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四川省资阳市2021届高三数学(理)12月诊断性试题(附答案Word版)

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资阳市高中 2018 级第一次诊断性考试理科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( ).A. B. C. D.2.已知复数 ,则 ( ).A.2 B. C.4 D.53. ( ).A. B. C. D.4.等差数列 中,若 , ,则 ( ).A. B.3 C. D.95.已知 , , , ,则向量 在 上的投影为( ).A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,若输入 ,则输出的 ( ).A. B. C. D.7.“ ”是“ ”的( ).( )( ){ }1 3 0M x x x= + − { }0,1, 2,3, 4N = M N∩ ={ }1,2,3− { }0,1,2 { }0,1, 2,3 { }0,1,2,3,41 iz = + 2 1z+ =5sin160 cos10 cos 20 sin10° ° + ° ° =32− 12− 1232{ }na 2 6a = 4 3a = 5a =3292( )1,2A ( )3, 4B ( )2,2C − ( )3,5D − CDAB2 252 1052 106N = S =56677889( ) ( )3 31 1a b+ + lg lga bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知 , , ,则 , , 的大小关系为( ).A. B. C. D.9.函数 在区间 的图象大致是( ).A. B. C. D.10.已知圆 内切 的三边 , , 分别于 , , ,且 ,则角 ( ).A. B. C. D.11.已知函数 ,其中 ,且 ,若 对一切 恒成立,则( ).A. B. 是奇函数C. D. 在区间 上有 2 个极值点12.已知 是定义在 上的偶函数,当 时, (其中 为 的导函数),若 ,则 的解集为( ).A. B. C. D.二、填空题:13. ______.14.设 , 满足 ,则 的最大值为______.2log 5a = 3log 7b =0.30.5c = a b cc b a a b c b c a c a b ( ) sinxf x e x= [ ]π, π−O ABC△ AB BC AC D E F 2 3 19 0OD OE OF+ + =   B =π6π32π35π6( ) sin cosf x a x b x= + ,a b∈ R 0ab ≠ ( ) π4f x f ≤   x ∈ Rπ π5 6f f         π4f x +  ( ) 3π2f x f x = −  ( )f x ( )0,2π( )f x R 0x ≥ ( ) ( )2 0f x f x− ′ ( )f x′ ( )f x( )2f e= ( ) ( ) xf x e( )2,2− 1 1,2 2 −  1, 22 −  1,22   ( )2 2 23 log 12 log 327 2 −− =x y1 31 0xx y≤ ≤− ≤ − ≤2x y+15.等比数列 的前 项和为 ,且 , , 成等差数列,则 ______.16.已知函数 ,若关于 的方程 有且仅有 4 个不等实数根,则的取值范围是______.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题17.已知函数 .(1)求 单调递增区间;(2)若 ,且 ,求 的值.18.已知数列 的前 项和为 ,且 , ;数列 为等比数列,且 ,.(1)求 , ;(2)求数列 的前 项和 .19.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,且满足 .(1)求角 的大小;(2)若 , 是 的中点,求线段 长度的最大值.20.已知函数 .(1)若函数 在 上为单调函数,求 的取值范围;(2)已知 , ,求证: .21.已知函数 .(1)当 时,求 在 处的切线方程;(2)当 时,讨论 零点的个数.(二)选考题{ }na n nS 24a 32a 4a34Sa=( )( )2 , 112 , 12x xf xf x x = − ≥x ( ) ( )1f x a x= −a( ) π π2sin cos 2 3 sin cos4 4f x x x x x    = + + +  ( )f x852fα  =  π, π2α  ∈  sinα{ }na n nS 0na 24 2 3n n nS a a= + − { }nb 2 2b =5 16b =na nbnnab   n nTABC A B C a b c 2 cos cos cosb A a C c A− =A2a = D BC AD( ) 3 2g x x ax= +( )g x [ ]1,3 a0a 0x ( ) 2 lng x x ax( ) 2 2 1xf x xe ax ax= + + −212ae= ( )f x 2x = −11ae − − ( )f x22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 .(1)求曲线 的直角坐标方程;(2)若点 ,且 和 的交点分别为点 , ,求 的取值范围.23.[选修 4-5:不等式选讲]已知不等式 解集为 .(1)求 ;(2)若 ,证明: .参考答案1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C11.D 12.A13.5 14.10 15. 16.17.,由 ,得 ,则函数单调递增区间为 .(2)由 得 ,即 ,xOy 1C1 cossinx ty tαα= + =t x2 : 4cosC ρ θ=2C( )1,0A 1C 2C M N1 1AM AN+2 3 3x x− + − MM,b c M∈ 4 4bc c b+ +1541 1,32 16   ( ) πsin 2 3 sin 2 cos 2 3 sin 22f x x x x x = + + = +  π2sin 26x = +  ( )π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k k− ≤ + ≤ + ∈ Z( )π ππ π3 6k x k k− ≤ ≤ + ∈ Z( )π ππ , π3 6k k k − + ∈  Z82 5fα  =  π 82sin6 5α + =  π 4sin6 5α + =  由 , ,可得 ,则 ,所以 .18.(1) 时,由 得 ,所以 ,整理得 ,又 ,所以 ,又 ,即有 ,得 或 (舍去),所以 是以 为首项,公差为 2 的等差数列.于是 .设等比数列 公比为 ,则 , ,解得 , ,所以 .(2)由(1)知 ,则 ①于是 ②①-②.19.(1)由正弦定理得 ,π, π2α  ∈  π 2π 7π,6 3 6α  + ∈  π 3cos6 5α + = −  π π π π π πsin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6α α α α     = + − = + − +          4 3 3 1 4 3 3sin5 2 5 2 10α += × + × =2n ≥ 24 2 3n n nS a a= + −21 1 14 2 3n n nS a a− − −= + −2 21 14 2 2n n n n na a a a a− −= − + −( )( )1 12 0n n n na a a a− −− − + =0na ( )1 2 2n na a n−− = ≥21 1 14 2 3S a a= + −21 12 3 0a a− − = 1 3a = 1 1a = −{ }na 1 3a =2 1na n= +{ }nb q 1 2b q = 41 16b q = 1 1b = 2q =12nnb−=12 12n n nna b −+⋅ =0 2 13 5 7 2 12 2 2 2n nnT −+= + + + +L1 2 31 3 5 7 2 12 2 2 2 2n nnT+= + + + +L12 11 112 21 1 1 1 2 1 2 13 2 3 212 2 2 2 2 212nn n n nn nT−−  −   + +    = = + + + + − = + × −   −L11 11 2 1 2 56 4 1 102 2 2nn n nn nT−− −  + + = + − − = −     2sin cos sin cos sin cosB A A C C A− =则 ,于是 ,又 ,故 .(2)由 得,根据余弦定理 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,则 ,所以 ,线段 长度的最大值为 .20.(1)由题 ,若 为单调递增,则 在 上恒成立,则 ;若 为单调递减,则 在 上恒成立,则 .所以, 的取值范围是 .(2)由题即证: ,令 , ,当 , ,函数 单调递减,当 , ,函数 单调递增.所以 ,【法 1】令 ,则 ,当 , , 单调递减,当 , , 单调递增.所以 时, 取极小值,也即最小值,则 v ,则 时, .( )2sin cos sin sinB A A C B= + = 1cos2A =0 πA π3A =( )12AD AB AC= +  ( ) ( )22 2 21 1 24 4AD AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅      ( ) ( )2 2 2 21 12 cos4 4c b cb A c b bc= + + = + +2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc= + − = + −2 24 b c bc bc= + − ≥ b c=( ) ( )2 2 21 1 4 2 34 4AD c b bc bc= + + = + ≤3AD ≤ AD 3( ) 23 2g x x ax′ = +( )g x ( ) 23 2 0g x x ax′ = + ≥ [ ]1,3 32a ≥ −( )g x ( ) 23 2 0g x x ax′ = + ≤ [ ]1,3 92a ≤ −a9 3, ,2 2   −∞ − ∪ − +∞     lnx a ax+ ( ) lnu x x a ax= + − ( ) 11 a xu xax x−′ = − =0 1x ( ) 0u x′ ( )h x1x ( ) 0u x′ ( )h x( ) ( )1 1 lnu x u a a≥ = + −( ) ( )1 ln 0v a a a a= + − ( ) 1 11 av aa a−′ = − =0 1a ( ) 0v a′ ( )v a1a ( ) 0v a′ ( )v a1a = ( )v a ( ) ( )1 2 0a vv ≥ = 0a ( ) 0u x 故当 时,对于任意 , .【法 2】因为 ,所以 ,所以 ,故当 时,对于任意 , .21.由 ,得 .(1) 时,可得 , ,则切线方程为 ,即 .(2)(ⅰ)当 时, ,可知 , ,又 为 的增函数,且 ,所以 仅有一个零点.(ⅱ)当 时, ,由 得 , 为减函数;得 , 为增函数.所以 ,又 ,所以存在 使 ,故 在 有唯一零点.又当 时, ,即 ,所以 ,而 图象开口向上,故存在 ,使得 ,也即有 ,则存在 使得 ,故 在 有唯一零点,0a 0x ( ) lng x x0a 1 1 lna a a+ − ≥ ( ) 0u x 0a 0x ( ) lng x x( ) 2 2 1xf x xe ax ax= + + −( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 2x xf x x e ax a x e a′ = + + + = + +212ae= ( ) 222fe′ − = − ( ) 222 1fe− = − −( )2 22 22 1y xe e= − + − −2 22 61y xe e= − − −0a = ( ) 1xf x xe= −0x ( ) 0f x ( ) 1xf x xe= − ( )0, +∞ ( )1 1 0f e= − ( )f x0a 2 0xe a+ 1x − ( ) 0f x′ 0a =1x − ( ) 0f x′ 0a =( ) ( ) ( )min11 1 0f af x f xe= = − = − − − 极小值( )1 3 1 0f e a= + − ( )1 1,1x ∈ − ( )1 0f x =( )f x ( )1,− +∞2x −21xee21xxe xe( ) 2 2212 1 2 1xxe ax ax x ax axef x = + + − + + −( ) 2 212 1a a xexh x = + + −  0 2x − ( )0 0h x ( )0 0f x ( )2 0 , 1x x∈ − ( )2 0f x = ( )f x ( ), 1−∞ −此时, 有两个零点,(ⅲ)当 时,由 得 或 ,①若 ,即 ,则当 时, , 单调递增;时, 单调递减;时, , 单调递增.而 , ,此时, 仅有一个零点.②若 ,即 ,则 , 为 上的增函数,因为 , ,此时 仅有一个零点.③若 ,即 ,则当 时, , 单调递增;时, , 单调递减;时, , 单调递增.因 ,则 , ,结合 知 仅有 1 个零点.综上,当 时, 有 1 个零点;当 时, 有两个零点.22.(1)由 可得 ,可得 .(2)将 带入 的直角坐标方程,得 ,( )f x0a ( ) 0f x′ = 1x = − ( )ln 2x a= −( )ln 2 1a− − 1 02ae− ( )ln 2x a − ( ) 0f x′ ( )f x( )ln 2 1a x− − ( )f x1x − ( ) 0f x′ ( )f x( )( ) ( )( )2ln 2 ln 2 1 0f a a a− = − − ( ) 33 1 1 021f e a ee= + − − − ( )f x( )ln 2 1a− = − 12ae= − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R( ) 00 1f = − ( ) 31 1 0e af = + − ( )f x( )ln 2 1a− − 12ae −1x − ( ) 0f x′ ( )f x( )1 ln 2x a− − ( ) 0f x′ ( )f x( )ln 2x a − ( ) 0f x′ ( )f x1 112ae e− − − ( ) 11 1 0aef − = − − − ( ) 22 8 1 02 ef a= + − ( ) 00 1f = − ( )f x11 0ae− − ≤ ( )f x0a ( )f x4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y+ − =1 cossinx ty tαα= + =2C( ) ( ) ( )2 21 cos sin 4 1 cos 0t t tα α α+ + − + =即有 ,所以 , .则.23.(1)当 时, ,得 ;当 时, 成立,得 ;当 时, ,得 ,所以原不等式的解集为 ,即 .(2)要证明 ,即证明 ,即 ,即证明 ,由于 ,所以 , ,则有 ,所以 .2 2 cos 3 0t t α− − =1 2 2cost t α+ = 1 2 3t t⋅ = −1 2 1 2 1 21 21 13 3AM AN t t t t t tAM AN AM AN t t+ + + −+ = = = =⋅( )2 21 2 1 24 4cos 123 3t t t t α+ − ⋅ += =22 cos 3 2 3 4,3 3 3α  += ∈   2x ≤ 2 5 3x− + 1 2x ≤2 3x 1 3 2 3x 3x ≥ 2 5 3x − 3 4x≤ ( )1,4x ∈ ( )1,4M =4 4bc c b+ +( ) ( )2 24 4bc c b+ + 2 2 2 216 16 0b c b c+ − − ( )( )2 216 1 0b c− − ,b c M∈ 2 16 0b − 2 1 0c − ( )( )2 216 1 0b c− − 4 4bc c b+ +

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