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人教A版2021届高三理科数学上学期期中备考卷(B卷)(Word版附答案)

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2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷理 科 数 学(B)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.若复数 满足 (其中 为虚数单位),则复数 为( )A. B. C. D.3.在数列 中, , ,若 ,则 ( )A. B. C. D.4.已知函数 ( 为自然对数的底数),若 , , ,则( )A. B.C. D.5.已知 ,则 是 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设函数 ,若 ,则 的取值范围是( )A. B.C. D.7.函数 的图象大致是( )A. B.C. D.8.若非零向量 、 满足 且 ,则 与 的夹角为( )A. B. C. D.9.在长方体 中, .若 , 分别为线段 , 的中点,则直线 与平面 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.10.在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 , 的面积为,且 ,则 的值为( )A. B. C. D.11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,圆与双曲线的一个交点为 ,若 ,则双曲线的离心率为( ){ 1,0,1,2}A = − 2{ | 1}B x x= ≤ A B ={ }1,0,1− { }0,1 { }1,1− { }0,1,2z i 4 5iz = − i z5 4i− 5 4i− + 5 4i+ 5 4i− −{ }na 3 5a = 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈ N 25nS = n =3 4 5 6( ) x xf x e e−= − e 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c =( ) ( ) ( )f b f a f c ( ) ( ) ( )f c f b f a ( ) ( ) ( )f c f a f b ( ) ( ) ( )f a f b f c a ∈ R 2a 2 2a a22 1, 1( )2 2, 1x xf xx x x+ ≥=  − − 0( ) 1f x 0x( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( , 1) [1, )−∞ − +∞( , 3) (1, )−∞ − +∞ ( , 3) [1, )−∞ − +∞2 ln | || |x xyx=a b | | | |=a b (2 )+ ⊥a b b a bπ6π32π35π61 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AD AB= = E F 1 1A D 1CCEF 1 1ADD A63223313ABC△ A B C a b c 30B∠ = ° ABC△32sin sin 2sinA C B+ = b4 2 3+ 4 2 3− 3 1− 3 1+2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = 1F 2F2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = P 1 2| 2| ||PF PF=此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A. B. C. D.12.已知函数 ,则使得 成立的 的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.若直线 过点 ,则 的最小值为________.14.已知 ,则 ________.15.已知函数 ,若函数 恰有 个不同的零点,则实数 的取值范围是________.16.将集合 且 中所有的数按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中,从小到大第 个数为_________.三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)在锐角 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且 .(1)确定角 的大小;(2)若 ,且 的面积为 ,求 的值.18.(12 分)如图,在三棱锥 中,侧面 与侧面 均为等边三角形, ,为 中点.(1)证明: 平面 ;(2)求二面角 的余弦值.6 3+ 6 32+6 1− 6 12+2( ) ln( )x xf x e e x−= + + (2 ) ( 3)f x f x + x( 1,3)− ( 1,3) (3, )− +∞ ( 3,3)− ( , 1) (3, )−∞ − +∞1( 0 0)x ya ba b+ = > , > (1, 2) 2a b+π 1cos( )4 3α + = sin 2α =2(1 , 1( ) 22 ) , 1ax xf xx a x − + =  − ≥( ) 1y f x= − 4 a{2 2 | 0t s s t+ ≤ , }s t ∈ Z50ABC△ a b c A B C 3 2 sina c A=C7c = ABC△ 3 32a b+S ABC− SAB SAC 90BAC∠ = °O BCSO ⊥ ABCA SC B− −19.(12 分)设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ,且各次射击互相独立.(1)若甲、乙两人各射击 次,求至少有一人命中目标的概率;(2)若甲连续射击 次,设命中目标次数为 ,求命中目标次数 的分布列及数学期望.20.(12 分)己知椭圆 的一个顶点坐标为 ,离心率为 ,直线交椭圆于不同的两点 , .(1)求椭圆 的方程;(2)设点 ,当 的面积为 时,求实数 的值.21.(12 分)已知函数 .(1)求函数 的单调区间;(2)证明:当 时,关于 的不等式 恒成立.233413 ξ ξ2 22 2: 1( 0)x yM a ba b+ = (2,0) 32y x m= + A BM( )1,1C ABC△ 1 m2( ) lnf x x x x= − +( )f x2a ≥ x 2( ) ( 1) 12af x x ax − + −请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,曲线 ( 为参数,且 ),其中 ,在以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 , .(1)求 与 交点的直角坐标;(2)若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 最大值.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 .(1)解不等式 ;(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围.xOy 1cos:sinx tCy tαα==t 0t ≠ 0 πα≤ Ox 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3 cosC ρ θ=2C 3C1C 2C 1C 3C AB( ) | 2 | | 1 |f x x x= − − +( ) 0f x x+ x 2( ) 2f x a a≤ − R a2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷理 科 数 学(B)答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】 ,所以 ,故选 A.2.【答案】D【解析】由 ,可得 ,故选 D.3.【答案】C【解析】因为 ,所以 是公差为 2 等差数列,因为 , ,所以 ,解得 ,故选 C.4.【答案】D【解析】因为 , , ,∴ ,又 在 上是单调递减函数,故 ,故选 D.5.【答案】A【解析】因为 或 ,所以 是 的充分不必要条件,故选 A.6.【答案】B【解析】当 时, , ,则 ,当 时, , ,有 或 ,则 ,综上可知: 的取值范围是 或 ,故选 B.7.【答案】D【解析】令 ,则 ,所以函数 为偶函数,其图像关于 轴对称,故 B 不正确;当 时, , ,由 ,得 ;由 ,得 ,所以 在 上递减,在 上递增,结合图像分析,A、C 不正确,故选 D.8.【答案】C【解析】设 与 的夹角为 ,由已知得 , ,则 ,∵ ,∴ , ,解得 ,故选 C.9.【答案】C【解析】在长方体 中,各面都是矩形,所以 , , 两两垂直,又 , 平面 , 平面 ,所以 平面 ,以点 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,设 ,则 , ,所以 ,则 为平面 的一个法向量,又 , 分别为线段 , 的中点,所以 , ,则 ,2{ | 1} { | 1 1}B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { 1,0,1}A B = −i 4 5iz = −4 5ii(4 5i) 5i4iz−= = − − = − −1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈ N { }na3 5a = 25nS = ( )112 2 512 252an nna+ × = −+ × =1 15an= =0.50.7 1a −= 0 1b 0c a b c ( )f x R ( ) ( ) ( )f a f b f c 2 2 0 ( 2) 0 2a a a a a− ⇒ − ⇒ 0a 2a 2 2a a0 1x ≥ 0 0( ) 2 1 1f x x= + 0 0x 0 1x ≥0 1x 20 0 0( ) 2 2 1f x x x= − − 20 02 3 0x x− − 0 1x − 0 3x 0 1x −0x 0 1x − 0 1x ≥2 ln | |( )| |x xf xx=2( ) ln | |( ) ( )| |x xf x f xx− −− = =−( )f x y0x 2 ln( ) lnx xf x x xx= = ( ) 1 lnf x x′ = +( ) 0f x′ 1xe ( ) 0f x′ 10 xe ( )f x1(0, )e1( , )e+∞a b θ(2 )+ ⊥a b b (2 ) 0+ =a b b 22 0⋅ + =a b b| | | |=a b 2cos 1 0θ + = 1cos2θ = − 2π3θ =1 1 1 1ABCD A B C D−DA DC 1DD1DD DA D= 1DD ⊂ 1 1ADD A DA ⊂ 1 1ADD ADC ⊥ 1 1ADD AD D xyz−1 2 2AA AD AB= = = (0,0,0)D (0,1,0)C (0,1,0)DC =(0,1,0)DC =1 1ADD AE F 1 1A D 1CC (1,0, 2)E (0,1,1)F( 1,1, 1)EF = − −设直线 与平面 所成角为 ,则 ,故选 C.10.【答案】D【解析】由已知可得 ,解得 ,又 ,由正弦定理可得 ,由余弦定理 ,解得 ,,故选 D.11.【答案】A【解析】设 ,则 ,焦距 ,圆 ,即 ,所以圆 是以 为圆心,半径为 的圆.,可得 是直角三角形,且 是圆的直径,所以 ,即 ,解得 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选 A.12.【答案】D【解析】∵函数 ,∴ ,当 时, , 取最小值;当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减,∵ 是偶函数,且在 上单调递增,∴ 等价 ,整理得 ,解得 或 ,∴使得 成立的 的取值范围是 ,故选 D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.【答案】【解析】因为直线 过点 ,所以 ,因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 , 时取等号,所以 的最小值为 ,故答案为 .14.【答案】【解析】∵ ,∴ ,又 ,∴ ,EF 1 1ADD A θ1 331sin cos ,1 1DCDCDCEFEFEFθ⋅= =⋅= =+ + 1 3sin 302 2ac ° = 6ac =sin sin 2sinA C B+ = 2a c b+ =2 2 2 2 22 cos ( ) 2 3 4 12 6 3b a c ac B a c ac ac b= + − = + − − = − −2 4 2 3b = +1 3b∴ = +2| |PF x= 1| | 2PF x= 1 2| | 2F F c=2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ =O (0,0) c1 2| || | | |OF OP F cO = = =1 2PF F△ 1 2F F2 2 21 2 1 2 || || | |PF PF F F+ =2 2 2( 2 ) (2 )x x c+ = 32c x=1 2| || | 2PF PF a− = 2 2x x a− =2 12a x−=32 6 32 12xceax= = = +−2( ) (ln )x xf x e e x+ +﹣= ( ) 2x xx xe ef x xe e−−−′ = ++0x = ( ) 0f x′ = ( )f x0x ( ) 0f x′ ( )f x0x ( ) 0f x′ ( )f x2( ) ( )ln x xf x e e x= + +﹣ (0, )+∞(2 ) ( 3)f x f x + | 2 | | 3 |x x +2 2 3 0x x − − 3x 1x −(2 ) ( 3)f x f x + x ( , 1) (3, )−∞ − +∞81( 0 0)x ya ba b+ = , (1, 2) 1 2 1a b+ =0 0a b ,1 2 4 42 (2 )( ) 2 2 4 2 8a b a ba b a ba b b a b a+ = + + = + + + ≥ + ⋅ =4a bb a= 2a = 4b =2a b+ 8 879π 1cos( )4 3α + = 2 2 7cos(2 ) 2cos ( 1 14 9 9π π2α α+ = + − = − = −)π2cos(2 ) sin 2α α+ = − 7sin 29α =本题正确结果 .15.【答案】【解析】当 时,令 ,得 ,即 ,该方程至多两个根;当 时,令 ,得 ,该方程至多两个根.由于函数 恰有 个不同的零点,则函数 在区间 和 上均有两个零点.由题意知,直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点,如下图所示:由图象可知, ,解得 ;函数 在区间 上也有两个零点,令 ,解得 , ,由题意可得 ,解得 ,综上所述,实数 的取值范围是 ,故答案为 .16.【答案】【解析】用 表示 ,下表的规律为:,, ,…∵ ,则 第 行的第 个数,∴ ,故答案为 .三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由 及正弦定理得 ,∵ ,∴ ,∵ 是锐角三角形,∴ .(2)∵ , 面积为 ,∴ ,即 .①∵ ,∴由余弦定理得 ,即 .②由②变形得 .③将①代入③得 ,故 .18.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)由题设 .连结 ,为等腰直角三角形,所以 ,且 .又 为等腰三角形,故 , ,从而 ,所以 为直角三角形, .又 ,所以 平面 .(2)解法一:取 中点 ,连结 , ,由(1)知 , ,得 , ,79[3,6)1x ( ) 1 0f x − = | 1| 1 02ax− + − = | 1| 12ax + = −1x ≥ ( ) 1 0f x − = 2(2 ) 1 0x a− − =( ) 1y f x= − 4 ( ) 1y f x= − ( ),1−∞ [1, )+∞12ay = − | 1|y x= + ( ,1)−∞0 1 22a − 2 6a ( ) 1y f x= − [1, )+∞2(2 ) 1 0x a− − = 112ax−= 212ax+=112a − ≥ 3a ≥a [3,6) [3,6)1040( , )t s 2 2t s+3(0,1)5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)50 (1 2 3 4 ... 9) 5= + + + + + + 50a 10 54 1050 (4,10) 2 2 1040a = = + = 1040π3C = 53 2csina A= 3 sin 2sin sinA C A=sin 0A ≠ 3sin2C =ABC△π3C =π3C = ABC△ 3 321 3 3sin2π3 2ab = 6ab =7c = 2 2π2 cos 73a b ab+ − = 2 2 7a b ab+ − =2( ) 3 7a b ab+ = +2( ) 25a b+ = 5a b+ =33AB AC SB SC SA= = = = OAABC△ 22OA OB OC SA= = = AO BC⊥SBC△ SO BC⊥ 22SO SA=2 2 2OA SO SA+ =SOA△ SO AO⊥AO BC O= SO ⊥ ABCSC M AM OMSO OC= SA AC= OM SC⊥ AM SC⊥为二面角 的平面角.由 , , ,得 平面 ,所以 .又 ,故 ,所以二面角 的余弦值为 .解法二:以 为坐标原点,射线 、 分别为 轴、 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系.设 ,则 , , .的中点 ,, , ,∴ , .故 , , 等于二面角 的平面角,,所以二面角 的余弦值为 .19.【答案】(1) ;(2)分布列见解析, .【解析】(1)方法一:设“至少有一人命中目标”为事件 ,.方法二:设“两人都没命中目标”为事件 , ,“至少有一人命中目标”为事件 , .(2) 的取值情况可能为 , , , ,; ;; .的分布列为ξ 0 1 2 3P以 .20.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意知 , ,则 ,∴ ,∴椭圆 的方程为 .(2)设 , ,联立 ,得 ,OMA∴∠ A SC B− −AO BC⊥ AO SO⊥ SO BC O= AO ⊥ SBCAO OM⊥32AM SA=2 6sin33AOAMOAM∠ = = =A SC B− − 33O OB OA x yO xyz−(1,0,0)B ( 1,0,0)C − (0,1,0)A (0,0,1)SSC1 1( ,0, )2 2M −1 1( ,0, )2 2MO = − 1 1( ,1, )2 2MA = −( 1,0, 1)SC = − −0MO SC⋅ = 0MA SC⋅ = MO SC⊥ MA SC⊥ ,MO MA〈 〉 A SC B− −3cos ,3MO MAMO MAMO MA⋅= =   A SC B− − 331112( ) 2E ξ =A2 3 1 3 2 1( )3 4 3 4 3 4P A = × + × + × 1112=B1 1 1( )3 4 12P B = × =A1 11( ) 112 12P A = − =ξ 0 1 2 31 1 1 1( 0)3 3 3 27P ξ = = × × = 132 1 1 6( 1) C3 3 3 27P ξ = = × × =⋅( ) 232 2 1 122 C3 3 3 27P ξ = = × × =⋅ ( ) 2 2 2 833 3 3 27P ξ = = × × =ξ1276271227827( ) 6 12 81 2 3 227 27 27E ξ = × + × + × =22 14xy+ = 102m = ±2a = 32ca= 3c =2 2 2 1b a c= − =M22 14xy+ =1 1)( ,A x y 2 2 )( ,B x y22 14y x mxy= ++ =2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =∴ ,解得 ,, ,∴ ,又点 到直线 的距离为 ,∵ ,解得 ,∴ .21.【答案】(1)单调递减区间为 ,函数 的单增区间为 ;(2)证明见解析.【解析】(1) ,由 ,得 ,又 ,所以 ,所以 的单调递减区间为 ,函数 的单增区间为 .(2)令 ,所以 ,因为 ,所以 ,令 ,得 ,所以当 , ;当 时, ,因此函数 在 是增函数,在 是减函数,故函数 的最大值为 ,令 ,因为 ,又因为 在 是减函数,所以当 时, ,即对于任意正数 总有 ,所以关于 的不等式恒成立.22.【答案】(1) 和 ;(2) .【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 .联立 ,解得 或 ,所以 与 交点的直角坐标为 和 .(2)曲线 的极坐标方程为 ,其中 ,因此 得到极坐标为 , 的极坐标为 .所以 ,当 时, 取得最大值,最大值为 .23.【答案】(1) 或 ;(2) 或 .【解析】(1)不等式 可化为 .当 时, ,解得 ,即 ;当 时, ,解得 ,即 ;当 时, ,解得 ,即 ,综上所述:不等式 的解集为 或 .(2)由不等式 可得 ,2 264 20(4 4) 0Δ m m= − − 5 5m− 1 285mx x∴ + = −21 24 45mx x−=2 21 2 1 24 2| | 2 ( ) 4 55AB x x x x m= ⋅ + − = ⋅ −C AB| |2md =21 1 4 2 | || | 5 12 2 5 2ABCmS AB d m= ⋅ = × ⋅ − ⋅ =△10( 5, 5)2m = ± ∈ −102m = ±(1, )+∞ ( )f x (0,1)21 2 1( ) 2 1 ( 0)x xf x x xx x− + +′ = − + = ( ) 0f x′ 22 1 0x x − −0x 1x ( )f x (1, )+∞ ( )f x (0,1)2 21( ) ( ) [( 1 1] ln (1 ) 12 2ag x f x x ax x ax a x= − − + − = − + − +)21 (1 ) 1( ) (1 )ax a xg x ax ax x− + − +′ = − + − =2a ≥1( )( 1)( )a x xag xx− +′ = −( ) 0g x′ = 1xa=1(0, )xa= ( ) 0g x′ 1( , )xa∈ +∞ ( ) 0g x′ ( )g x1(0, )xa∈ 1( , )xa∈ +∞( )g x 21 1 1 1 1 1( ) ln( ) ( ) (1 ) ( ) 1 ln2 2g a a aa a a a a= − × + − × + = −1( ) ( ) ln2h a aa= − 1(2) ln 2 04h = − ( )h a (0, )a ∈ +∞ 2a ≥ ( ) 0h a x ( ) 0g x x(0,0) 3 3( , )2 242C2 2 2 0x y y+ − =3C2 2 2 3 0x y x+ − =2 22 22 02 3 0x y yx y x+ − =+ − =00xy==3232xy==2C 1C (0,0)3 3( , )2 21C ( , 0)θ α ρ ρ= ∈ ≠R 0 πα≤ A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α| | | 2sin 2 3 cos | 4 | sin(π) |3AB α α α= − = −5π6α = | |AB 43{ | 1x x− 3}x 3a ≥ 1a ≤ −( ) 0f x x+ | 2 | | 1|x x x− + −1x − ( 2) ( 1)x x x− − + − + 3x − 3 1x− −1 2x− ≤ ≤ ( 2) 1x x x− − + + 1x 1 1x− ≤ 2x 2 1x x x− + + 3x 3x ( ) 0f x x+ { | 3 1x x− 3}x 2( ) 2f x a a≤ − 2| 2 | | 1| 2x x a a− − − ≤ −∵ ,∴ ,即 ,解得 或 ,故实数 的取值范围是 或 .| 2 | | 1|x x− − − ≤ | 2 1| 3x − − = 2 2 3a a− ≥2 2 3 0a a− − ≥ 3a ≥ 1a ≤ −a 3a ≥ 1a ≤ −

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