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资料简介

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(新高考)2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷数 学(B)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 , 为 的共轭复数,则 ( )A. B. C. D.3.已知向量 , ,且 与 的夹角为 ,则 ( )A. B. C. D.4.设 ,则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若双曲线 的离心率为 ,则 ( )A. B. C. D.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家,他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上, 底面 , ,且, ,利用张衡的结论可得球 的表面积为( )A. B. C. D.7.已知 是定义在 上的奇函数,则不等式 的解集为( )A. B. C. D.8.已知等差数列 , 的前 项和分别为 和 ,且 ,则 ( )A. B. C. D.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.9.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了 名肥胖者,健身之前他们的体重( )情况如图(1),经过四个月的健身后,他们的体重( )情况如图(2).对比健身前后,关于这 名肥胖者,下面结论正确的是( )A.他们健身后,体重在 内的肥胖者增加了 名B.他们健身后,体重在 内的人数没有改变C.因为体重在 内的人数所占比例没有发生变化,所以说明健身对体重没有任何影响D.他们健身后,原来体重在 内的肥胖者体重都有减少10.将函数 的图像向左平移 个单位长度,得到函数 的图像,给出下列关于函数 的结论:①它的图像关于直线 对称;②它的最小正周期为 ;③它的图像关于点 对称;④它在 上单调递增.其中正确的结论的编号是( )2{ | 6 0}A x x x= − − ≤ { | 1 0}B x x= − A B =( ,3]−∞ ( ,2)−∞ ( ,1)−∞ [ 2,1)−1 iz = − z z1 zz+ =3 i2+ 1 i2+ 1 3i2− 1 3i2+(0, 2)=a (2 3, )x=b a bπ3x =2− 2 1 1−x ∈ R 2 4x lg(| | 1) 0x − 2 2 1( 0)mx ny m+ = 5mn=1414− 4 4−A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥3AB CD= = 2BC = O30 10 10 33 12 101( )xxef xe a−=+R 2( 3) (9 )f x f x− −( 2,6)− ( 6, 2)− ( 4,3)− ( 3, 4)−{ }na { }nb n nS nT52 1nnS nT n+=−76ab=6712111825162120 kgkg20[90,100) 2[100,110)[100,110)[110,120)( ) sin 3 3 cos3 1f x x x= − +π6( )g x( )g x5π9x = 2π311π( ,1)185π 19π[ , ]3 9此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A.① B.② C.③ D.④11.若 , ,则( )A. B. C. D.12.已知四棱台 的上、下底面均为正方形,其中 , ,,则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为 B.C.该四棱台的表面积为 D.该四棱台外接球的表面积为第Ⅱ卷三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.已知函数 ,则 .14.某工厂质检部要对即将出厂的 个零件进行质检,已知每个零件质检合格的概率为 ,且每个零件质检是否合格是相互独立的.设质检合格的零件数为 ,则随机变量 的方差 .15.已知 , ,且 ,则 的最小值是 .16.在正方体 中, 为棱 上一点,且 , 为棱 的中点,平面 与 交于点 ,与 交于点 ,则 , .四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并加以解答.已知 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,若 ,且 , , 成等差数列,则 是否为等边三角形?若是,写出证明过程;若不是,请说明理由.18.(12 分)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,且 ,.(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和 .10 4a = 10 25b =2a b+ = 1b a− = 28lg 2ab lg 6b a− 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2AB = 1 1 2A B =1 1 1 1 2AA BB CC DD= = = =3 1 1AA CC⊥26 16π21( ) 2 , 0( ) 34 log , 0x x xf xx x − ≤= − + ( (8))f f =1000 0.95X X( )D X =0a 0b 2a b+ =5 15a b+1 1 1 1ABCD A B C D− E CD 2CE DE= F 1AABEF 1DD G 1AC H1DGDD=1AHHC=cos 2 3 sin 2 0B B− + = 2 cos 2b C a c= −cos 13 sinb Ba A+=ABC△ A B C a b c a b cABC△{ }n na b− 2 { }n na b+ 2 1 2a =1 1b ={ }na{2 2 }nna + n nS19.(12 分)如图(1),平面四边形 中, , , , 为的中点.将 沿对角线 折起,使 ,连接 ,得到如图(2)的三棱锥.(1)证明:平面 平面 ;(2)已知直线 与平面 所成的角为 ,求二面角 的余弦值 .20.(12 分)网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验,为入驻商家设置了积分制度,每笔购物完成后,买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价,评价分为好评、中评和差评.平台规定商家有 天的试营业时间,期间只评价不积分,正式营业后,每个好评给商家计 分,中评计 分,差评计 分.某商家在试营业期间随机抽取单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况,分别制成了图(1)和图(2):(1)通常收件时间不超过 天认为是物流迅速,否则认为是物流迟缓.请根据题目所给信息完成下面 列联表,并判断能否有 的把握认为“获得好评”与物流速度有关;(2)从正式营业开始,记商家在每笔交易中得到的评价得分为 .该商家将试营业 天期间的成交情况制成了频数分布表,如下表,以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率.①求 的分布列和数学期望;②平台规定,当积分超过 分时,商家会获得“诚信商家”称号.请估计该商家从正式营业开始, 年内( 天)能否获得“诚信商家”称号?附: ,其中 .ABCD 2AB AC= = AB AC⊥ AC CD⊥ EBC ACD△ AC CD BC⊥ BDD ABC−ADE ⊥ BCDDE ABCπ4A BD C− −501 0 1− 10042 2× 99%X 50X100001 36522 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d−=+ + + +n a b c d= + + +21.(12 分)已知 为坐标原点, , ,直线 , 相交于点 ,且它们的斜率之积为 .记点 的轨迹为曲线 .(1)若射线 与曲线 交于点 ,且 为曲线 的最高点,证明: ;(2)直线 与曲线 交于 , 两点,直线 , 与 轴分别交于 , 两点.试问在 轴上是否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.22.(12 分)已知函数 ,其中 是自然对数的底数, ,.(1)讨论函数 的单调性;O ( 2,0)A − (2,0)B AG BG G34− G C2( 0)x y= ≥ C D E C OD AE∥: ( 0)l y kx k= ≠ C M N AM AN y P Qx T PQ T T( ) lnxf x ae x= 2.71828e =  2( ) lng x x x a= +0a ( )f x(2)设函数 ,若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围.( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( ) 0h x (0,1)x ∈ a(新高考)2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷数 学(B)答 案第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】 , ,所以 .2.【答案】C【解析】由题意,得 ,故选 C.3.【答案】B【解析】由题意,得 ,所以 ,且 ,解得 ,故选 B.4.【答案】A【解析】由 ,得 ,由 ,得 ,解得 或 ,因为“ ”是“ ”或“ ”的充分不必要条件,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.5.【答案】D【解析】因为 可化为 ,所以双曲线的离心率 ,所以 ,即 ,故选 D.6.【答案】B【解析】因为 ,所以 ,又 底面 ,所以球 的球心为侧棱 的中点,从而球 的直径为 ,利用张衡的结论可得 ,则 ,所以球 的表面积为 ,故选 B.7.【答案】C【解析】因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,即 ,解得 ,即 ,故 在 上为增函数,又 ,所以 ,解得 ,故选 C.8.【答案】A【解析】因为等差数列 , 的前 项和分别为 和 ,且 ,所以可设 , ,所以 , ,所以 ,故选 A.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.9.【答案】ABD【解析】体重在区间 内的肥胖者由健身前的 名增加到健身后的 名,增加了 名,A 正确;他们健身后,体重在区间 内的人数的百分比没有变,所以人数没有变,B 正确;他们健身后,已经出现了体重在 内的人,健身之前是没有这部分的,C 错误;因为题图(2)中没有体重在区间 内的部分,所以原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少,D 正确,{ | 2 3}A x x= − ≤ ≤ { | 1}B x x= { | 3}A B x x= ≤1 2 i (2 i)(1 i) 1 3i1 i (1 i)(1 i) 2zz+ − − − −= = =+ + −2π 2 1cos , cos3 22 12xx = = =+a b0x 22 12x x= + 2x =2 4x 2x lg(| | 1) 0x − | | 1 1x − 2x − 2x 2x 2x − 2x 2 4x lg(| | 1) 0x − 2 2 1( 0)mx ny m+ = 2 21( 0)1 1x ymm n− = −11 51nem−= + = 1 5mn− = 4mn= −BC CD⊥ 7BD =AB ⊥ BCD O AD O 102π 516 8= π 10=O 2104π ( ) 10π 10 102⋅ = =1( )xxef xe a−=+R (1) ( 1) 0f f+ − =11101e ee a ae−− + =+ +1a =1 2( ) 11 1xx xef xe e−= = −+ +( )f x R2( 3) (9 )f x f x− − 23 9x x− − 4 3x− { }na { }nb n nS nT52 1nnS nT n+=−( 5)nS kn n= + (2 1)nT kn n= −7 7 6 18a S S k= − = 6 6 5 21b T T k= − =7667ab=[90,100) 6 8 2[100,110)[80,90)[110,120) [110,120)故选 ABD.10.【答案】BC【解析】因为 ,所以 .令 ,得 ,所以直线 不是 图像的对称轴,①错误;最小正周期 ,②正确;令 ,得 ,取 ,得 ,故函数 的图像关于点 对称,③正确;令 , ,得 , ,取 ,得 ;取 ,得 ,所以④错误,故选 BC.11.【答案】ACD【解析】由 , ,得 , ,则 , ,,故选 ACD.12.【答案】AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥 ,并取 , 分别为 , 的中点,连接 , , , , , , , ,记四棱台上、下底面中心分别为 , ,由条件知 , , , 分别为四棱锥的侧棱 , , , 的中点,则 , ,所以 ,故该四棱台的高为 ,故 A 正确;由 , ,得 为正三角形,则 与 所成角为 ,故 B 不正确;四棱台的斜高 ,所以该四棱台的表面积为 ,故 C 不正确;易知 , ,所以 为四棱台外接球的球心,所以外接球的半径为 ,外接球表面积为 ,故 D 正确.第Ⅱ卷三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】【解析】因为 ,所以 .14.【答案】【解析】由题意可知, , .15.【答案】【解析】因为 ,所以 .因为 , ,所以 (当且仅当 , 时,等号成立),π( ) sin 3 3 cos3 1 2sin(3 ) 13f x x x x= − + = − +π π π( ) 2sin[3( ) ] 1 2sin(3 ) 16 3 6g x x x= + − + = + +π π3 π ( )6 2x k k+ = + ∈ Z π π ( )3 9kx k= + ∈ Z5π9x = ( )g x2π 2π3Tω= =π3 π( )6x k k+ = ∈ Z π π ( )3 18kx k= − ∈ Z 2k =11π18x =( )g x11π( ,1)18π π π2 π 3 2 π2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈ Z2 π 2π 2 π π3 9 3 9k kx− ≤ ≤ + k ∈ Z2k =10π 13π9 9x≤ ≤ 3k =16π 19π9 9x≤ ≤10 4a = 10 25b = lg 4a = lg 25b =lg100 2a b+ = = 25lg lg 64b a− = 24lg 2 lg5 4lg 2 lg 4 8lg 2ab = ⋅ ⋅ =P ABCD− E 1E BC 1 1B CAC BD 1 1AC 1 1B D 1AO OE OP PE1O O1A 1B 1C 1D PA PB PC PD12 4PA AA= = 2OA =2 211 132 2OO PO PA OA= = − =34PA PC= = 4AC = PAC△ 1AA 1CC 60°2 2 2 21 1 1 14(2 3) ( 2)2 2 2 2h PE PO OE′ = = + = × + =2 2 2 2 2 14(2 2) ( 2) 4 10 6 72 2++ + × × = +1 1 1 1 0OA OB OC OD= = = =2 21 1 2A O O OA OB OC OD+ = = = = =O2 24π 2 16π× =52(8) 4 log 8 4 3 1f = − + = − + = −11( (8)) ( 1) ( ) 2 53f f f −= − = + =47.5~ (1000,0.95)X B ( ) 1000 0.95 (1 0.95) 47.5D X = × × − =1852a b+ =5 1 1 5 1 1 5 26( )( ) ( )5 2 5 2 5 5b aa ba b a b a b+ = + + = + +0a 0b 525b aa b+ ≥ 53a = 13b =所以 .16.【答案】 ,【解析】如图, 为平面 与 的交点,连接 , .易证 平面 ,则 ,则 ,则 ,即 ,又 ,所以 .连接 ,连接 交 于点 ,过点 作 , 与 交于点 ,连接 ,则 为 与 的交点,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 .四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】见解析.【解析】选①.∵ ,∴ ,即 ,解得 (舍去)或 ,∵ ,∴ 或 .又∵ , , 成等差数列,∴ ,∴ 不是三角形中最大的边,∴ ,∵ ,∴ ,即 ,故 是等边三角形.选②.由正弦定理,得 ,即 ,整理,得 ,∵ ,∴ ,∴ ,∵ ,∴ ,∵ , , 成等差数列,∴ ,故 是等边三角形.选③.由正弦定理,得 .∵ ,∴ ,即 ,∵ ,∴ ,∴ ,得 .由余弦定理 ,得 ,即 ,故 是等边三角形.18.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)∵ , ,∴ , .依题意,得 , ,故 .(2)由(1)可知 ,故 .19.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)在三棱锥 中,因为 , , ,所以 平面 ,5 1 1 26 18(2 )3 2 5 5a b+ ≥ × + =1638G BEF 1DD GE EFBF∥ 1 1CDD C BF GE∥ AFB DGE△ △∽AF DGAB DE= 12DGDE=2CE DE=116DGDD=1AC AC BE M M 1MN CC∥ MN 1AC NFM H FM 1ACAB CE∥32AM ABMC CE= =132AN AMNC MC= =135MNCC= 65MN HNFA AH= =138AHHC=2cos 2 1 2sinB B= − 22sin 3 sin 3 0B B+ − =(2sin 3)(sin 3) 0B B− + = sin 3B = − 3sin2B =0 πB π3B = 2π3B =a b c 2b a c= + bπ3B =2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c=ABC△2sin cos 2sin sinB C A C= −2sin cos 2sin( ) sinB C B C C= + − 2cos sin sin 0B C C− =0 πC sin 0C 1cos2B =0 πB π3B =a b c 2b a c= + ABC△sin cos 1sin 3 sinB BA A+=sin 0A ≠ 3 sin cos 1B B− =π 1sin( )6 2B − =0 πB π π 5π6 6 6B− − π π6 6B − = π3B =2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c=ABC△12 1 3 22nnna−− + ×= 25 2 5nnS n= × + −1 2a = 1 1b = 1 1 1a b− = 1 1 3a b+ =1 2( 1) 2 1n na b n n− = + − = −13 2nn na b−+ = ×12 1 3 22nnna−− + ×=12 2 2 1 5 2n nna n−+ = − + ×1 (1 2 1)(1 3 2 1) 5 (1 2 2 ) 5 (2 1)2n nnn nS n −+ −= + + + − + × + + + = + × −  25 2 5n n= × + −66D ABC−CD BC⊥ CD AC⊥ AC BC C= CD ⊥ ABC又 平面 ,所以 ,因为 , 为 的中点,所以 ,又 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 .(2)由(1)可知 为直线 与平面 所成的角,所以 ,所以 .过点 作 交 于点 ,由(1)知 , , 两两垂直,以 为原点, , , 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,如图(1),则 , , , ,则 , ,易知平面 的一个法向量为 ;设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,得 ,由图可知,该二面角为锐角,所以 ,所以二面角 的余弦值为 .20.【答案】(1)列联表见解析,有 的把握认为;(2)①分布列见解析, ;②不能获得.【解析】(1)由题意可得,所以有 的把握认为“获得好评”与物流速度有关.(2)①由题意可知, 的所有可能取值为 , , ,每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为 , , ,所以 的分布列为所以数学期望 .②方法一:设商家每天的成交量为 ,则 的可能取值为 , , ,所以 的分布列为所以 .所以商家每天能获得的平均积分为 ,商家一年能获得的积分为 ,所以该商家在 年内不能获得“诚信商家”称号.方法二:商家每天的平均成交量为 ,所以商家每天能获得的平均积分为 ,商家一年能获得的积分为 .所以该商家在 年内不能获得“诚信商家”称号.21.【答案】(1)证明见解析;(2)存在, .【解析】(1)证明:设 ,则 ,整理,得 ,将 代入 ,得点 的坐标为 ,AE ⊂ ABC AE CD⊥AB AC= E BC AE BC⊥BC CD C= AE ⊥ BCDAE ⊂ ADE ADE ⊥ BCDDEC∠ DE ABCπ4DEC∠ = 1CD CE= =E EF CD∥ BD F EA EB EFE EA EB EF x y z(0,0,0)E (1,0,0)A (0,1,0)B (0, 1,1)D −( 1,1,0)AB = −( 1, 1,1)AD = − −BCD 1 (1,0,0)=nABD 2 ( , , )x y z=n2200AB x yAD x y z ⋅ = − + =⋅ = − − + =nn1x = 2 (1,1, 2)=n1 21 21 26cos ,6⋅ = =n nn nn nA BD C− − 6699% 0.722 (50 15 30 5) 100 100 6.63580 20 55 45 11K× − × ×= = × × ×99%X 1 0 1−0.8 0.1 0.1X( ) 1 0.8 0 0.1 ( 1) 0.1 0.7E X = × + × + − × =Y Y 27 30 36Y( ) 27 0.4 30 0.4 36 0.2 30E Y = × + × + × =30 0.7 21× =21 365 7665 10000× = 136 10 30 20 27 203050× + × + × =30 0.7 21× =21 365 7665 10000× = 1( 3,0)T ±( , )G x y2232 2 4 4AG BGy y yk kx x x⋅ = ⋅ = = −+ − −2 21( 0)4 3x yy+ = ≠2( 0)x y= ≥2 214 3x y+ = D 6( 2, )2又由题意易得 ,∴ , ,∴ ,∴ .(2)方法一:设 , ,由 ,消去 并整理,得 ,∴ , .∵ 的坐标为 ,∴直线 的方程为 ,∴ ,同理可得 .∴以 为直径的圆的方程为 ,令 ,得 ,∵ ,∴ ,∴ ,故以 为直径的圆恒过定点 .方法二:设 ,则 ,则直线 的方程为 ,则 ,同理可得 .假设存在 符合题设,则 ,∴ ,∵点 在曲线 上,∴ ,∴ .∴ ,∴ ,故存在定点 符合题设.22.【答案】(1) 在定义域 上单调递增;(2) .【解析】(1)因为 ,所以 , .令 ,则 ,当 时, ,函数 单调递减;当 时, ,函数 单调递增,所以 .又因为 , ,所以 ,则 在定义域 上单调递增.(2)由 ,得 ,即 ,所以 ,即 对任意 恒成立.设 ,则 .当 时, ,函数 单调递增,且当 时, ;当 时, ,若 ,则 ,若 ,因为 ,且 在 上单调递增,所以 .综上可知, 对任意 恒成立,即 对任意 恒成立.设 , ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即实数 的取值范围为 .(0, 3)E63222ODk = =32AEk =OD AEk k= OD AE∥1 1( , )M x y 2 2( , )N x y2 214 3y kxx y=+ =y 2 2(3 4 ) 12 0k x+ − =1 2 0x x+ = 1 2 2123 4x xk−=+A ( 2,0)− AM 11( 2)2yy xx= ++112(0, )2yPx +222(0, )2yQx +PQ 2 2 2( ) ( )2 2P Q P Qy y y yx y+ −+ − =0y = 2 1 21 24( 2)( 2)P Qy yx y yx x−= − =+ +2 2 2 21 2 1 2 1 221 2 1 2 1 2 1 21 24 4 4 4 434 3 4( 2)( 2) 2( ) 4 4 1 13y y k x x k x x k kkx x x x x x x xx x− − − − −= = = = =++ + + + + + + −2 3x = 3x = ±PQ ( 3,0)T ±1 1( , )M x y 1 1( , )N x y− −AM11( 2)2yy xx= ++112(0, )2yPx +112(0, )2yQx −0( ,0)T x 0PT QT⋅ =  22 101404yxx 2+ =−1 1( , )M x y C2 21 1 14 3x y+ =2121434yx= −−20 3 0x − = 0 3x = ±( 3,0)T ±( )f x (0, )+∞ 1[ , )e+∞( ) lnxf x ae x=1( ) (ln )xf x ae xx′ = + (0, )x ∈ +∞1( ) lnk x xx= +21( )xk xx−′ =(0,1)x ∈ ( ) 0k x′ ( )k x(1, )x ∈ +∞ ( ) 0k x′ ( )k x( ) (1) 1 0k x k≥ = 0a 0xe ( ) 0f x′ ( )f x (0, )+∞( ) 0h x ( ) ( ) 0g x f x− 2ln lnxae x x x a +ln ln ln( )xx x xx x a aex ae ae ae + = ln( ) lnxxae xae x (0,1)x ∈ln( )xH xx=21 ln( )xH xx−′ =(0,1)x ∈ ( ) 0H x′ ( )H x(1, )x ∈ +∞ ( ) 0H x (0,1)x ∈ ( ) 0H x 1xae x≥ ( ) 0 ( )xH ae H x≥ 0 1xae ( ) ( )xH ae H x ( )H x (0,1) xae xxae x (0,1)x ∈ xxae (0,1)x ∈( )xxG xe= (0,1)x ∈1( )xxG xe−′ = ( )G x (0,1)1( ) (1)G x G ae = ≤a 1[ , )e+∞

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