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人教A版2021届高三文科数学上学期期中备考卷(A卷)(Word版附答案)

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2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷文 科 数 学(A)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2. 的共轭复数为( )A. B. C. D.3.命题“ , ”的否定是( )A. B.C. D.4.设 ,向量 , ,且 ,则 ( )A. B. C. D.5.已知 , , ,则( )A. B. C. D.6.若函数 在点 处的切线斜率为 , ( )A. B. C. D.7.执行如图所示框图,输出的 值为( )A. B. C. D.8.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.9.已知半径为 的圆 经过点 ,则其圆心到抛物线 的焦点的距离的最大值为( )A. B. C. D.10.函数 在 上的大致图象是( )A. B.C. D.11.已知函数 ,若存在实数 , 满足 ,且 ,则 的最大值为( )A. B. C. D.12.在四棱锥 中, , , , , ,,则三棱锥 外接球的表面积为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.2{ | 2 0}M x x x= − { | 2 1}N x x= − M N =( 2,0)− (0,1) ( 2, 2)− (1, 2)1 i1 2i−+1 3i5 5− − 1 3 i5 5− + 1 3 i5 5+ 1 3 i5 5−x∃ ∈ R 2 2 2 0x x+ + ≤2, 2 2 0x x x∀ ∈ + + R 2, 2 2 0x x x∀ ∈ + + ≤R2, 2 2 0x x x∃ ∈ + + R 2, 2 2 0x x x∃ ∈ + + ≥Rx ∈ R ( ,1)x=a (1, 2)= −b ⊥a b | |+ =a b5 10 2 5 102log 5a = 0.22b −= 1.20.2c −=a b c b a c c a b b c a ( ) lnf x x ax= − (1, )P b 3 b =2 0 1− 2−S521763712197602 7π4 2+ 2 π 44+ 2 1 7π4 2+ + 2 1 π 44+ +1 M (3, 4) 2 4y x= −2 5 1+ 4 2 1+ 2 5 1− 4 2 1−sin | |y x x= + [ 2π, 2π]x ∈ −, 0 1( )ln(2 ), 1 2x xf xx x≤ ≤=  ≤1x 2x 1 20 2x x≤ ≤ 1 2( ) ( )f x f x=2 1x x−2e12e − 1 ln 2− 2 ln 4−P ABCD− //BC AD AD AB⊥ 2 3AB = 6AD = 4BC =4 3PA PB PD= = = P BCD−60π 40π 100π 80π此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 13.函数 的定义域为________.14.若实数 , 满足约束条件 ,则 的最大值为________.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方:将 , , , 填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于 ,如图所示.一般地,将连续的正整数 , , , 填入 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上数的和为 ,例如 , ,,那么 __________.16.已知 、 为正实数,直线 截圆 所得的弦长为 ,则的最小值为__________.三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)在 中,内角 , , 的对边分别是 , , ,且满足:.(1)求角 的大小;(2)若 ,求 的最大值.18.(12 分)设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 , ,且.(1)求数列 的通项公式;(2)若 ,求 的前 的项 .19.(12 分)如图,已知四棱锥 的底面 为矩形, , ,, .(1)证明:平面 平面 ,且 ;(2)若四棱锥 的每个顶点都在球 的球面上,且球 的表面积为 ,求三棱锥的体积.12( ) log (4 3)f x x= −x y01 03 0x yx yx− ≥ + + ≥ − ≤2z x y= −1 2  9151 2  2n n n×n n nN 3 15N = 4 34N =5 65N = 6N =a b 1 0x y+ + = 2 2( ) ( ) 4x a y b− + − = 2 21aab+ABC△ A B C a b c2 2 2 2s( n si) i nb c a C c B+ − =A1a = b c+{ }na n nS214 4 1n nS a n+= − − *n∈ N1 1a ={ }na( 1)nn nb S= − { }nb 99 99TP ABCD− ABCD PA BD⊥ 1PA =2BC = 5PD =PAB ⊥ PAD PA AC⊥P ABCD− O O 6πB PCD−20.(12 分)已知椭圆 的离心率 ,且椭圆 过点 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)设点 是椭圆 与 轴正半轴的交点,斜率不为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 , ,若 ,问直线 是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.21.(12 分)已知 .(1)当 时,求函数 在区间 上的最大值 ;(2)当 时,若存在正数 , 满足 ,求证: .2 22 2: 1( 0)Cbbxaay + = 63e = C 3( , 2)3PCQ C x 0 l C D E9QD QEk k⋅ = DE2( ) lnf x mx x x= − +0m = ( )f x [ , 1]( 0)t t t+ ( )M t1m = 1x 2x 1 2( ) ( ) 1 ln 2f x f x+ = − 1 2 2x x+ ≥请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(1)求 的极坐标方程;(2)若直线 与曲线 相交于 , 两点,求 .23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 .(1)当 时,求不等式 的解集;(2)若 恒成立,求实数 的取值范围.xOy 1C1 5 cos5 sinxyαα = +=α Ox 2Cπ( )4θ ρ= ∈ R1C2C 1C M N MN( ) 2 1f x x a x= − − +1a = ( ) 1f x ≥( ) 2 0f x a− − ≤ a2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷文 科 数 学(A)答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】由 ,得 ,所以 ,因为 ,所以 ,故选 B.2.【答案】B【解析】因为 ,所以 的共轭复数为 ,故选 B.3.【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题,注意到要否定结论,故 A 选项正确,故选 A.4.【答案】B【解析】由 ,知 ,则 ,可得 ,故选 B.5.【答案】B【解析】因为 , , ,所以 ,故选 B.6.【答案】A【解析】∵ ,由导数的几何意义知 ,解得 ,∴ ,∴ ,故选 A.7.【答案】C【解析】模拟程序的运行,可得 , ,执行循环体, , ;不满足条件 ,执行循环体, , ;不满足条件 ,执行循环体, , ;不满足条件 ,执行循环体, , ,此时,满足条件 ,退出循环,输出 的值为 ,故选 C.8.【答案】D【解析】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为 ,高为 .三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为 ,另外三条边长分别为 .故该几何体的表面积为,故选 D.9.【答案】B【解析】设圆 的圆心为 ,则 ,所以圆 的圆心在圆 上.因为抛物线 的焦点为 ,所以圆心到抛物线 焦点的距离的最大值为 ,故选 B.10.【答案】D【解析】当 时, ,则 ,所以函数在 上单调递增,令 ,则 ,根据三角函数的性质,当 时, ,故切线的斜率变小,当 时, ,故切线的斜率变大,可排除 A、B;当 时, ,则 ,所以函数在 上单调递增,令 ,则 ,当 时, ,故切线的斜率变大,当 时, ,故切线的斜率变小,可排除 C,故选 D.11.【答案】B【解析】 的图象如下,2 2 0x x− 0 2x { | 0 2}M x x= { | 2 1}N x x= − M N = (0,1)1 i (1 i)(1 2i) 1 3i1 2i 5 5 5− − −= = − −+1 i1 2i−+1 3i5 5− +⊥a b 2 0 2x x⋅ = − = ⇒ =a b (3, 1)+ = −a b2 2| | 3 ( 1) 10+ = + − =a b2log 5 (2,3)a = ∈ 0.2 (0,1)2b − ∈= 1.2 10.2 50.2c − − ==b a c 1( )f x ax′ = − (1) 1 3f a′ = − = 2a = −( ) ln 2f x x x= + (1) 2b f= =1i = 1S = 1 1 2S = + = 2i =3S 1 522 2S = + = 3i =3S 5 1 172 3 6S = + = 4i =3S 17 1 376 4 12S = + = 5i =3S S37121 11,1,25, 5, 221 1 1 1 1 1 1 2 1π 1 2 π 1 1 1 1 2 1 2 2 5 π 44 4 2 2 2 2 2 4+⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = +M ( ),x y 2 2( 3) ( 4) 1x y− + − =M 2 2( 3) ( 4) 1x y− + − =2 4y x= − ( 1,0)−2 4y x= − 2 2(3 1) (4 0) 1 4 2 1+ + − + = +0x ≥ siny x x= + cos 1 0y x′ = + ≥[0, 2π]( ) cos 1g x x= + ( ) sing x x′ = −[0, π]x ∈ ( ) sin 0g x x′ = − [π, 2π]x ∈ ( ) sin 0g x x′ = − 0x siny x x= − + cos 1 0y x′ = − + ≥ [ 2π,0]−( ) cos 1h x x= − + ( ) sinh x x′ =[ 2π, π]x ∈ − − ( ) sin 0h x x′ = [ π,0]x ∈ − ( ) sin 0h x x′ = , 0 1( )ln(2 ), 1 2x xf xx x≤ ≤=  ≤存在实数 , 满足 ,且 ,即 ,∴ ,则 ,令 , ,则 ,∴ 在 上单调递增,故 ,故选 B.12.【答案】D【解析】如图,取 的两个三等分点 , ,连接 , , ,设 ,连接 , ,则 ,又∵ ,∴ ,∴四边形 为平行四边形,∵ ,∴ 为 的中点,∴ ,由勾股定理可得 ,则 ,在 中, ,∴ ,∵ ,∴ ,又 ,则 为等边三角形,∴ ,则 是 的外接圆的圆心,因为 , 为 的中点,∴ ,∵ , , ,∴ ,∴ ,∴ ,又∵ , ,∴ 平面 ,且 ,设 为三棱锥 外接球的球心,连接 , , ,过 作 ,垂足为 ,则外接球的半径 满足 ,设 ,则 ,解得 ,从而 ,故三棱锥 外接球的表面积为 ,故选 D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.【答案】【解析】根据题意,由于函数 ,则使得原式有意义的 的取值范围满足 ,即 ,解得 ,故所求函数的定义域为 .14.【答案】【解析】约束条件表示的可行域如下图所示,平移直线 ,当经过点 时,直线 在纵轴上的截距最小,此时点 坐标是方程组 的解,解得 ,1x 2x 1 20 2x x≤ ≤ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2ln(2 )x x=2 (1, ]2ex ∈ 2 1 2 2ln(2 )x x x x− = −( ) ln(2 )g x x x= − (1, ]2ex ∈ 1( ) xg xx−′ =( )g x (1, ]2emax( ) ( ) 12 2e eg x g= = −AD 1O E BD 1O C 1 4CEO D BC= =1BD O C H= PH AH 1123AO AD= =//BC AD 1//BC O D 1BCDO1O C BD H= H BD1 112 36 2 32 2AH BH DH BD= = = = × + =2 2 2 21 1 2 (2 3) 4O B AO AB= + = + = 1 1O B O D=1O ABRt△ 11tan 3ABAO BAO∠ = =1π3AO B∠ =//BC AD 1π3CBO∠ =1 1BC O D O B= = 1O BC△1 1 1 4O C O B O D= = = 1O BCD△4 3PA PB PD= = = H BD PH BD⊥PA PB= AH BH= PH PH=PAH PBH≅△ △π2PHA PHB∠ = ∠ = PH AH⊥PH BD⊥ AH BD H=PH ⊥ ABCD 2 2 2 2(4 3) (2 3) 6PH PA AH= − = − =O P BCD− 1OO OP OD O OF PH⊥ FR 2 2 2 2 21 1 14 (6 )R OO OO O H= + = − +1OO x= 2 216 (6 ) 4x x+ = − + 2x = 2 2 24 20R x= + =P BCD− 24π 80πR =3( ,1]412( ) log (4 3)f x x= −x 12log (4 3) 1x − 0 4 3 1x − ≤314x ≤102y x z= − A 2y x z= −A1 03x yx+ + = =34xy= = −3( ,1]4因此 的最大值为 .15.【答案】【解析】由题意 ,∴ .16.【答案】【解析】圆 的圆心为 ,则 到直线 的距离为 ,由直线 截圆 所得的弦长为 ,可得 ,整理得 ,解得 或 (舍去),令 ,,又 ,当且仅当 时,等号成立,则 ,∴ .三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由正弦定理得 ,因为 ,所以 ,所以由余弦定理得 ,又在 中, ,所以 .(2)方法 1:由(1)及 ,得 ,即 ,因为 (当且仅当 时等号成立),所以 ,则 (当且仅当 时等号成立),故 的最大值为 .方法 2:由正弦定理得 , ,则 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 的最大值为 (当 时).18.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)∵ ,∴ ,∴ ,即 ,∵ ,∴ ,∵ , ,∴ ,∴ ,∴ , ,∴ .(2) ,∴ ,∴.19.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)证明:因为底面 为矩形,所以 ,则 ,所以 .又在矩形 中, , ,所以 平面 .因为 平面 ,所以平面 平面 .因为 , ,所以 平面 .又 平面 ,所以 .(2)根据已知条件可知,球 的球心为侧棱 的中点,则球 的半径 ,所以球 的表面积为 ,解得 ,所以 .2z x y= − 2 3 ( 4) 10× − − =1112 2266 (6 1)6 1 2 62N+= + + ⋅⋅⋅ + = 6 111N =3 2 2+2 2( ) ( ) 4x a y b− + − = ( , )a b( , )a b 1 0x y+ + =| 1|2a b+ +1 0x y+ + = 2 2( ) ( ) 4x a y b− + − = 2 222 2| 1|( 2 22)a b+ + + =2( 1) 4a b+ + = 1 0a b+ − = 3 0a b+ + =1( 0, 0)am a bab+= 21 1 1 12(1 ) ( 1) 3( 1) 2 ( 1) 31a a amab a a a a aa+ + += = = =− − + + + − − + − ++2( 1) 2 21aa+ + ≥+ 1 2a + =2( 1) 3 2 2 31aa− + − + ≤ − ++1 13 2 22 3 2 2( 1) 31maa= ≥ = +−− + − ++π3A = 22 2 2 2( )b c a c c b+ − =0c ≠ 2 2 2b c a bc+ − =2 2 2 1cos2 2b c aAbc+ −= =ABC△ 0 πA π3A =1a = 2 2 1b c bc+ = + 2( ) 3 1b c bc+ = +2)(2b cbc+≤ b c= 2 23( ) ( ) 14b c b c+ ≤ + +2b c+ ≤ 1b c= = b c+ 22 3sin3b B= 2 3 sin3c C=2 3 2π[sin sin )] 2sin )3 3( (6πb c B B B+ = + − = +2π0,3( )B ∈ π π 5π6 6 6B + 1 sin 16( )2πB + ≤b c+ 2π3B =2 1na n= − 4950−214 4 1n nS a n+= − −214 4( 1) 1( 2)n nS a n n− = − − − ≥2 214 4n n na a a+= − −2 21 ( 2)n na a+ = +0na 1 2( 2)n na a n+ = + ≥1 1a =21 24 5S a= − 2 3a = 2 1 2a a= +1 2n na a+ = + *n∈ N1 2( 1) 2 1na n n= + − = −2nS n=2( 1)nnb n= −2 2 2 2 2 2 299 1 2 3 4 98 99 1 2 3 4 98 99T = − + − + + + − = + + + + + − 249 99 99 4950= × − = −13ABCD2AD BC= = 2 2 2PA AD PD+ = PA AD⊥ABCD AB AD⊥ AB PA A= AD ⊥ PABAD ⊂ PAD PAB ⊥ PADPA BD⊥ AD BD D= PA ⊥ ABCDAC ⊂ ABCD PA AC⊥O PCO2 2 21 22ABR+ +=O 2 24π (5 )π 6πR AB= + = 1AB =1 1 12 1 13 2 3B PCD P BCDV V− −= = × × × × =20.【答案】(1) ;(2)过定点,定点为 .【解析】(1)设椭圆 的焦距为 ,由 ,即 ,∴ ,有 ,又椭圆 过点 ,∴ ,解得 ,∴椭圆 的标准方程为 .(2)由题可设直线 的方程为 ,由 ,消去 ,整理可得 ,设 , ,则 , ,由题意,可得 ,有 ,∴ ,且 (直线不过 点),即 ,整理可得 ,解得 ,故直线 过定点 .21.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)∵ ,∴ ,令 ,则 ,∴ 在 上单调递增,在 上单调递减.当 时, 在 上单调递减, 的最大值为 ;当 时, 在区间 上为增函数,在区间 上为减函数, 的最大值为,综上, .(2) ,即 ,令 , ,故 在 上单调递减,在 上单调递增,故 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 .22.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数),转换为直角坐标方程为 ,转换为极坐标方程为 .(2)由(1)知 的极坐标方程为 ,将 代入得 ,∴ , ,故 .23.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时, ,∵ ,∴ 或 ,∴ 或 ,∴ ,∴不等式的解集为 .(2)∵ ,∴ ,∵ 恒成立等价于 ,∴ ,所以 ,∴ ,∴ 的取值范围为 .22 13yx+ = (2,0)C 2c 63cea= =2223ca=2 2 2 13b a ca a2 2−= = 3a b=C 3( , 2)3P222 23( )( 2) 3 1a b+ =31ab ==C22 13yx+ =DE x ty m= +22 13x ty myx= ++ =x 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0t y mty m+ + + − =1 1( , )D x y 2 2( , )E x y 1 2 261 3mty yt+ = −+21 2 23 31 3my yt−=+(1,0)Q 1 2 1 21 2 1 291 1 ( 1)( 1)QD QEy y y yk kx x x x⋅ = ⋅ = =− − − −2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 29( 1)( 1) 9( 1)( 1) 9 9( 1) ( ) 9( 1)y y x x ty m ty m t y y m t y y m= − − = + − + − = + − + + −1m ≠ (1,0)2 2 2(9 1)( 1) 18 3( 1)(1 3 ) 0t m mt m t− + − + − + = 2 4 0m − = 2m =DE (2,0)1, 0 1( )ln , 1tM tt t t− =  − ≥( ) lnf x x x= − 1( ) 1f xx′ = − ( ) 0f x′ = 1x =( )f x (0,1) (1, )+∞1t ≥ ( )f x [ , 1]t t + ( )f x ( ) lnf t t t= −0 1t ( )f x ( ,1)t (1, 1)t + ( )f x(1) 1f = −1, 0 1( )ln , 1tM tt t t− =  − ≥2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ln 1 ln 2f x f x x x x x x x+ = + − + + = −21 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ln 1 ln( ) 2x x x x x x x x+ − + = − + −( ) 2 ln 1 ln 2h x x x= − + − 1 2 1( ) 2 xh xx x−′ = − =( )h x (10, )2(1, )2+∞(1( ) ) 22h x h≥ =21 2 1 2() ) 2(x x x x+ − + ≥ 1 2 1 2( 2)( 1) 0x x x x+ − + + ≥1 2, 0x x 1 2 2x x+ ≥2 2 cos 4 0ρ ρ θ− − = 3 21C1 5 cos5 sinxyαα = +=α2 2( 1) 5x y− + = 2 2 cos 4 0ρ ρ θ− − =1C2 2 cos 4 0ρ ρ θ− − =π( )4θ ρ= ∈ R 2 2 4 0ρ ρ− − = 1 2 2ρ ρ+ = 1 2 4ρ ρ = −21 2 1 2 1 2( ) 4 3 2MN ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − ={ 0}x x ≤ [ 1,1]−1a =3, 2( ) 2 1 1 2 , 1 23, 1xf x x x x xx− = − − + = − − ≤ ≤ −( ) 1f x ≥1 2 11 2xx− ≥− ≤ ≤1x −1 0x− ≤ ≤ 1x − 0x ≤{ 0}x x ≤2 1 ( 2 ) ( 1) 2 1x a x x a x a− − + ≤ − − + = +2 1 2 1 2 1a x a x a− + ≤ − − + ≤ +( ) 2 0f x a− − ≤ max( ) 2f x a≤ + 2 1 2a a+ ≤ +2 2 1 2a a a− − ≤ + ≤ + 1 1a− ≤ ≤a [ 1,1]−

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