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人教A版2021届高三文科数学上学期期中备考卷(B卷)(Word版附答案)

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时间:2020-11-15

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2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷文 科 数 学(B)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.若复数 满足 (其中 为虚数单位),则复数 为( )A. B. C. D.3.在数列 中, , ,若 ,则 ( )A. B. C. D.4.已知函数 ( 为自然对数的底数),若 , , ,则( )A. B.C. D.5.已知 ,则 是 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数 的图象大致是( )A. B.C. D.7.若非零向量 、 满足 且 ,则 与 的夹角为( )A. B. C. D.8.已知 , 均为正实数,且 ,则 的最小值为( )A.20 B.24 C.28 D.329.在正方体 中, 分别是 , 的中点,则( )A. B.C. 平面 D. 平面10.设数列 的前 项和为 ,当 时, , , 成等差数列,若 ,且 ,则 的最大值为( )A. B. C. D.11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,圆与双曲线的一个交点为 ,若 ,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.12.函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点,则 的取值范围是( )A. B. C. D.{ 1,0,1,2}A = − 2{ | 1}B x x= ≤ A B ={ }1,0,1− { }0,1 { }1,1− { }0,1, 2z i 4 5iz = − i z5 4i− 5 4i− + 5 4i+ 5 4i− −{ }na 3 5a = 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈ N 25nS = n =3 4 5 6( ) x xf x e e−= − e 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c =( ) ( ) ( )f b f a f c ( ) ( ) ( )f c f b f a ( ) ( ) ( )f c f a f b ( ) ( ) ( )f a f b f c a ∈ R 2a 2 2a a2 ln | || |x xyx=a b | | | |=a b (2 )+ ⊥a b b a bπ6π32π35π6x y1 1 12 2 6x y+ =+ +x y+1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1BC 1CD1 1MN C D∥ 1MN BC⊥MN ⊥ 1ACD MN ⊥ 1ACC{ }na n nS n ∗∈N na 12n + 1na + 2020nS =2 3a n63 64 65 662 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = 1F 2F2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = P 1 2| 2| ||PF PF=6 3+ 6 32+6 1− 6 12+( ) 2f x ax= − ( ) xg x e= y x= a,4e −∞  ,2e −∞  ( ],e−∞ ( 2,e −∞ 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.一工厂生产了某种产品 18000 件,它们来自甲,乙,丙 3 个车间,现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查,已知从甲,乙,丙 3 个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列,则这批产品中乙车间生产的产品件数是________.14.已知 ,则 __________.15.已知函数 ,若函数 恰有 个不同的零点,则实数 的取值范围是__________.16.黄金分割比 被誉为“人间最巧的比例”.离心率 的椭圆被称为“优美椭圆”,在平面直角坐标系中的“优美椭圆” ( )的左右顶点分别为 A,B,“优美椭圆”C 上动点 P(异于椭圆的左右顶点),设直线 , 的斜率分别为 , ,则__________.三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)在锐角 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且 .(1)确定角 的大小;(2)若 ,且 的面积为 ,求 的值.18.(12 分)如图,四棱锥 中,平面 底面 ABCD, 是等边三角形,底面 ABCD 为梯形,且 , , .(1)证明: ;(2)求 A 到平面 PBD 的距离.19.(12 分)在疫情防控中,不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时,通过运动健身增强体质,进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义,某机构为了解“性别与休闲方式为π 1cos( )4 3α + = sin 2α =2(1 , 1( ) 22 ) , 1ax xf xx a x − + =  − ≥( ) 1y f x= − 4 a5 10.6182ω −= ≈ 5 12e−=2 22 2: 1xaCyb+ = 0a b PA PB 1k 2k1 2k k =ABC△ a b c A B C 3 2 sina c A=C7c = ABC△ 3 32a b+P ABCD− PDC ⊥ PDC△60DAB∠ = ° AB CD∥ 2 2DC AD AB= = =BD PC⊥运动”是否有关,随机调查了 个人,其中男性占调查人数的 .已知男性中有一半的人休闲方式是运动,而女性只有 的人休闲方式是运动.(1)完成下列 列联表;(2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的人数至少有多少?运动 非运动 总计男性女性总计参考公式: ,其中 .0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82820.(12 分)己知椭圆 的一个顶点坐标为 ,离心率为 ,直线交椭圆于不同的两点 .(1)求椭圆 的方程;(2)设点 ,当 的面积为 时,求实数 的值.21.(12 分)已知 ( ).(1)若 对 恒成立,求实数 a 范围;(2)求证:对 ,都有 .n 25132 2×n22 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d−+ + + += n a b c d= + + +( )2 nP K k≥0k2 22 2: 1( 0)x yM a ba b+ = (2,0) 32y x m= + ,A BM( )1,1C ABC△ 1 m( ) 1xf x e ax= − − a ∈ R( ) 0f x ≥ x ∈ Rn ∗∀ ∈ N1 1 1 11 2 311 1 1 1n n n nnn n n n+ + + +       + + + +        + + + +       请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,曲线 ( 为参数,且 ),其中 ,在以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 , .(1)求 与 交点的直角坐标;(2)若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 最大值.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 .(1)解不等式 ;(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围.xOy 1cos:sinx tCy tαα==t 0t ≠ 0 πα≤ Ox 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3 cosC ρ θ=2C 3C1C 2C 1C 3C AB( ) | 2 | | 1 |f x x x= − − +( ) 0f x x+ x 2( ) 2f x a a≤ − R a2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷文 科 数 学(B)答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】 ,所以 ,故选 A.2.【答案】D【解析】由 可得 ,故选 D.3.【答案】C【解析】因为 ,所以 是公差为 2 等差数列,因为 , ,所以 ,解得 ,故选 C.4.【答案】D【解析】因为 , , ,∴ ,又 在 上是单调递减函数,故 ,故选 D.5.【答案】A【解析】因为 或 ,所以 是 的充分不必要条件,故选 A.6.【答案】D【解析】令 ,则 ,所以函数 为偶函数,其图像关于 轴对称,故 B 不正确;当 时, , ,由 ,得 ;由 ,得 ,所以 在 上递减,在 上递增,结合图像分析,A、C 不正确,故选 D.7.【答案】C【解析】设 与 的夹角为 ,由已知得 , ,则 ,∵ ,∴ , ,解得 ,故选 C.8.【答案】A【解析】 均为正实数,且 ,则 ,,当且仅当 时取等号.的最小值为 20,故选 A.9.【答案】D【解析】对于选项 A,因为 分别是 , 的中点,所以点 平面 ,点 平面 ,所以直线 MN 是平面 的交线,又因为直线 在平面 内,故直线 MN 与直线 不可能平行,故选项 A 错;对于选项 B,正方体中易知 ,因为点 是 的中点,所以直线 与直线 不垂直,故选项 B 不对;对于选项 C,假设 平面 ,可得 .因为 是 的中点,所以 ,这与 矛盾,故假设不成立.2{ | 1} { | 1 1}B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { 1,0,1}A B = −i 4 5iz = −4 5ii(4 5i) 5i4iz−= = − − = − −1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈ N { }na3 5a = 25nS = ( )112 2 512 252an nna+ × = −+ × =1 15an= =0.50.7 1a −= 0 1b 0c a b c ( )f x R ( ) ( ) ( )f a f b f c 2 2 0 ( 2) 0 2a a a a a− ⇒ − ⇒ 0a 2a 2 2a a2 ln | |( )| |x xf xx=2( ) ln | |( ) ( )| |x xf x f xx− −− = =−( )f x y0x 2 ln( ) lnx xf x x xx= = ( ) 1 lnf x x′ = +( ) 0f x′ 1xe ( ) 0f x′ 10 xe ( )f x1(0, )e1( , )e+∞a b θ(2 )+ ⊥a b b (2 ) 0+ =a b b 22 0⋅ + =a b b| | | |=a b 2cos 1 0θ + = 1cos2θ = − 2π3θ =,x y1 1 12 2 6x y+ =+ +1 16 12 2x y + = + + ( 2) ( 2) 4x y x y∴ + = + + + −1 16( )[( 2) ( 2)] 42 2x yx y= + + + + −+ +2 2 2 26(2 ) 4 6(2 2 ) 4 202 2 2 2y x y xx y x y+ + + += + + − ≥ + ⋅ − =+ + + +10x y= =x y∴ +,M N 1BC 1CDN ∈ 1 1CDD C M ∉ 1 1CDD C1 1CDD C1 1C D 1 1CDD C 1 1C D1NB NC≠M 1BC MN 1BCMN ⊥ 1ACD 1MN CD⊥M 1BC 1MC MD= 1MC MD≠所以选项 C 不对;对于选项 D,分别取 , 的中点 P、Q,连接 PM、QN、PQ.因为点 是 的中点,所以 且 .同理 且 .所以 且 ,所以四边形 为平行四边形,所以 .在正方体中, , ,因为 , 平面 , 平面 ,所以 平面 .因为 ,所以 平面 ,故选项 D 正确,故选 D.10.【答案】A【解析】由 , , 成等差数列,可得 , ,则 , , , ,可得数列 中,每隔两项求和是首项为 ,公差为 的等差数列.则 ,,则 的最大值可能为 .由 , ,可得 ,,因为 , , ,即 ,所以 ,则 ,当且仅当 时, ,符合题意,故 的最大值为 ,故选 A.11.【答案】A【解析】设 ,则 ,焦距 ,圆 ,即 ,所以圆 是以 为圆心,半径为 的圆,,可得 是直角三角形,且 是圆的直径,所以 ,即 ,解得 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选 A.12.【答案】C【解析】由题可知,曲线 与 有公共点,即方程 有解,即 有解,令 ,则 ,则当 时, ;当 时, ,故 时, 取得极大值 ,也即为最大值,当 趋近于 时, 趋近于 ,所以 满足条件.故选 C.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.1 1B C 1 1C DM 1BC 1PM CC∥ 11| |= | |2PM CC1QN CC∥ 11| | | |2QN CC=PM QN∥ | | | |PM QN= PQNMPQ MN∥1CC PQ⊥ PQ AC⊥1AC CC C= AC ⊂ 1ACC 1CC ⊂ 1ACCPQ ⊥ 1ACCPQ MN∥ MN ⊥ 1ACCna12n + 1na + 1 2 1++ = +n na a n n ∗∈N1 2 3a a+ = 3 4 7a a+ = 5 6 11a a+ = { }na 3 46231 303 31 4 1953 20202S×= × + × = 6432 313 32 4 2080 20202S×= × + × = n 631 2 1++ = +n na a n n ∗∈N 1 2 2 3+ ++ = +n na a n( ) ( ) ( )63 1 2 3 4 5 62 63S a a a a a a a= + + + + + + + 1 5 9 125a= + + + +1 131 3031 5 4 20152a a×= + × + × = +1 2 3a a+ = 1 23a a= − 2 3a 2 3a− − 1 0a 63 12015 2015S a= + 1 5a = 63 2020S =n 632| |PF x= 1| | 2PF x= 1 2| | 2F F c=2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ =O (0,0) c1 2| || | | |OF OP F cO = = =1 2PF F△ 1 2F F2 2 21 2 1 2 || || | |PF PF F F+ =2 2 2( 2 ) (2 )x x c+ = 32c x=1 2| || | 2PF PF a− = 2 2x x a− =2 12a x−=32 6 32 12xceax= = = +−( ) 2f x ax= − lny x= 2 lnax x− =2 ln xax+=( ) 2 ln xh xx+= ( ) 21 ln xh xx− −′ =10 xe ( ) 0h x′ 1xe ( ) 0h x′ 1xe= ( )h x 1h ee  =  x 0 ( )h x −∞ a e≤13.【答案】6000【解析】设甲,乙,丙 3 个车间的产品件数分别为 , , ,所以 ,解得 ,所以这批产品中乙车间生产的产品件数是 6000,故答案为 6000.14.【答案】【解析】∵ ,∴ ,又 ,∴ ,本题正确结果 .15.【答案】【解析】当 时,令 ,得 ,即 ,该方程至多两个根;当 时,令 ,得 ,该方程至多两个根,由于函数 恰有 个不同的零点,则函数 在区间 和 上均有两个零点.由题意知,直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点,如下图所示:由图象可知, ,解得 ;函数 在区间 上也有两个零点,令 ,解得 , ,由题意可得 ,解得 ,综上所述,实数 的取值范围是 ,故答案为 .16.【答案】【解析】设 , , , ,则 .故答案为 .三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由 及正弦定理得 ,∵ ,∴ ,∵ 是锐角三角形,∴ .(2)∵ , 面积为 ,∴ ,即 .①∵ ,∴由余弦定理得 ,即 .②由②变形得 ,③将①代入③得 ,故 .18.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)由余弦定理得 ,∴ ,∴ , ,,∴ .又平面 底面 ,平面 底面 , 底面 ,a d− a a d+( ) ( ) 18000a d a a d− + + + = 6000a =79π 1cos( )4 3α + = 2 2 7cos 2 2cos 1 14 9π π2 9α α   + = + − = − = −      π2cos(2 ) sin 2α α+ = − 7sin 29α = 79[3,6)1x ( ) 1 0f x − = | 1| 1 02ax− + − = | 1| 12ax + = −1x ≥ ( ) 1 0f x − = 2(2 ) 1 0x a− − =( ) 1y f x= − 4 ( ) 1y f x= − ( ),1−∞ [1, )+∞12ay = − | 1|y x= + ( ,1)−∞0 1 22a − 2 6a ( ) 1y f x= − [1, )+∞2(2 ) 1 0x a− − = 112ax−= 212ax+=112a − ≥ 3a ≥a [3,6) [3,6)1 52−( )cos , sinP a bθ θ π ,2kkθ ≠ ∈ Z ( ),0A a− ( ),0B a( )2 2 221 2 22 2sin sin sin 1 51cos cos 2cos 1b b b bk k ea a a a aaθ θ θθ θ θ−= ⋅ = = − = − =+ − −1 52−π3C = 53 2csina A= 3 sin 2sin sinA C A=sin 0A ≠ 3sin2C =ABCVπ3C =π3C = ABC△ 3 321 3 3sin2π3 2ab = 6ab =7c = 2 2π2 cos 73a b ab+ − = 2 2 7a b ab+ − =2( ) 3 7a b ab+ = +2( ) 25a b+ = 5a b+ =32h =2 21 2 2 1 2cos 60 3BD = + − × × ° =2 2 2BD AB AD+ = 90ABD∠ = ° BD AB⊥AB DC ∥ BD DC⊥PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= BD ⊂ ABCD∴ 平面 ,又 平面 ,∴ .(2)设 到平面 的距离为 ,取 中点 ,连结 ,∵ 是等边三角形,∴ .又平面 底面 ,平面 底面 , 平面 ,∴ 底面 ,且 ,由(1)知 平面 ,又 平面 ,∴ .∴ ,即 ,解得 .19.【答案】(1)列联表见解析;(2)140 人.【解析】(1)由题意,被调查的男性人数为 ,其中有 人的休闲方式是运动;被调查的女性人数应为 ,其中有 人的休闲方式是运动,则 列联表如下:运动 非运动 总计男性女性总计(2)由表中数据,得 ,要使在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“性别与休闲方式有关”,则 ,所以 ,解得 ,又 且 ,所以 ,即本次被调查的人数至少有 140 人.20.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意知 , ,则 ,∴ ,∴椭圆 的方程为 .(2)设 , ,联立 ,得 ,∴ ,解得 ,, ,∴ ,又点 到直线 的距离为 ,∵ ,解得 ,∴ .21.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1) ,BD ⊥ PDCPC ⊂ PDC BD PC⊥A PBD h DC Q PQPDC△ PQ DC⊥PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= PQ ⊂ PDCPQ ⊥ ABCD 3PQ =BD ⊥ PDC PD ⊂ PDC BD PD⊥A PBD P ABDV V− −=1 1 1 13 2 1 3 33 2 3 2h× × × × = × × × × 32h =25n5n35n5n2 2×5n5n 25n5n 25n 35n25n 35nn2225 5 5 52 3 2 3 365 5 5 5n n n nnnkn n n n ⋅ − ⋅  = =⋅ ⋅ ⋅2 3.841k ≥3.84136n ≥ 138.276n ≥*n∈ N *5n ∈ N 140n ≥22 14xy+ = 102m = ±2a = 32ca= 3c = 2 2 2 1b a c= − =M22 14xy+ =1 1)( ,A x y 2 2 )( ,B x y22 14y x mxy= ++ =2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =2 264 20(4 4) 0Δ m m= − − 5 5m− 1 285mx x∴ + = −21 24 45mx x−=2 21 2 1 24 2| | 2 ( ) 4 55AB x x x x m= ⋅ + − = ⋅ −C AB| |2md =21 1 4 2 | || | 5 12 2 5 2ABCmS AB d m= ⋅ = × ⋅ − ⋅ =△10( 5, 5)2m = ± ∈ −102m = ±{ }1a a =( ) xf x e a′ = −当 时, 对 恒成立,则 在 上单调递增,由 ,与题设矛盾;当 时,由 ,得 ;由 ,得 ,在 单调递减,在 单调递增.对 成立,令 ( ),( ),由 ,得 ;由 ,得 .在 单调递增,在 单调递减,,只有 适合题意,综上,a 的取值范围是 .(2)由(1)可知, 时, ,则 ,,令 ,则 ,,由 ,知 ,则 ,.22.【答案】(1) , ;(2) .【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 .联立 ,解得 或 ,所以 与 交点的直角坐标为 和 .(2)曲线 的极坐标方程为 ,其中 ,因此 得到极坐标为 , 的极坐标为 .所以 ,当 时, 取得最大值,最大值为 .23.【答案】(1) 或 ;(2) 或 .【解析】(1)不等式 可化为 .当 时, ,解得 ,即 ;当 时, ,解得 ,即 ;当 时, ,解得 ,即 ,综上所述:不等式 的解集为 或 .(2)由不等式 可得 ,∵ ,∴ ,即 ,解得 或 ,故实数 的取值范围是 或 .0a ≤ ( ) 0f x′ x ∈ R ( )f x ( ),−∞ +∞( ) 11 1 0f ae− = + − 0a ( ) 0f x′ lnx a ( ) 0f x′ lnx a( )f x∴ ( ), ln a−∞ ( )ln ,a +∞( ) ( ) lnmin ln ln 1 ln 1 0af x f a e a a a a a∴ = = − − = − − ≥ 0a ( ) ln 1g a a a a= − − 0a ( ) ( )1 ln 1 lng a a a′∴ = − + = − 0a ( ) 0g a′ 0 1a ( ) 0g a′ 1a ( )g a∴ ( )0,1 ( )1,+∞( ) ( )max 1 0g a g∴ = =∴ 1a ={ }1a a =1a = ( ) 1 0xx ef x= − − ≥ 1 xx e+ ≤( ) ( )1 11 n n xx e+ +∴ + ≤11kxn+ =+( )1,2,3, ,k n= 111n knk en e++   + ( )1,2,3, ,k n= ( )1 1 1 12 311 2 3 11 1 1 1n n n nnnne e e en n n n e+ + + ++       ∴ + + +…+ + + + +       + + + +       ( )( )11 111111 1 1n n nn ne e e e ee e e e e++ +−− −= ⋅ = =− − −12nee+ 11 1nee− −1111nee−−1 1 1 11 2 311 1 1 1n n n nnn n n n+ + + +       ∴ + + + +        + + + +       (0,0) 3 3( , )2 242C2 2 2 0x y y+ − =3C2 2 2 3 0x y x+ − =2 22 22 02 3 0x y yx y x+ − =+ − =00xy==3232xy==2C 1C (0,0)3 3( , )2 21C ( , 0)θ α ρ ρ= ∈ ≠R 0 πα≤ A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α| | | 2sin 2 3 cos | 4 | sin(π) |3AB α α α= − = −5π6α = | |AB 43{ | 1x x− 3}x 3a ≥ 1a ≤ −( ) 0f x x+ | 2 | | 1|x x x− + −1x − ( 2) ( 1)x x x− − + − + 3x − 3 1x− −1 2x− ≤ ≤ ( 2) 1x x x− − + + 1x 1 1x− ≤ 2x 2 1x x x− + + 3x 3x ( ) 0f x x+ { | 3 1x x− 3}x 2( ) 2f x a a≤ − 2| 2 | | 1| 2x x a a− − − ≤ −| 2 | | 1|x x− − − ≤ | 2 1| 3x − − = 2 2 3a a− ≥2 2 3 0a a− − ≥ 3a ≥ 1a ≤ −a 3a ≥ 1a ≤ −

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