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广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学2021届高三数学10月月考试题

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资料简介

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1广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学 2021 届高三数学 10 月月考试题全卷满分 150分,时间 120分钟. 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时,选出每个小题答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效。一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题满分 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得 5 分,选错得 0 分。1.已知集合 , ,则 ( ).A. B. C. D.2.复数 在复平面内对应的点位于( ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件4.已知 ,则 A. B.3 C.-3 D.5.已知向量 ,向量 ,若 ,则实数 ( ).A.12 B. C. D.6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都( ),3a k=( )1,4b =a b⊥ k =12− 3434−{ }2 4 5 0A x x x= − − { }1,0,1,2,3,5B = − A B ={ }1,0− { }1,0,1− { }0,1,2 { }0,1, 2,3iz212+=m n 2 2m n2)12tan( −=+ πα =+ )3tan(πα31−312在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915年提出的,其构造方法如下:取一个实心的等边三角形(如图 1),沿三边的中点连线,将它分成四个小三角形,挖去中间的那一个小三角形(如图2),对其余三个小三角形重复上述过程(如图 3).若图 1(阴影部分)的面积为 1,则图 4(阴影部分)的面积为( )A. B. C. D. 7.函数 的图象的一条对称轴方程为 ,则实数 的取值不可能为( )A.8 B.4 C.7 D.18.已知偶函数 满足 ,且当 时, ,若关于的不等式 在 上有且只有 150个整数解,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题满分 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分。9.函数 , 的图像与直线 (t为常数)的交点可能有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.已知函数 的部分图像如图所示,则下列判断正确的是( )9164192764827( ) sin( )f x A x bω ϕ= + + 0, 0,| |2Aπω ϕ  ≤  sin6y xπω = +   3xπ= ω( )f x (3 ) (3 )f x f x+ = − [0,3]x ∈ 2( )xf x xe−= x2 ( ) ( ) 0f x tf x− [ 150,150]− t12(0, )e−1 32 2,3e e− −  312(3 , 2 )e e− −112( , 2 )e e− −1 siny x= + , 26xπ π ∈  y t=3A. B. C. D.11.已知 ,函数 在 上是单调增函数,则 的可能取值是( ).A.1 B.2 C.3 D.412.已知函数 ,其中 表示不超过实数 x的最大整数,下列关于 结论正确的是( )A. B. 的一个周期是C. 在 上单调递减 D. 的最大值大于三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在边长为 2的等边三角形 ABC中,若 ,则 的值为________.14.已知 是定义在 R上的偶函数,且 若当 时, ,则 ________.15.已知 ,则 的值为_____________.16.已知函数 , , .对于任意4A = 1b = 2ω =6πϕ =0a ( ) 3f x x ax= − [ )1,+∞ a( ) [ ] [ ]sin cos cos sinf x x x= + [ ]x( )f xcos12fπ  =  ( )f x 2π( )f x ( )0,π ( )f x 2DCBD 2= ABAD ⋅( ) 2tan3π α− = −( ) ( )( )cos 3sincos 9sinα π απ α α− + +− +1( ) 2lnf x x xx= − − 21( ) ( 1)2xg x x e ax= − − Ra ∈4,且 ,必有 ,则 的取值范围是________.四、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 10分)在 中,角 的对边分别为(1)求角 ;(2)若 的面积为 ,求 的值.18.(本小题满分 12分)已知函数 的图像过点 ,且相邻两条对称轴之间的距离为 .(1)求 的对称中心;(2)若方程 在区间 上有两个不同的实根,求实数 的取值范围.19.(本小题满分 12分)已知函数 , .(1)讨论函数 的单调性;(2)讨论 的零点的个数.1 2, (1, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠( ) ( )( ) ( )1 21 20f x f xg x g x−−aABC∆ CBA ,, .coscoscos,,,CBcbAacba++=AABCc ∆= ,6 33 a( ) ( )cos 0,02f x xπω ϕ ω ϕ = +   , 13π −  2π( )f x( )f x m= 13,6 12π π −  m2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + 0a ≥( )f x( )f x520.(本小题满分 12分)给出以下三个条件:① , , 成等差数列;②对于 ,点 均在函数的图象上,其中 为常数;③ .请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解.设 是一个公比为 的等比数列,且它的首项 ,.(1)求数列 的通项公式;(2)令 ,证明数列 的前 项和 .21.(本小题满分 12分)已知椭圆 的左右焦点分别为: ,P为椭圆 E上除长轴端点外任意一点, 周长为 12.(1)求椭圆 E的方程;(2)作 的角平分线,与 x轴交于点 ,求实数 m的取值范围.34a 43a 52a*n N∀ ∈ ( , )nn S2xy a= − a 3 7S ={ }na ( 0, 1)q q q ≠ 1 1a ={ }na*22log 1( )n nb a n N= + ∈11n nb b +   n12nT 2 22 2: 1 ( 0)x yE a ba b+ = 1 2( 2,0), (2,0)F F−1 2PF FV1 2F PF∠ ( ,0)Q m622. (本小题满分 12分)已知函数 .(1)若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围;(2)令 ,是否存在实数 ,使得当 时,函数 的最小值是3?若存在,求出实数 的值;若不存在,说明理由; ( ) ( )2 lnf x x ax x a R= + − ∈( )f x [ ]1,2 a( ) ( ) 2g x f x x= − a ( ]0,x e∈ ( )g xa7蔡朝焜纪念中学 2021 届高三第二次调研考试 数学 参考答案1.D 因为 , ,所以 .2.D 3.C 取 , ,可得 但 ,同样取 , ,可得 但 ,故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.4. A 5.B 【解析】由已知得 ,∴ ,故选 B.6. C 7.A 由题意可知 ,解得 ,因为 ,8.B9. ABC 作出函数 , 的图像和直线 ,观察交点即可.解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数 , 的图像和直线 ,如图所示.由图可知,当 或 时,交点个数为 0;当 或 时,交点个数为 2;当或 或 时,交点个数为 1.1 3 4 0a b k⋅ = × + × = 12k = −{ }1 5A x x= − { }1,0, 2,3,5B = − { }0,1,2,3A B =542)21)(21()21(2212 iiiiiz−=−+−=+=1m = − 2n = − m n 2 2m n3m = − 2n = − 2 2m n m nm n 2 2m n314tan)12tan(14tan)12tan()412tan()3tan( −=+−++=++=+ ππαππαππαπα( )3 6 2k kπ π πω π⋅ + = + ∈ Z ( )1 3k kω = + ∈ Z1 1 3 0,4 1 3 1,7 1 3 2= + × = + × = + × 78 1 33= + ×1 siny x= + , 26xπ π ∈  y t=1 siny x= + , 26xπ π ∈  y t=2t 0t 0 1t 322t 0t =312t≤ ≤ 2t =8综上,交点个数可能为 0,1,2.10. BC 详解:周期 ,解得: , ,,∴ ,∴ ,将 代入 ,解得11.ABC 【详解】由题意得 ,因为函数 在 上是单调增函数,所以在 上, 恒成立,即 在 上恒成立,因为当 时,二次函数 的最小值为所以 .12.ABD 【解析】由 ,对于 A, ,故 A正确;对于 B,因为,所以 的一个周期是 ,故 B正确;对于 C,当 时, , ,所以 ,所以 ,故 C错误;对于 D,,故 D正确; 13. 14 . 611 5:2 12 12 2TTπ π π= − = T π= 2ω =2 4 ( 2) 6A = − − =3,2 4 ( 2) 2A b= = + − = 1b = 5 ,412π   3sin(2 ) 1y x ϕ= + +3πϕ = −( ) 23f x x a′ = −( ) 3f x x ax= − [ )1,+∞[ )1,+∞ ( ) 0f x′ ≥23a x≤ [ )1,+∞[ )1,x ∈ +∞ 2( ) 3g x x= (1) 3g =3a ≤( ) [ ] [ ]sin cos cos sinf x x x= +sin 0 cos1 cos12fπ  = + =  ( ) ( ) ( )2 sin cos 2 cos sin 2f x x xπ π π+ = + + +      [ ] [ ] ( )sin cos cos sinx x f x= + = ( )f x 2π0,2xπ ∈  0 sin 1x 0 cos 1x [ ] [ ]sin cos 0x x= =( ) [ ] [ ]sin cos cos sin sin 0 cos 0 1f x x x= + = + =( ) [ ] [ ]0 sin cos 0 cos sin 0f = +2sin1 cos 0 sin1 1 1 22= + = + + 38915.16. 【详解】定义城为 . .故 在 内单调递增.对于任意 ,不妨设 ,则 .故 , , 在 内单调递增.故 在 恒成立,即 恒成立,可知 .∴ 的取值范围为 .故答案为: .四、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:(1)由正弦定理及 ,得 ,………2分,即, …………………………4分, ,即. …………………………6分(2) . ………………………8分 ……………………………10分(其它解法、步骤酌情给分)18.(本小题满分 12分)15−( , ]e−∞( )f x (0, )+∞22 21 2 ( 1)( ) 1 0xf xx x x−′ = + − = ≥ ( )f x (1, )+∞1 2, (1, )x x ∈ +∞ 1 2x x( ) ( )1 2 0f x f x− ( ) ( )1 2 0g x g x− ( ) ( )1 2g x g x ( )g x (1, )+∞( )( ) 0x xg x xe ax aex′ = − = − ≥ (1, )+∞ xa e≤ a e≤a ( , ]e−∞( , ]e−∞CBcbAacoscoscos ++=CBCBAAcoscossinsincossin++=CABACABA sincossincoscossincossin +=+∴ACACBABA sincoscossinsincoscossin −=−).sin()sin( ACBA −=−∴),0(,, π∈CBA ACBA −=−∴3,2π=∴+= ACBA2,3323621sin21 =∴=×××==∆ bbAbcS ABC.72,28cos2222 =∴=−+=∴ aAbccba10【答案】(1) ;(2) 或 .(1)∵相邻两条对称轴之间的距离为 ,∴ ,∴ , ,即 ,…………2分又∵函数 的图像过点 ,∴ ,∵ ,∴ ,得 ,………………4分令 ,解得 ,∴ 的对称中心为 .…………………………6分(2)当 时, ,………………………7分方程方程 在区间 上有两个不同的实根等价于方程 在有两个交点,…………………………9分画出函数 在 图象,如下图所示,当 或 时 , 在 上有两个不同的实根 ,所以实数 的取值范围是 或 .………………………12分,0 ,12 2kk Zπ π + ∈  1m = ( )1,0m∈ −2π22Tπ π= × =2 22Tπ πωπ= = = ( )0ω ( ) ( )cos 2f x x φ= +( )f x , 13π −  2cos 13π ϕ + = −  02πϕ 3πϕ = ( ) cos 2 3f x xπ = +  2 ,3 2π π π+ = + ∈x k k Z ,12 2kx k Zπ π= + ∈( )f x ,0 ,12 2kk Zπ π + ∈  13,6 12xπ π ∈ −  52 0,3 2xπ π + ∈   ( )f x m=13,6 12π π −   cosu m=50,2π   cosy u= 5π0,2   1m = 1 0m− ( )f x m= π 13π,6 12 −  m 1m = ( )1,0m∈ −11(其它解法、步骤酌情给分)19.(本小题满分 12分)解:(1)∵∴ …………………………………………………1分时 时 , 时 .……………………………3分∴ 时, 的减区间是 ,增区间是 .………………………4分(2)① 时,∵ 且 的减区间是 ,增区间是∴ 是 的极小值,也是最小值…………………………………5分,………………………………6分取 且 ……………………………7分则 …………………8分∴ 在 和 上各一个零点………………………………………9分② 时, 只一个零点 …………………………………10分综上, 时, 有两个零点;…………………………………………11分时, 一个零点.……………………………………………………………12分(其它解法、步骤酌情给分)20.(本小题满分 12分)(1)选①进行作答2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + +( ) ( 1)(e 2 )xf x x a′ = − +0a ≥ 1x ( ) 0f x′ 1x ( ) 0f x′ 0a ≥ ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞0a (1) 0f ′ = ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞(1) 0f e= − ( )f x(2) 0f a= 0b ln2ab 2 2( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) (2 3) 02 2b a af b b e a b b a b b b= − + − − + − = − ( )f x ( ,1)b (1, 2)0a = ( ) ( 2) xf x x e= − 2x =0a ( )f x0a = ( )f x12解:因为 , , 成等差数列,所以 ,解得 (舍 或 所以 …………………5分选②进行作答解:由题意得 因为 ,所以所以, ,当 时, ,符合上式,所以 ;……………5分若选③作答解:由 ,解得 或 又因为 ,所以所以 ……………5分(2)证明: ,……………7分,……………9分所以因为 ,所以 ,所以 ,得证.……………12分(其它解法、步骤酌情给分)21.(本小题满分 12分)解:(1)∵ 周长为 12∴∴椭圆 E的方程为 ……………5分(其它解法酌情给分)(2)在 中 即34a 43a 52a 4 3 56 4 2a a a= +23 3 36 4 2a q a a q⋅ = +即1q = ) 2q = 12nna−=2nnS a= − 1 1 2 1a S a= = − = 1a =2 1nnS = −112 , 2 1nnn S−− = −当 时…112 , 2nn n nn a S S−−= − =所以当 时…1n = 1 1a =12nna−=3 7S =21 2 3 1 1 17 7a a a a a q a q+ + = + ⋅ + ⋅ =即2q = 3q = − 0q 2q =12nna−=122 2 1 2 1nnb log n−= + = −1 11 1 1 1 1( )(2 )(2 1) 2 2 1 2 1n nb b n n n n+= = −+ − +g1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1nTn n n= − + − +…+ + = −− + +n N+∈11 12 1n− +12nT 1 2PF FV2 12 4 8a = − =4, 2 3a b= =2 2116 12x y+ =1 2PF FV 1 ( , )PF a c a c∈ − + 1 (2,6)PF ∈13∵ 为 的角平分线∴由合比性质得 ……………7分即 ……………9分∵∴∴ ................... 12分(其它解法、步骤酌情给分)22. (本小题满分 12分)(1)解: 在 上恒成立, ................... 1分即 在 上恒成立,所以 在 上恒成立, ................... 3分设 ,则 在 上单调递减,所以所以 ................... 5分(2)解:存在,假设存在实数 ,使 有最小值 3,①当 时, ,则 在 上单调递减,所以 ,解得 (舍去); ................... 7分②当 时,当 ,则 ;当 ,则 ,PQ 1 2F PF∠1 21 2QF QFPF PF=1 2 1 21 2 1 22 12 2QF QF QF QF cPF PF PF PF a+= = = =+1 11(1,3)2QF PF= ∈1 ( 2) 2QF m m= − − = +2 (1,3)m + ∈( 1,1)m ∈ −21 2 1( ) 2 0x axf x x ax x′ + −= + − = ≤ [ ]1,222 1 0x ax+ − ≤ [ ]1,212a xx≤ − + [ ]1,2( ) 12h x xx= − + ( )h x [ ]1,2 ( ) ( )min722h x h= = −72a ≤ −a ( ) ( ) ( ]( )2 ln 0,g x f x x ax x x e= − = − ∈1 1( )axg x ax x′ −= − =0a ≤ ( ) 0g x¢ ( )g x ( ]0,e( ) ( )min 1 3g x g e ae= = − =4ae=10 ea 10,xa ∈   ( ) 0g x¢ 1,x ea ∈   ( ) 0g x¢ 14所以 在 上单调递减,在 上单调递增,∴ ,解得 ,满足条件; ................... 9分③当 时, ,则 在 上单调递减,所以 ,解得 (舍去), ................... 11分综上,存在实数 ,使得当 时 有最小值 3. ................... 12分(其它解法、步骤酌情给分)( )g x 10,a   1,ea   ( )min11 ln 3g x g aa = = + =  2a e=1ea≥ ( ) 0g x¢ ( )g x ( ]0,e( ) ( )min 1 3g x g e ae= = − =4ae=2a e= ( ]0,x e∈ ( )g x

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