 分)解:(1)由已知 , ,令 得:令 得: ,令 得:由此猜想(2)由(1)知 时, 成立 假设 有则 时,即则 时 成立,故(3) 成立当 时,故 对任意 恒成立.20. (第(1)小题 4 分),第(2)小题 8 分)解:(1)由已知 ,又 ,则故椭圆 的标准方程为(2)设 , ,直线 ,带入椭圆 的方程消去 得0na( )21+= nnnaaS 1=n ( ) 12111111 =⇒+== aaaaS2=n ( ) 2211 22222 =⇒+=+= aaaaS 3=n ( ) 22121 33333 =⇒+=++= aaaaSnan =1=n nan =( )*,1 Nkkkn ∈≥= kak =1+= kn22222121212111kkaaaaaaSSa kkkkkkkkk+−+=+−+=−= ++++++( ) ( ) ( )[ ] 10101 11112 1 +=⇒=+−+⇒=+−− +++++ kakakakkaa kkkkk1+= kn nan = nan =471121=a2≥n ( )( ) +−−=+−=−==12112121212414444112222 nnnnnnnan4735113121121121715151312111112232221+−+=+−−++ −+ −+++++nnnaaaa n4711112232221++++naaaa *Nn ∈242 =⇒= aa 121 =⇒== cace3222 =−= cabE 13422=+ yx( )11, yxA ( )22 , yxB mkxyl +=: E y则 , ,且若 ,则即, 整 理 得 满 足则直线 恒过定点21. (每小题各 4 分)解:(1)当 时, ,则当 时, , 时,在 上单调递减,在 上单调递增,故则函数 的单调递增区间是 ,无单调递减区间.(2)当 时, 在 上单调递增,满足题意当 时, 在 上单调递增,则 (不连续等于 0)恒成立当 时, ,则 在 上单调递减而 ,当 时, ,不合题意当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增( ) 0124843 222 =−+++ mkmxxk221 438kkmxx+−=+ 2221 43124kmxx+−= ( )( ) 222222 4303431664 kmmkmk +⇒−+−=∆OQBOQA ∠=∠ 04444 22112211 =−++−+=−+−=+xmkxxmkxxyxykk QBQA( )( ) ( )( ) 044 1221 =−++−+ xmkxxmkx( )( ) ( ) ( ) 08434843124208422222121 =−+−−+−⇒=−+−+ mkkmkmkmkmxxkmxkx km −=22 43 km +( )1: −=−= xkkkxyl ( )0,11=a ( ) ( ) 1ln1 −+= xxxf ( ) ( )2''' 11lnxxxfxxxf−=⇒+=( )1,0∈x ( ) 0'' xf ( )+∞∈ ,1x ( ) 0'' xf( )xf ' ( )1,0 ( )+∞,1 ( ) ( ) 011'' =≥ fxf( )xf ( )+∞,00=a ( ) xxf ln= ( )+∞,00≠a ( )xf ( )+∞,0 ( ) 0' ≥xf( ) ( )2''' 11lnxaxxfxxaxf−=⇒+=0a ( ) 0'' xf ( )xf ' ( )+∞,0011 11' +−=−−aaeef +∞∈−,1aex ( ) 0' xf0a ( )xf ' a1,0  +∞,1a要使 (不连续等于 0)恒成立,只需 ,则综上,实数 的取值范围是(3)由(2)知 ,又 ,则令 ,即方程 在 上有解.解法一:令 ,则 ,当 时, 在 上单调递减,又 ,不合题意当 时,当 时, ;当 时, ;则 时, ,而令 ,则 ,在 单调递减,在 单调递减,则 ,即故存在 ,使得 ,故 满足题意. 综上, 的取值范围是解法二:(分离变量洛必达法则) ,令 ,( ) 0' ≥xf ( ) 0ln11ln1' ≥−=+=aaaaaaf ea ≤0a [ ]e,0( )xxaxg1ln += ( ) ( ) 011ln1ln1ln1212221121 =−+⇒+=+⇒= xxxxaxxaxxaxgxg121 =+ xx 0ln0ln21211212122112 =−+⇒=+−++xxxxxxaxxxxxxxxa112 =xxt 01ln =−+ ttta ( )+∞,1( ) ( )+∞∈+−= ,1,1ln ttttath ( )tttatattth +−=−+−=1122' ( ) 21,1 +⇒+∞∈ttt2≤a ( ) ( )thth ⇒ 0' ( )+∞,1 ( ) 01 =h2a  −+∈24,12aat ( ) 0' th +∞−+∈ ,242aat ( ) 0' th −+∈24,12aat ( ) ( ) 01 = hth ( ) ( )211 22 −+−+= aeaeeaeh aaaa( ) ( )212 −+= xexx xϕ ( ) ( ) 022 ''' −=⇒−= xx exexx ϕϕ( )x'ϕ ( )+∞,2 ( ) ( ) 042 2'' −= ex ϕϕ( )xϕ ( )+∞,2 ( ) ( ) 052 2 −= ex ϕϕ ( ) 0aeh −+∈ aeaat ,2420 ( ) 00 =th 2aa ( )+∞,2tttaln1−= ( ) ( )+∞∈−= ,1,ln1tttttm则 令 ,则 在 上单调递增,则 在 上单调递增,由洛必达法则有 ,故 的取值范围是22. (每小题各 5 分)解:(1)由已知设抛物线 的标准方程为 ,根据抛物线过点有 故抛物线 的直角坐标方程为由直线 的极坐标方程得即直线 的直角坐标方程为(2)点 在直线 上,设直线 的参数方程为 ( 为参数),代入 得,设 , 两点所对应的参数分别为 , ,则 ,则23. (每小题各 5 分)解:(1) (2)根据基本不等式 , , 有则 (当且仅当 时等号成立)( ) ( ) ( )2222222222'ln11ln1ln1ln1tttttttttttttm+−++=−++= ( ) ( )+∞∈+−+= ,1,11ln22tttttM( ) ( )( ) ( )tMttttM ⇒+−= 0112222' ( )+∞,1 ( ) ( ) 01 = MtM( ) ( )tmtm ⇒ 0' ( )+∞,1 ( ) 2111limlim211=+=++ →→tttmtta ( )+∞,2C ( )02 = aaxy ( )1,22112 =⇒= aaC xy212 =l 010101cos22sin222 =−−⇒=+−⇒=+− yxxyθθρl 01 =−− yx21,23P l l+=+=tytx22212223t xy212 =0222 2 =−+ tt A B 1t 2t 2221 −=+ tt 121 −=tt( )2234111121221212121=−+=−=+=+ ttttttttttPBPA( ) ( ) ( ) 133322 =⇒===+−−≤+−−= mmmmxmxmxmxxfabba 222 ≥+ bccb 222 ≥+ caac 222 ≥+ cabcabcba ++≥++ 222( ) ( )22223 cbacba ++≥++ cba ==又 ,故即 或1=++ zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3111311122222 azayxzayx+=−+−+−≥−+−+−( )23131 2 −≤⇒≥+ aa 0≥a

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