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人教A版2021届高三理科数学上学期期中备考卷(A卷)(Word版附答案)

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时间:2020-11-15

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2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷理 科 数 学(A)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,求 ( )A. B. C. D.2.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八,西乡七千二百三十六,南乡八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,何各几何?”意思是:北乡有 人,西乡有 人,南乡有 人,现要按人数多少从三乡共征集 人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是( )A. B. C. D.3.若复数 , ,且 ,则实数 的值为( )A. B. C. D.4.若 为坐标原点, 是直线 上的动点,则 的最小值为( )A. B. C. D.5.设 ,则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.方舱医院的创设,在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流值一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为( )A.甲 B.丙 C.戊 D.庚7.等差数列 的前 项和为 ,若公差 , ,则当 取得最大值时, 的值为( )A. B. C. D.8.公元前 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积( )与它的直径( )的立方成正比”,即 ,欧几里得未给出 的值. 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式 中的常数 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式 求体积(在等边圆柱中, 表示底面圆的直径;在正方体中, 表示棱长).假设运用此体积公式求得球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为 、 、 ,那么 ( )A. B. C. D.9.设变量 , 满足约束条件 ,则 的最大值为( )A. B. C. D.10.已知函数 对定义域 内的任意 都有 ,且当 时,其导函数满足 ,若 ,则( )A. B.C. D.11.已知椭圆 的右焦点为 , 是椭圆上一点,点 ,当 的周长最大时, 的面积为( )A. B. C. D.12.已知函数 在 上的最大值为 ,最小值为 ,{ | 1 3}A x x= − { | ln 1}B x x= A B ={ | 1 }x x e− { | 0 1}x x { | 0 }x x e { | 3}x e x 8758 7236 8356 378102 112 130 1361 1 2iz = + 2 4iz m= + 1 2z z⋅ ∈ R m2− 4− 2 4O P 2 0x y− + = | |OP222 3 2θ ∈ R π03θ 3 sin cos 2 1θ θ+ { }na n nS 2d = − 3 21S = nS n10 9 6 53 V a3V ka= k 173V ka= k3V ka= aa1k 2k 3k 1 2 3: :k k k =2π : 3π : 6 3π : 2π : 6 2π : 3π :12 3π : 2π :12x y 3 42y xx yx≥ + ≤ ≥ −| 3 |z x y= −4 6 8 10( )f x R x ( ) (4 )f x f x= − 2x ≠ ( )f x′( ) 2 ( )xf x f x′ ′ 2 4a 2(2 ) (3) (log )af f f a 2(3) (log ) (2 )af f a f 2(log ) (3) (2 )af a f f 2(log ) (2 ) (3)af a f f 2 219 5x y+ = F P (0, 2 3)A APF△APF△11411 3421421 342( ) ( 2 )sin( 1) 1f x x x x x= − − + + [ 1,3]− M m此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 则 ( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.在 的二项展开式中,常数项等于__________.14.在平面直角坐标系 中,已知 , .若 , ,则实数 的值为________.15.若将函数 的图象向左平移 个单位长度,平移后的图象关于点 对称,则函数 在 上的最小值为_______.16.数列 满足 , ,其中 ,若存在正整数 ,当 时总有 ,则 的取值范围是__________.三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 ,.(1)求 的值;(2)若 ,求 的面积.18.(12 分)唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有多年的历史,制作工艺十分复杂,它的制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 , , ,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 , , .(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 ,求随机变量 的数学期望.19.(12 分)如图,在六面体 中,平面 平面 , 平面 ,, ,且 , .M m+ =4 2 1 062( )xx−xOy (3, 1)OA = −(0, 2)OB =0OC AB⋅ = AC OBλ= λ1 3( ) sin(2 ) cos(2 )(0 π)2 2f x x xϕ ϕ ϕ= + + + π4π( ,0)23( ) sin( )2g x x ϕ= + −π[ ],2π6−{ }na 1 1a = 1 1n nna anλ+−=+[1,5]λ ∈ m n m 0na λABC△ A B C a b cπ3A =2 2 233b c abc a+ − =a1b = ABC△1300124535451223X XABCDEFG ABC∥ DEFG AD ⊥ DEFGDE DG⊥ EF DG∥ 2AB AD DE DG= = = = 1AC EF= =(1)求证: 平面 ;(2)求锐二面角 的余弦值.20.(12 分)如图,已知椭圆 , 为其右焦点,直线 与椭圆相交于 , 两点,点 , 在 上,且满足 , ,(点 , , , 从上到下依次排序).(1)试用 表示 ;(2)证明:原点 到直线 的距离为定值.21.(12 分)已知函数 .BF∥ ACGDD CG F− −22: 14xC y+ = F : ( 0)l y kx m km= + 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y A B l | | | |PA PF= | | | |QB QF=| | | |OA OB= A P Q B1x | |PFO l( ) ln( 1) ( 1) 1( )f x x k x k= − − − + ∈ R(1)求函数 的单调区间;(2)若在定义域内 恒成立,求实数 的取值范围;(3)证明: .请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(1)求曲线 与直线 的普通方程;(2)若点 在曲线 上, 在直线 上,求 的最小值.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 , .(1)当 时,求不等式 的解集;(2)若关于 的不等式 的解集包含集合 ,求实数 的取值范围.( )f x( ) 0f x ≤2*ln 2 ln 3 ln 4 ln ( 2, )3 4 5 1 4n n nn nn−+ + + + ≥ ∈+NxOy C3 2cos1 2sinxyαα= − + = +α Ox l 3 cos 4 sin 12 0ρ θ ρ θ− − =C lP C Q l | |PQ( ) | | | 2 1|f x x a x= − + − a ∈ R1a = ( ) 3f x ≤x ( ) | 2 1|f x x≤ + 1[ ,1]2a2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷理 科 数 学(A)答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】∵ ,∴ ,又∵ ,∴ .2.【答案】B【解析】由题意得,三乡总人数为 人.∵共征集 人,∴需从西乡征集的人数是 ,故选 B.3.【答案】A【解析】 ,故 , .4.【答案】B【解析】由题意,为使 取最小值,只需 与直线 垂直,由点到直线距离公式可得 .5.【答案】A【解析】∵ ,当 时, ,此时令 ,则 在 上,满足 ,反之,当 时, ,不一定有 ,比如 ,∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.6.【答案】D【解析】已知己的夜班在周四,假设乙和丙的夜班分别在周三和周五,则“甲的夜班比丙晚一天”与“乙的夜班比庚早三天”矛盾.因为“甲的夜班比丙晚一天”,所以丙的夜班不可能在周日,所以乙和丙的夜班分别在周二和周六.由“甲的夜班比丙晚一天”,得甲的夜班在周日,由“乙的夜班比庚早三天”,得庚的夜班在周五,故选 D.7.【答案】D【解析】由 , ,得 ,又因为 , ,故当 时, 取最大值.8.【答案】C【解析】由题意得,球的体积为 ;等边圆柱的体积为 ,正方体的体积 ,所以 .9.【答案】C【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分,则对于目标函数 ,平移直线 可知,当直线经过点 时, 取得最小值 ,当直线经过点 时, 取得最大值 ,所以 ,即 .10.【答案】C【解析】由 ,得 ,{ | ln 1}B x x= { | 0 }B x x e= { | 1 3}A x x= − { | 0 }A B x x e= 8758 7236 8356 24350+ + =3787236378 11224350× ≈1 2 ( 8) (2 4)iz z m m⋅ = − + + ∈ R 2 4 0m + = 2m = −| |OP OP 2 0x y− + =min 2 2| 2 || | 21 ( 1)OP = =+ −23 sin cos 2 3 sin 1 2sinθ θ θ θ+ = + −π03θ 30 sin2θ sin tθ = 22 3 1y t t= − + + 302t 1y 23 sin 1 2sin 1θ θ+ − 30 sin2θ π03θ 5π6θ =π03θ 3 sin cos 2 1θ θ+ 2d = − 3 21S = 1 9a =5 1a = 6 1a = − 5n = nS3 3 31 14 4π π( )3 3 2 6π6πaV R a k= = = ⇒ =2 2 32 2π π 4π(π)2 4aV R a a a k= = = ⇒ =333 1aV k⇒ == 1 2 3π π: : : :1 2π : 3π :126 4k k k = =| 3 |z x y= − 13y x=( 2, 2)A − 3z x y= − 8−( 2, 2)B − − 3z x y= − 4[ ]3 8,4x y− ∈ − | 3 | [0,8]x y− ∈( ) 2 ( )xf x f x′ ′ ( 2) ( ) 0x f x′− 则当 时, ,所以 在 上为增函数.因为 ,所以 , .又由 知函数图象的对称轴为 ,所以 且 ,所以 ,即 ,故选 C.11.【答案】D【解析】由椭圆方程 ,得 , , ,设椭圆左焦点为 ,则 的周长为,当且仅当 , , 三点共线,且 在 的延长线上时取等号,∵ , ,∴直线 的方程为 ,即 ,由 ,得 ,∴ 的纵坐标为 ,∴当 的周长最大时,该三角形的面积为 .12.【答案】A【解析】注意到 ,可令 , ,则 , ,显然 , .又 为奇函数,则 ,所以 ,故选 A.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.【答案】【解析】根据所给二项式的构成,常数项只有一项,就是 .14.【答案】【解析】∵ , ,∴ ,设 ,则 ①.又 , ,∴ 且 ②.由①②可得 , , .15.【答案】【解析】∵ ,向左移 得 ,∵图象关于点 对称,∴ ,∵ ,∴ ,故 ,∵ ,∴ .16.【答案】【解析】记 ,( , , ),根据题意可知, ,这时总存在 ,满足:当 时, ;当 时, .所以由 及 可知,若 为偶数,则 ,从而当 时 ;若 为奇数,则 ,从而当 时 .2x ( ) 0f x′ ( )f x (2, )+∞2 4a 4 2 16a 21 log 2a ( ) (4 )f x f x= − 2x =2 2(log ) (4 log )f a f a= − 22 4 log 3 2aa − 2(4 log ) (3) (2 )af a f f− 2(log ) (3) (2 )af a f f 2 219 5x y+ = 3a = 5b = 2 2 2c a b= − =F ′ APF△| | | | | | | | | | 2 | | 4 6 | | | | 10 | |AF AP PF AF AP a PF AP PF AF′ ′ ′+ + = + + − = + + − ≤ +A P F ′ P AF ′(0, 2 3)A ( 2,0)F ′ −AF ′ 12 2 3x y+ =− 3 2 3 0x y− + =2 23 2 3 019 5x yx y − + =+ =232 20 3 75 0y y− − =P5 38− APF△1 5 3 21 3| | | | 2 | 2 3 |2 8 4A PFF y y′ ⋅ − = × + =2( ) [( 1) 1]sin( 1) 1f x x x x= − − − + +1t x= − 2( ) ( 1)sing t t t t= − + ( ) ( ) 2y f x g t= = + [ 2, 2]t ∈ −max( ) 2M g t= + min( ) 2m g t= +( )g t max min( ) ( ) 0g t g t+ = 4M m+ =160−3 3 34 62C ( ) 160T xx= − = −2(3, 1)OA = −(0, 2)OB =( 3,3)AB OB OA= − = −  ( , )OC m n=3 3 0OC AB m n⋅ = − + = ( 3, 1)AC OC OA m n= − = − +  AC OBλ= 3 0m − = 1 2n λ+ =3m = 3n = 2λ =3−1 3( ) sin(2 ) cos(2 ) sin(2 )2 2π3f x x x xϕ ϕ ϕ= + + + = + +π4sin(2 ) cos(2 )2 3 3π π πy x xϕ ϕ= + + + = + +π( ,0)2cos(2 ) cos(π )π π π cos( ) 02 3 3π3ϕ ϕ ϕ× + + = + + = − + =0 πϕ π6ϕ = 3( ) sin( )6π2g x x= + −π π3 3π6x− ≤ + ≤ 3 ( ) 0g x− ≤ ≤(1, 2) (3,4)1nnnbλ−=+1n = 2nλ ≠ ( *)n∈ N 0 *n ∈ N 0n n≥ 0nb 0 1n n≤ − 0nb 1n n na b a+ = 1 1 0a = 0n 0 0na 0n n 0na 0n 0 0na 0n n 0na 因此“存在 ,当 时,总有 ”的充分必要条件是: 为偶数,记 ( ,, ),则 满足 ,故 的取值范围是 ,又 ,∴ .三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意,得 ,∵ ,∴ ,∵ ,∴ .(2)∵ ,由正弦定理 ,可得 .∵ ,∴ ,∴ ,∴ .18.【答案】(1) ;(2) .【解析】分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 , , ,(1)设事件 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 .(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ,所以随机变量 ,所以 .19.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)设 的中点为 ,连接 , ,易证:四边形 是平行四边形,∴ ,且 ,∵平面 平面 ,∴ ,∵ ,∴ ,且 ,∴四边形 是平行四边形,∴ ,又 平面 , 平面 ,故 平面 .(2)由题意可得 , , 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,则 ;又平面 的法向量为 ,∴ ,由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 的余弦值为 .20.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)椭圆 ,故 ,.*m∈ N n m 0na 0n 0 2n k= 1k =2 λ22 1202 12 102kkkbkkbkλλ−− =  + − − = λ (2 1,2 )k kλ ∈ −[1,5]λ ∈ (1, 2) (3, 4)λ ∈ 3a = 32ABCS =△2 2 2 33b c a abc+ − =2 2 2 2 cosb c a bc A+ − = 32 cos3bc A abc=π3A = 2 3 cos 3a A= =3a =sin sina bA B= 1sin2B =a bπ6B = ππ2C A B= − − =1 3sin2 2ABCS ab C= =△1350( ) 1.2E X =1A 2A 3AE1 1 2 1 4 2 1 1 3 13( )2 5 5 2 5 5 2 5 5 50P E = × × + × × + × × =25p =~ (3,0.4)X B( ) 3 0.4 1.2E X np= = × =66DG M AM FMDEFMMF DE∥ MF DE=ABC∥ DEFG AB DE∥AB DE= MF AB∥ MF AB=ABFM BF AM∥BF ⊂ ACGD AM ⊂ ACGD BF∥ ACGDAD DE DG(0, 2,0) (2,1,0) ( 2,1,0)FG = − = −(0,1, 2)CG = −BCGF 1 ( , , )x y z=n112 02 0FG x yCG z y⋅ = − + =⋅= − + =nn2y = 1 (1, 2,1)=nADGC 2 (1,0,0)=n21 21 21 22 2 2 2 21 1 6cos ,| | 61 2 1 1 0 0⋅ × = = =+ + × + +‖n nn nn nD CG F− − 66132|2| xPF = −22: 14xC y+ = ( 3,0)F2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 3 3| | ( 3) ( 3) 122 3 44 42PF x y x x x x x= − + = −= − + − = − +(2)设 , ,则将 代入 ,得到 ,故 , , ,,故 ,得到 ,,故 ,同理 ,由已知得 或 ,故 ,即 ,化简得到 ,故原点 到直线 的距离为 为定值.21.【答案】(1)见解析;(2) ;(3)证明见解析.【解析】(1)定义域为 , ,若 , , 在 上单调递增;若 , ,所以,当 时, ,当 时, .综上:若 , 在 上单调递增;若 , 在 上单调递增,在 上单调递减.(2)由(1)知, 时, 不可能成立;若 , 恒成立, ,得 ,综上, .(3)由(2)知,当 时,有 在 上恒成立,即 ,令 ,得 ,即 ,,得证.22.【答案】(1) , ;(2)3.【解析】(1)由 ,消去 ,得 ,因为 ,由直角坐标与极坐标的转化公式可得 ,所以曲线 的普通方程为 ,直线 的普通方程为 .(2)由(1)知: ,得圆心为 ,半径为 ,,的最小值即圆心 到直线 的距离减去圆的半径,因为 到直线 的距离 ,所以 的最小值为 .23.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时, ,所以不等式 ,即为 ,等价于 或 或 ,即 或 或 ,解得 或 或 ,∴ ,∴原不等式的解集为 .(2)∵不等式 的解集包含集合 ,3 3( , )A x y 4 4( , )B x yy kx m= +22 14xy+ = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =1 2 284 1kmx xk−+ =+21 2 24 44 1mx xk−=+2122 24 4 1| |4 1k mx xk+ −− =+| | | |OA OB= 3 4 3 43 4 3 4( ) 2 1y y k x x mx x x x k+ + += = −+ + 3 4 221kmx xk−+ =+| | | |PA PF= 21 3 131 | | 22k x x x+ − = − 2 4 2 231 | | 22k x x x+ − = −3 1 2 4x x x x 3 1 2 4x x x x 21 2 3 4 2 131 | ( ) ( ) | | |2k x x x x x x+ + − + = −2 222 2 28 2 4 11 | | 2 34 1 1 4 1km km k mkk k k− + −+ ⋅ + = ⋅+ + +2 2 1m k= +O l2| |11mdk= =+1k ≥(1, )+∞ 1 1( )1 1k kxf x kx x+ −′ = − =− −0k ≤1( ) 01f x kx′ = − ≥−( )f x (1, )+∞0k 1( )( )1kk xkf xx+− −′ =−( ) 0f x′ 11 1xk + ( ) 0f x′ 1 1xk +0k ≤ ( )f x (1, )+∞0k ( )f x1(1, 1)k+ 1( 1, )k+ +∞0k ≤ (2) 1 0f k= − 0k ( ) 0f x ≤1( 1) ln 0f kk+ = − ≤ 1k ≥1k ≥1k = ( ) 0f x ≤ (1, )+∞ ln( 1) 2x x− −21 ( , 1)x n n N n∗− = ∈ 2 2ln 1n n −ln 11 2n nn−+ln 2 ln 3 ln 4 ln 1 2 3 1 ( 1)3 4 5 1 2 2 2 2 4n n n nn− −+ + + + + + + + =+ 2 2: ( 3) ( 1) 4C x y+ + − = : 3 4 12 0l x y− − =3 2cos1 2sinxyαα= − + = +α 2 2( 3) ( 1) 4x y+ + − =3 cos 4sin 12 0ρ θ θ− − =3 4 12 0x y− − =C 2 2( 3) ( 1) 4x y+ + − = l 3 4 12 0x y− − =2 2: ( 3) ( 1) 4C x y+ + − = ( 3,1)− 2: 3 4 12 0l x y− − =| |PQ ( 3,1)− 3 4 12 0x y− − =( 3,1)− 3 4 12 0x y− − =2 2| 3 ( 3) ( 4) 1 12 |53 4d× − + − × −= =+| |PQ 5 2 3− =1 5{ | }3 3x x− ≤ ≤ 5[ 1, ]2−1a = ( ) | 1| | 2 1|f x x x= − + −( ) 3f x ≤ | 1| | 2 1| 3x x− + − ≤12(1 ) (1 2 ) 3xx x ≤ − + − ≤112(1 ) (2 1) 3xx x  − + − ≤1( 1) (2 1) 3xx x≥ − + − ≤1213xx ≤ ≥ −1123xx  ≤153xx≥ ≤1 13 2x− ≤ ≤ 1 12x 513x≤ ≤ 1 53 3x− ≤ ≤1 5{ | }3 3x x− ≤ ≤( ) | 2 1|f x x≤ + 1[ ,1]2∴当 时,不等式 恒成立,即 对 恒成立,∴ 对 恒成立,∴ 对 恒成立.又当 时, , ,∴ ,∴实数 的取值范围为 .1[ ,1]2x ∈ ( ) | 2 1|f x x≤ +| | | 2 1| | 2 1|x a x x− + − ≤ + 1[ ,1]2x ∈| | 2x a− ≤ 1[ ,1]2x ∈2 2x a x− ≤ ≤ +1[ ,1]2x ∈1[ ,1]2x ∈ 2 1x − ≤ −522x + ≥ 512a− ≤ ≤a 5[ 1, ]2−

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