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湖北省咸宁市十校2021届高三数学10月联考试卷(Word版附答案)

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六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 1页)2021 届高三年级六校十月份联考高三数学试题第Ⅰ卷(共 60 分)一、单选题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设 ,集合 , ,则 =( )A. B. C. D.2.函数 的定义域为( )A. B. C. D.3.在 中,已知 ,则 ( )A. B. C. D.4.若 ,使得不等式 成立,则实数 的取值范围为( )A. B. C. D.5.“开车不喝酒,喝酒不开车.”公安部交通管理局下发《关于 2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》,对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图,且该图表示的函数模型,则该人喝一瓶啤酒后至少经过( )小时才可以驾车?(参考数据: , )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别 阈值( )饮酒后驾车 ,醉酒后驾车A.5 B.6 C.7 D.8U R= 01xA xx =  − { | 1 1}B x x= − ( ) BACu ∩( ]0,1 [ )0,1 ( )0,1 [ ]0,1( ) 13 1ln(2 )f x xx= − +−1,1 (1, )3  +∞ U1, 23  ( )131,1 ,2  U (0, 2)ABC∆ 45 , 30 , 2A B c= = =o o a =6 2+ 6 2− 3 1− 3 1+[ 1, 2]x∃ ∈ − 2 2 0x x a− + a3a − 0a 1a 3a −( )0.540sin 13,0 2390 e 14, 2xx xf xxπ−   + ≤   =   ⋅ + ≥ln15 2.71≈ ln 30 3.40≈mg /100mL20≥ 8080≥六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 2页)6.已知函数 的图像与 轴切于点 ,则 的极值为( )A.极大值为 ,极小值为 0 B.极大值为 0,极小值为C.极小值为 ,极大值为 0 D.极小值为 0,极大值为7.如右图,在 中, , ,点 为边 上的一动点,则 的最小值为( )A. 0 B. C. D. 8.已知函数 在 内有且仅有 3个零点,则 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,每题有两个或以上的选项正确,全选对得 5 分,少选但没有错选得 3 分,有错选或全不选得 0 分)9.若函数 ( ,且 )的图像不经过第二象限,则需同时满足( )A. B. C. D.10.下列函数中,最小值是 4的函数有( )A. ; B. ;C. ; D. .11.已知函数 ,下列是关于函数 的零点个数的判断,其中正确的是( )A.当 时,有 个零点 B.当 时,有 个零点C.当 时,有 个零点 D.当 时,有 个零点( ) 3 2f x x px qx= − − x (1,0) ( )f x427427−527− 527ABC∆ 4BC = 4· =BCBA P BCPCPA·2− 94− 3−( ) sin cos ( 0)6f x x xπω ω ω = + +   [ ]0,π ω8 11,3 3  8 11,3 3   10 13,3 3   10 13,3 3  1xy a b= + − 0a 1a ≠1a 0 1a 0b 0b ≤224( )f x xx= + 4( ) cos (0 )cos 2f x x xxπ= + ≤ 225( )1xf xx+=+4( ) 33xxf x = +( )21, 0log , 0kx xf xx x+ ≤=  ( )y f f x=   0k 3 0k 20k 4 0k 1六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 3页)12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.第Ⅱ卷(共 90 分)三、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.已知向量 与 的夹角为 , , ,则 ____________. 14.公元前 6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为 ,这一数值也可以表示为 .若 ,则 =____________.15.等差数列 中, 为其前 项和,若 ,则 ____________.16.若存在两个正实数 使等式 成立,(其中 )则实数 的取值范围是____________.四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)在① ② ③ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求出 的最大值;若问题中的三角形不存在,请说明理由.(若选择多个,则按第一个条件评分)问题:已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,____________,求 的最大值.18.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)数列 中, 为其前 项和,且 .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)若 ,求数列 的其前 项和 .{ }nanS { }na n6 8a = 9 54S =1 3 5 2019 2020a a a a a+ + + ⋅⋅⋅+ =2 2 21 2 201920202019a a aaa+ + ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ + =a b 60° 2=a 3b = =+ ba 230.618 2sin18m = ° 2 4m n+ =21 2cos 153m n− °{ }na nS n 5 20152015, 5S S= = 2020S =,x y ( )( )ln ln 0x m y x y x+ − − = 2.71828...e = m( )sin sin sinB C A C− = − 3 tan tancoscA Ba B= + 2 cos cos cosa A b C c B= +b c+ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2a = b c+{ }na nS n 1 1na S n+ = +n nS a, 2nSn nb a= ⋅ { }nb n nT六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 4页)19.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥 中,底面 为菱形, 平面 , 为的中点.(Ⅰ)证明: 平面 ;(Ⅱ)设 ,三棱锥 的体积为 ,求二面角的余弦值.20.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数 是偶函数,函数 是奇函数.(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)设 ,若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围.21.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知直线 与圆 : 相切,动点 到 与 两点的距离之和等于 两点到直线 的距离之和.(Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程; (Ⅱ)过点 的直线 交轨迹 于不同两点 、 ,交 轴于点 ,已知 ,,试问 是否等于定值,并说明理由.22.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数(Ⅰ)若 ,求函数 的最小值;(Ⅱ)若函数 对任意的 恒成立,求正实数 的最值范围;(III)求证: , .( 为自然对数的底数)答 案第一部分:选择题(每题 5 分,共 60 分)9-12 多选题:全选对得 5 分,少选但没有错选得 3 分,有错选或全不选得 0 分P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD EPD//PB AEC1, 60PA ABC= ∠ =  E ACD− 36D AE C− −( ) ( )4log 4 1xf x mx= + − ( ) 42xxng x+=m n+( ) ( ) 12h x f x x= + [ ] ( )4( ) log 2 1g h x h a +   4log 3x ≥ a1l O 922 =+ yx M ( )2 0E − , ( )2,0F FE、1lM CF 2l C A B y N AFNA 1λ=BFNB 2λ= 21 λλ +( ) ln( 1)f x ax x= − +1a = ( )f x( ) 0f x (0, )x ∈ +∞ an N+∀ ∈1!nnen+ e六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 5页)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B C B C B A C A AD ACD BC ACD13. 14.15. 16.17.(10分)解:若选择条件①…………5 分若选择条件②若选择条件③ 由余弦定理可知6 312−2020−( ),0−∞六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 6页)当且仅当 时等号成立综上 …………10 分 18.(12分)解:19.(12分)(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .解:(Ⅰ)连接 交 于点 ,连接 ,则 为 中点,为 的中点,所以 ,平面 平面 ,所以 平面 ; …………5分(Ⅱ)设菱形 的边长为 ,, ,则. …………7分取 中点 ,连接 .以点 为原点,以 方向为 轴,以 方向为 轴,以 方向为 轴,建立如图所示坐标系. ( )( )( )2 2 222 22222 co s4 3 44 3 324 44b c b c A ab c b c b c b cb cb c b cb cb c+ − =⇒ + − = ⇒ + − =+ ⇒ + − = ≤   +⇒ ≤ ⇒ + ≤b c= ( )max 4b c+ =14BD AC O OE O BDE PD / /PB OEOE ⊂ ,ACE PB ⊄ ACE//PB AECABCD a32324P ABCD P ACD E ACDV V V− − −= = =21 1 3 2 32 13 3 4 3P ABCD ABCDV S PA a− = ⋅ = × × × =   Y2a =BC M AMA AM x AD yAP z六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 7页), , , 得 ,令 ,则20. (12分)解:(1)由于 为奇函数,且定义域为 R,∴ ,即 ,经检验, 符合题意;∵ ,∴∵ 是偶函数,∴ ,得 恒成立,故综上所述,可得 …………6分(2)∵ ,∴又∵ ,在区间 上是增函数且( )0,2,0D ( )0,0,0A 10,1,2E   ( )3,1,0C1023 0y zx y + = + =3x = 3, 6y z= − =( )g x( )0 0g =0040 12nn+ = ⇒ = −1n = −( ) ( )4log 4 1xf x mx= + − ( ) ( )4log 4 1xf x mx−− = + + ( ) ( )4log 4 1 1x m x= + + −( )f x( ) ( )f x f x− = ( )1mx m x− = − 12m =12m n+ = −( ) ( ) ( )41 log 4 12xh x f x x= + = +( ) ( )4 4log 2 1 log 2 2h a a+ = +  ( ) ( )4log 4 1xh x = + 4[log 3, )+∞ ( ) 4log 3) 1h x h≥( =六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 8页)∵ 在区间 上是增函数,∴由题意,得因此实数 的取值范围是: . …………12分21. (12 分)解(1)设 三点到直线 的距离分别为 ,O 为 EF 的中点,则∵直线 与圆 O: 相切, ∴∴∴动点 M 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 6 的椭圆∴所以动点 M 的轨迹 C: …………5 分(2)方法一:①当 斜率为 0 时, , ,不妨取 , , ②当 斜率不为 0 时,设 : , ,则 .则 由 ,同理可得( ) 4 1 2 22xx xxg x −−= = − [1, )+∞[ ] [ ]4min3( ) =g (log 3) (1)2g h x h g= =322 2 412 2 0 322 1 0aa aa+  + ⇒ −  + a1( 3)2− ,FOE 、、 1l 21 ddd 、、1l 922 =+ yx 3=d46221 ==+=+ dddMFMEFE、5,2,3,62 222 =−==== cabcaa15922=+ yx2l (0,0)N ( )0,2F ( 3,0)A − (3,0)B2l2l ( )02 ≠−= txty ( ) ( )2211 yxByxA ,、,20,Nt −  ( )1111111121,22,tyyxtyxAFNA −−=⇒−−= +⇒= λλλBFNB 2λ=2221ty−−=λ六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 9页)由 得 ,∴ , , …………9 分∴综上, 为定值. …………12 分方法二:设 , , ,由于点 A 在轨迹 C 上,∴整理,得由 同理可得∴ 方程关于 的方程 的两根故 为定值. …………12 分22.(12分) 解:(Ⅰ)当 时,由题意- 0 +↘ 极小值 ↗所以当 时, …………4分(Ⅱ)由2 22,1,9 5x tyx y= ++ =( )2 25 9 20 25 0t y ty+ + − =1 2 2205 9ty yt+ = −+ 1 2 2255 9y yt= −+5182520222222221212121 −=⋅−−=+⋅−−=+−−=+ ttyyyyttytyλλ51821 −=+ λλ( )nN ,0 ( )11 , yxA ( )22 , yxB( ) ( )1151942122121 =+++ λλλ n051295 2121 =−++nλλBFNB 2λ= 051295 2222 =−++nλλ21 ,λλ λ 051295 22 =−++ nλλ51821 −=+ λλ1a = ( 1, )x ∈ − +∞1'( ) 1 0 01 1xf x xx x= − = = ⇒ =+ +x ( 1,0)− 0 (0, )+∞'( )f x( )f x0x = min( ) (0) 0f x f= =1'( )1f x ax= −+六校 10月联考高三数学试卷(共 4页第 10页)当 时, , 恒成立,即 在 上单调递增,所以恒成立,符合当 时, ,当 , ,即 在上单调递减,此时 ,不符合综上: …………8分说明:此问分离变量结合洛必达法则,酌情给分.(III)由(Ⅱ)知, 时, ,即 所以 …………12分1a ≥ 1 (0,1)1 x∈+1'( ) 01f x ax∴ = − +( )f x (0, )+∞( ) (0) 0f x f =0 1a (1 ) 1'( ) ( )1 1ax a a af x xx x a− − −= = −+ +1(0, )axa−∈ '( ) 0f x ( )f x1(0, )axa−∈ ( ) (0) 0f x f =1a ≥1a = ln(1 )x x + (0, )x ∈ +∞( 1)!nnn en+ 1!nnen+

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