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2017 级高三上学期段考三考试 数 学 试 题 2019.11一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,则 ( )A. B. C. D. 2.若实数 x>y,则( )A. B. C. D.3.设 x∈R,则“|x+1|<2”是“lgx<0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知 是不重合的平面, 是不重合的直线,则 的一个充分条件是( )A. , B. ,C. , , D. , , 5. 已知正实数 满足 ,则( )A. B. C. D.6.如图 Rt△ABC 中,∠ABC= ,AC=2AB,∠BAC 平分线交△ABC 的外接圆于点 D,设 ,则向量 ( ) A. B. C. D.7.设函数 f(x)= +a,若 f(x)为奇函数,则不等式 f(x)>1的解集为( )A.(0,ln3) B.(﹣∞,1n3) C.(0,1) D.(0,2) 8.已知 的等比中项为 2,则 的最小值为( )A.3 B.4 C.5 D.4)1,1(−yx 5.05.0 loglog x y> xyx 2 yx 22 0, 0, ,a b a b 1 1a bb a+ + +2=BA 9. 已知函数 的图象如图所示,令,则下列关于函数 的说法中正确的是( )A. 函数 的最大值为 2B.函数 图象的对称轴方程为C. 函数 的图象上存在点 ,使得在 点处的切线与直线 平行D. 若函数 的两个不同零点分别为 ,则 的最小值为10.已知函数 ,若方程 有四个不相等的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得 4 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分。11.在给出的下列命题中,优题速享正确的是(  )A. 设 是同一平面上的四个点,若 , 则点 必共线B.若向量 是平面 上的两个向量,则平面 上的任一向量 都可以表示为,且表示方法是唯一的C.已知平面向量 满足 则 为等腰三角形D.已知平面向量 满足 ,且 ,则 是等边三角形12、已知函数 f (x) 的定义域为[ −1,5 ],部分对应值如下表:)2,0,0)(sin()(πϕωϕω += AxAxfO A B C、 、 、 (1 ) ( R)OA m OB m OC m= ⋅ + − ⋅ ∈  A B C、 、a b 和 α α c( R)c a bλ µ µ λ= + ∈  、OA OB OC  、 、 ,| | | |AB ACOA OB OA OC AOAB ACλ ⋅ = ⋅ = +         ABC△OA OB OC  、 、 | | | | ( 0)OA OB OC r r= =   | =| 0OA OB OC+ + =   ABC∆x −1 0 4 5f (x) 1 2 2 1f (x) 的导函数 y =f ′(x) 的图象如图所示,关于 f (x) 的命题正确的是( )A.函数 f (x) 是周期函数B.函数 f (x) 在[0,2]上是减函数C.函数 y = f (x) − a 的零点个数可能为 0,1,2,3,4D.当 1 a 2 时,函数 y = f (x) − a 有 4 个零点13.如图,在正方体 中,点 是线段 上的动点,则下列说法正确的是( )A. 无论点 在 上怎么移动,都有 B. 当点 移动至 中点时,才有 与 相交于一点,记为点 ,且C. 无论点 在 上怎么移动,异面直线 与 所成角都不可能是D. 当点 移动至 中点时,直线 与平面 所成角最大且为三.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)14 . 等 比 数 列 的 各 项 均 为 正 数 , 且 , 则 15.已知向量 , ,若 与 的夹角是锐角,则实数 的取值范围为______. 16 . 已 知 数 列 中 , , 若 对 于 任 意 的,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 17 . 在 中 , 角 的 对 边 分 别 为 , 且 面 积 为,则角 B= , 面积 的最大值为_____.四.解答题(本大题共6小题,第18题10分,第19-21题14分,第22-23题15分,共82分)( )4,2a =( ),1b λ=a b λ{ }na 1)1(,2 11 ++== + nn annaa[ ] *2,2 ,a n N∈ − ∈ 21 2 11na t atn+ + −+tABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2b = ABC∆( )2 2 2312S b a c= − − ABC△ S18. (10 分)已知数列 中, ,且 成等比数列,(I)求数列 的通项公式;(Ⅱ)若数列 满足 ,求数列 的前 2n 项和为 .19.(14 分)设函数 ,其中 .已知 .(1)求 和 的周期.(2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,求 在 上的最值. 20.(14 分)如图,某公园有三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC=200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC,AC 大道上嬉戏,(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后到达 E,甲到达 D,求此时甲、乙两人之间的距离;(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点 D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍,且∠DEF=π3,请将甲、乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数,并求甲、乙之间的最小距离.nab nnn1)1( +−+= nT2π π( ) sin( ) cos( )3 2f x x xω ω= − + − 0 3ω π( ) 03f =ω ( )y f x=( )y f x= 14π4( )y g x= ( )g x π π[ , ]3 6−21.(14 分)如图,在四棱锥 中, 为矩形, 是以 为直角的等腰直角三角形,平面 ⊥平面 .(1)证明:平面 ⊥平面 ;(2) 为直线 的中点,且 ,求二面角 的余弦值.22. (15 分) 已知函数 。(Ⅰ)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求 的值;(Ⅱ)求函数 的单调区间;(Ⅲ)当 时且 时,证明: 。P ABCD− ABCD APB∆ P∠PAB ABCDPAD PBCM PC 2AP AD= = A MD B− −)(1ln)( Raxxaxf ∈−=)(xfy = ))1(,1( f 02 =+ yx a)(xf1=a 2≥x 52)1( −≤− xxf23.(15 分)设函数 f(x)=mx-ex+3(m∈R)(1)讨论函数 f(x)的极值;(2)若 a 为整数,m=0,且 ,不等式(x-a)[f(x)-2]<x+2 成立,求整数 a的最大值。(0,x∀ ∈ +∞)2017 级高三上学期段考三考试 数学试题答案 2019.11一、 单项选择题: 1-5. DDBCA 6-10. CACDD 二、多项选择题: 11.ACD 12.BC 13.ABC三.填空题14. 9 15. 16. 17. ,16.【详解】即 由累加法可得: 即对于任意的 ,不等式 恒成立即 令 可得 且即 可得 或17.【详解】),21()21,21( +∞−  ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞65π4 2 3−1)1(,2 11 ++== + nn annaa( )1 1 1 11 1 1n na an n n n n n+ − = = −+ + +1 1 1 2 111 1 1 2 1n n n n na a a a a a a an n n n n+ + −     = − + − + + − +    + + −     1 1 1 1 1 1 11 2 3 31 1 1 2 1nan n n n n n+      = − + − + + − + = −      + + − +     [ ] *2,2 ,a n N∈ − ∈ 21 2 11na t atn+ + −+2 22 1 3 2 4 0t at t at+ − ≥ ⇒ + − ≥( ) [ ]( )2 22 4 2 4, 2,2f a t at at t a= + − = + − ∈ −( )2 0f ≥ ( )2 0f − ≥221 22 02 12 0t tt tt tt t ≥ ≤ −+ − ≥⇒  ≥ ≤ −− − ≥ 或或2t ≥ 2t ≤ −( ) ( )2 2 23 3 12 cos sin12 12 2S b a c ac B ac B= − − = ⋅ − =sin 3tancos 3BBB∴ = = − ,由余弦定理 得: (当且仅当时取等号) 四.解答题(本大题共6小题,第18题10分,第19-21题14分,第22-23题15分,共82分)18. .. ……………………5 分(Ⅱ) ,所以..…………7 分..…8 分..……………………9 分..……………………10 分19.解: (1)因为 ..……3 分由题设知 ,所以 ,故 ,又 ,所以 .……………………5 分( )0,B π∈ 56Bπ∴ = 3cos2B∴ = −1sin2B =2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 28 3 2 3a c ac ac= + + ≥ +a c= ( )8 8 2 32 3ac∴ ≤ = −+1 1sin 4 2 32 4S ac B ac∴ = = ≤ −nab nnn1)1( +−+=naaaaabbbT nnn 24321 243212212 −++−+++−++=+++= ]2)12(4321[)( 221 nnaaa n −−++−+−++++= )]212()43()21[()]14(531[ nnn −−++−+−+−++++= nnn ×−+−+= )1(2)141(2( ) π π πsin cos 3 sin3 2 6f x x x xω ω ω     = − + − = −          π03f  =  π π π,3 6k k Zω − = ∈ 1 3 ,2k k Zω = + ∈ 0 3ω 12ω =nn −= 24周期 ……………………6 分(2)由(1)得 .将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得 ……………………8 分再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象所以 .……………………10 分,……………………12 分所以当 ,即 时, 取得最小值 ,……………………13 分当 ,即 时, 取得最大值 . ……………………14 分 20.解:(1)依题意得 BD=300,BE=100.在△ABC 中,cos B=BCAB=12,所以 B=π3.……………………………………2 分在△BDE 中,由余弦定理得 DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cos B=3002+1002-2×300×100×12=70 000,所以 DE=100 7答:甲、乙两人之间的距离为 100 7 m. .………………………………6 分(2)由题意得 EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ.在 Rt△CEF 中,CE=EF·cos∠CEF=2ycos θ. .…………………………………8 分在△BDE 中,由正弦定理得BEsin∠BDE=DEsin∠DBE,即200-2ycos θsin θ=ysin 60°,.…………………………………10 分所以 y=100 33cos θ+sin θ=50 3sin(θ+π3 ),0<θ<π2,.…………………………12 分πωπ42 ==T( ) 1 π3 sin2 6f x x = −  ( )y f x= 14π3 sin 26y x = −  π4( )y g x=( ) π3 sin 23g x x = +  π π 2π2 ,3 3 3x + ∈ −  π π23 3x + = − π3x = − ( )g x 32−π π23 2x + = π12x = ( )g x 3所以当 θ=π6时,y 有最小值 50 3.答:甲、乙之间的最小距离为 50 3 m. .…………………………………14 分21.(Ⅰ)证明: 为矩形, ,平面 平面 ,平面 平面 ,平面 ,…………………………………2 分则 ,又 , ,平面 ,…………………………………4 分而 平面 ,平面 平面 ; .…………………………………6 分(Ⅱ)取 中点 O,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,………7 分由 , 是 以 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 得 :, ………………………8 分. 设平面 的一个法向量为 ,由 ,取 ,得 ;…………………10 分设平面 的一个法向量为 ,由 ,取 ,得 .…………………12 分………………………13 分∴二面角 的余弦值为 .………………………14 分22 解:(Ⅰ)函数 的定义域为 , .………………………2 分又曲线 在点 处的切线与直线 垂直,ABCD AD AB∴ ⊥ PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB=AD∴ ⊥ PABAD PB⊥ PA PB⊥ PA AD A∩ =PB∴ ⊥ PADPB ⊂ PBCPAD ⊥ PBCAB ,OP OB ,x y2AP AD= = APB∆ P∠( ) ( ) ( ) 2 20, 2,0 , 0, 2,2 , 0, 2,0 , , ,12 2A D B M − −    2 3 2 2 3 2 2 2, , 1 , , ,1 , , , 12 2 2 2 2 2MA MD MB       = − − − = − − = − −               MAD ( ), ,m x y z =2 3 202 22 3 202 2m MA x y zm MD x y z⋅ = − − − = ⋅ = − − + =1y = ( )3,1,0m = −MBD ( ), ,n x y z =2 3 202 22 202 2n MD x y zn MB x y z⋅ = − − + = ⋅ = − + − =x 1= ( )1, -1, - 2=n1cos50,⋅∴ = = −⋅   m nm nm nA MD B− − 105所以 ,即 .………………………3 分(Ⅱ)由于 .当 时,对于 ,有 在定义域上恒成立,即 在 上是增函数. ………………………5 分当 时,由 ,得 .当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减. ………………………8 分综上,当 时,增区间是 ,无减区间;当 时, 增区间是 ,减区间是 ………………………9 分(Ⅲ)当 时, .令 .当 时, , 在 单调递减. ………………………12 分又 ,所以 在 恒为负.所以当 时, . ………………………13 分即 .………………………14 分故当 ,且 时, 成立………………………15 分23.解:(1)由题意可得 f(x)的定义域为 R, ,..............1 分当 m≤0 时, 恒成立,∴f(x)在 R 上单调递减,f(x)无极值,............................ ............................3 分当 m>0 时,令 f'(x)= 0,解得 x=lnm,当 x∈(lnm,+∞)时, ,f(x) 单调递减,)1,0(a− ),1( +∞−a( ) xf x m e= −'( ) 0f x' <( ) 0f x' <当 x∈(-∞,lnm)时, ,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=lnm 处取得极大值,且极大值为 f(lnm)=mlnm-m+3,无极小值,..............5 分综上所述,当 m≤0 时,无极值,当 m>0 时,f(x)极大值为 mlnm-m+3,无极小值。............. ...............6 分(2)把 代入 可得 ,∵ ∴ ,∴ .........................8 分令 ∴ ,由(1)可知,当 m=1 时,f(x)=-ex+x+3 在(0,+∞)上单调递减,故函数 h(x)=ex-x-3 在(0,+∞)上单调递增,而 ,∴h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点 x0且 x0∈(1,2), ........................................10 分故 g'(x)在(0,+∞)上也存在唯一的零点且为 x0当 x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当 x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)min=g(x0),........................................... ...........................................12 分由 g'(x0)=0,可得 ,∴g(x0)=x0+1, ∴g(x0)∈(2,3),由(*)式等价于 a<g(x0),∴整数 a 的最大值为 2. ...........................................15 分( ) 0f x' >0( ) 3xmf x mx e== − +( )[ ( ) 2] 2x a f x x− − +< ( )( 1) 2xa x e x− − +<0, 1 0x −x> 则e > 21xxa xe+−−<20 *1xxa x xe+ +−< , > ,( )( ) 21xxg x xe+= +−( ) 2( 3)( 1)x xxe e xg xe− −=−'(1) 0(2) 0hh<>300 += xe x

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