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广东省2021届高三数学上学期质量检测(一)试题(Word版附答案)

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时间:2020-11-15

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资料简介

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绝密★启用前 试卷类型:A广东省 2021 届高三上学期教学质量检测(一)数学 2020.9注意:1.本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.正确粘贴条形码.3.作答选择题时,用 2B 铅笔在答题卡上对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.5.考试结束后,考生上交答题卡.一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数 的共轭复数是A. B. C. D.2.已知集合 , ,则A. B. C. D.3.已知抛物线 的准线为 ,圆 与 相切.则A. B. C. D.4.某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为 ,, , .若不低于 分的人数是 人,则该班的学生人数是A. B. C. D.5.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章21 i−1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− +2 0{ | }M x x x= − ≤ { }sin| ,N y y x x= = ∈ R M N∩ =[ ]1,0− (0,1) [0,1] ∅2: 2 ( 0)C x py p= l 2 2: ( 1) ( 2) 9M x y− + − = l p =1 2 3 4[20,40)[40,60) [60,80) [80,100] 60 3545 50 55 65为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”.某老年公寓住有 位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中最年长者的年龄在 之间,其余 人的年龄依次相差一岁,则最年长者的年龄为A. B. C. D.6.已知 , ,则A. B. C. D.7.已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上.若 , , ,,则球 的表面积为A. B. C. D.8.对于定义在 上的函数 ,且 为偶函数.当 时, ,设, , ,则 , , 的大小关系为A. B.C. D.二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9.设 , , 为正实数,且 ,则A. B.C. D.10.已知曲线 , ,则A.把 上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线B.把 上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到20 (90,100)1994 95 96 98,( )0α π∈ ( )2sin 2 cos2 1π α α− = − sinα =155555− 2 551 1 1ABC A B C− 6 O 1AB = 3AC = AB AC⊥1 4AA = O5π 10π 20π 20 53πR ( )f x ( )f x π+ ,( )0x π∈ 3( ) cosf x x x= −( )2a f= ( )4b f= ( )6c f= a b ca b c b c a b a c c a b a b c a b1 1a ba b− − 1 1a bb a− −( )ln 0a b− ( ) ( )2 21 1ca b c+ +1 2: sinC y x= 2 : 2sin 2 3C y xπ = +  1C12 6π2C1C1256π曲线C.把 向左平移 个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的 倍.纵坐标不变,得到曲线D.把 向左平移 个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到曲线11.对 , ,若函数 同时满足:(1)当 时,有 ;(2)当时,有 ,则称 为 函数.下列是 函数的有A. B. C. D.12.在长方体 中, , 是平面 内不同的两点, , 是平面 内不同的两点,且 , , , , , 分别是线段 , 的中点,则下列结论正确的是A.若 ,则B.若 , 重合,则C.若 与 相交,且 ,则 可以与 相交D.若 与 是异面直线,则 不可能与 平行三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.函数 的图象在点 处的切线方程为________.14. 的展开式中 的系数为________.(用数字填写答案)15.已知向量 , ( , ),若 ,则 的最小值为________.16.已知 , 是双曲线 的左,右焦点,以 为直径的圆与 的左支交2C1C 3π 122C1C 6π 122Ca∀ b ∈ R ( )f x 0a b+ = ( ) ( ) 0f a f b+ = 0a b+ ( ) ( ) 0f a f b+ ( )f x Ω Ω( ) e ex xf x −= + ( ) e ex xf x −= −( ) sinf x x x= − ( )0, 0,1, 0.xf xxx== − ≠1 1 1 1ABCD A B C D− M P 1 1DCC D N Q ABCDM P N Q CD∉ E F MN PQMN PQP EF CDPE F MP CDPMN PQ MP CDP NQ CDMN PQ EF CD3 2( ) 2f x x x= − ( )( )1, 1f102 1( 2)x xx − +  8x( )1,m a=( )2 1,3n b= −0a 0b m n⊥  1 2a b+1F 2F ( )2 22 2: 1 0, 0x yC a ba b− = 1 2F F C于点 , 与 的右支交于点 , ,则 的离心率为________.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问 题 : 是 否 存 在 , 它 的 内 角 , , 的 对 边 分 别 为 , , , 且, ,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12 分)设 是公比大于 的等比数列, ,且 是 , 的等差中项.(1)求数列 的通项公式;(2)若 ,数列 的前 项和 .19.(12 分)如图,在圆柱 中, 为圆 的直径, , 是弧 上的两个三等分点, 是圆柱 的母线.(1)求证: 平面 ;(2)设 , ,求二面角 的余弦值.20.(12 分)某市广电运营商为了解该市广电网络从业人员的业务水平与服务水平.随机调查了 名客户,结果显示:业务水平的满意率为 ,服务水平的满意率为 ,两者都满意的有 名客户.A 2AF C B 1 23cos5BFF∠ = − C3sin sinB C= 4sinb A= 2B C A+ =cABC△ A B C a b csin cos s3 n4 iB A Aa b b= + 2a ={ }na 1 1 2 3 14a a a+ + = 2 1a + 1a 3a{ }na21log2nnb a =   { }nb n nT1 2O O AB 1O C D»AB CF 1 2O O1CO P AFD3AC = 45FBC∠ = ° B AF C− −140675790(1)根据上述结果完成下面 列联表.并判断是否有 的把握认为该市广电网络从业人员的业务水平与服务水平有关;对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)若从对服务水平不满意的客户中,随机抽取 名征求改进意见,用 表示对业务水平不满意的人数,求 的分布列与期望;(3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为,只对其中一项不满意的客户流失率为 ,对两项都不满意的客户流失率为 ,从该社区中任选 名客户,估计在业务服务协议终止时至少有 名客户流失的概率为多少?附:,21.(12 分)已知椭圆 的两个焦点分别是 , ,并且经过点 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)已知点 ,若 上总存在两个点 、 关于直线 对称,且 ,求实数 的取值范围.22.(12 分)已知函数 , .(1)讨论 的单调性;(2)设 ,若函数 有两个不同的零点 , ,求 的取值范围.2020 学年第一学期高三调研考试数学试题参考答案与评分标准评分说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题2 2× 97.5%2 XX5% 40% 75%4 2( )2P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d× −=+ + + +n a b c d= + + +C ( )1,0− ( )1,0 21,2    C( )0,2Q C A B y x m= + 4QA QB⋅  m( ) ( )ln 1f x x a x= − + a ∈ R( )f x( ) ( ) 1g x f x x= + + ( )g x 1x 2x a主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半.如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.1~8 小题为单项选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;9~12 小题为多项选择题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B B B D C C AD ABC BC BD8.解,因为函数 为偶函数,所以 ,即函数 的图象关于直线 对称,即 .又因为当 时, ,所以函数 在 上单调递减,因而在 上单调递增,因为 ,所以 ,即 ,即 .故选 C.12.解:若 ,则 、 、 、 四点共面 ,当 时,平面 、 、两两相交有三条交线,分别为 、 、 ,则三条交线交于一点 ,则 与平面 交于点 ,则与 不平行.故 A 错误:若 , 两点重合,则 , 、 、 ﹑ 四点共面 ,平面 、 、 两两相交有三条交线,分别为 、 、 ,由 ,得 ,故 B 正确;若 与 相交,确定平面 ,平面 、 、 两两相交有三条交线,分别为 、 、,因为 ,所以 ,所以 与 不可能相交.故 C 错误;当 与 是异面直线时,如图,连接 ,取 中点 ,连接 , .则 ,因为平面 , 平面 ,则 平面 .假设 ,因为 平面, 平面 ,所以 平面 .( )f x π+ ( ) ( )f x f xπ π− + = +( )f x x π= ( ) 2( )f x f xπ= −,( )0x π∈ ( ) 3cosf x x x= − ( )f x (0, )π ( ), 2π π4 2 2 6π − ( ) ( )(4 2 6)2f f fπ − ( ) ( )4 2 6( )f f f b a c MN PQP M N P Q γ MN PQ 1 1DCC D ABCD γMP NQ CD O CD γ O EFCDE F MP NQP M N P Q γ 1 1DCC D ABCD γMP NQ CD MP NQP MP NQ CDP PMN PQ γ 1 1DCC D ABCD γ MP NQCD MP CDP MP NQ CDP P NQ CDMN PQ NP NP G EG FG EG MPP MP ⊂1 1DCC D EG ⊄ 1 1DCC D EG P 1 1DCC D EF CDP CD ⊂1 1DCC D EF ⊄ 1 1DCC D EF P 1 1DCC D又 ,∴平面 平面 ,同理可得,平面 平面 ,则平面平面 ,与平面 平面 矛盾.所以假设错误, 不可能与 平行,故 D正确,故选 BD.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 14. 15. 16.16.解:由题意知 , ,所以 ,即 ,易得 .设 , , .由双曲线的定义得: ,解得: ,所以 ,因为 ,所以离心率 .三、解答题;本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10 分)解:已知 ,由正弦定理,得 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分因为 为三角形内角, , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分所以 ,即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分所以 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5 分EF EG E∩ = EFG P 1 1DCC D EFG P ABCD 1 1DCC D PABCD 1 1DCC D ∩ ABCD CD= EF CD0x y+ = 25 7 4 3+ 131 2 90F AF∠ = ° 1 23cos5BFF∠ = −13cos5ABF∠ =1| | 3| | 5ABBF= 1 1: : 3 : 4 : 5AB AF BF =| | 3AB = 1 14 5BAF F= = 2BF x=3 4 5x x+ − = − 3x = 2 21 2 4 6 4 13 13F F c= + = ⇒ =2 5 2 1a x a= − = ⇒ = e 13=sin cos4 3 sinB Aa b b A= +4sin sin 3 sin sinsin cosB AAA B B= +B sin 0B ≠sin co s3 i4 s nA A A= + 3sin os3 cA A=tan33A =因为 ,所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分选择条件①的解析:解法一:由 及正弦定理,可得 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分由余弦定理 ,则 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 9 分解得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分解法二:由 ,又因为 ,所以 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分则 ,展开得, , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分所以 ,所以 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分所以 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分选择条件②的解析:解法一:由 ,可得 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分由余弦定理 得,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8 分, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 9 分解得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 0 分解法二:由 得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分因为 ,所以, 是以 为顶角的等边三角形.所以 ,所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8 分0 A π 6Aπ=3sin sinB C= 3b c=2 2 2 2 cosa b c bc A= + −( )2 2 34 3 2 32c c c c = + − ⋅ ⋅ ⋅ 2c =3sin sinB C=6Aπ= 56B Cπ= −5sin 36sinC Cπ − =  3cos sinC C=tan33C =6Cπ=A C=2c =4sinb A= 4sin 26bπ= =2 2 2 2 cosa b c bc A= + −2 2 22 2 2 2 cos6c cπ= + − × × ×2 3c =4sinb A= 4sin 26bπ= =2a = ABC△ C6A Bπ= = 23Cπ=由正弦定理 得, ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分解得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分选择条件③的解析:解法一:由 ,又因为 ,则 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分与 矛盾,则问题中的三角形不存在.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分解法二:由 ,则 ,则 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分与三角形内角和等于 矛盾,因而三角形不存在. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分18.(12 分)解:(1)设等比数列 的公比为 .依题意,有 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分将 代入 得 ,得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分联立 得两式两边相除消去 得 ,解得 或 (舍去),∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4 分所以 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分(2)解法一:因为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分sin sina cA C= 22sin sin6 3cπ π=2 3c =2B C A+ = A B C π+ + =3Aπ=6Aπ=2B C A+ = 26 3B Cπ π+ = × =6 3 2A B Cπ π π π+ + = + = π{ }na q( )2 1 32 1a a a+ = +( )1 3 22 1a a a+ = + 1 2 3 14a a a+ + = ( )2 22 1 14a a+ + =2 4a =1 2 32144a a aa+ + ==21 1 11144a a q a qa q+ + ==1a22 5 2 0q q− + =2q = 12q =1422a = =1 11 2 2 2n n nna a q− −= = × =21log 22nnn nb a n = = − ⋅  所以, ……①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分……② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分① ②,得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分所以,数列 的前 项和 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分解法二:因为所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分进而得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分所以数列 的前 项和为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分19.(12 分)解:(1)连接 , ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1 分因为 , 是半圆 上的两个三等分点,所以 ,又 ,2 31 2 2 2 3 2 2nnT n− = × + × + × + ×( )32 142 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nnT n n +− = × + × + × + − × + ×− 2 132 2 2 2 2n nnT n+= + + + + − ×1 1 12(1 2 ) 2 2 2 21 2nn n nn n+ + +−= − × = − ⋅ −−{ }nb n1 12 2 2n nnT n+ += − ⋅ −21log 2 ( 2 ) 22nn nn nb a n n n = = − ⋅ = − + ⋅  [ ]{ }2( 1) 4 ( 2) 2nn n= − + + − − + ⋅( ) ( )11 2 2 2 2n nnb n n+⋅= − + + − − + ⋅ 2 1 3 2( 2 2) 2 ( 1 2) 2 ( 3 2) 2 ( 2 2) 2nT    = − + ⋅ − − + ⋅ + − + ⋅ − − + ⋅ +…+   [ ]{ }1( 1) 2 2 ( 2) 2n nn n+− + + ⋅ − − + ⋅[ ] 1 1( 1) 2 2 22 2 (1 )n nn n+ += − + + ⋅ − − ⋅ −={ }nb n ( ) 11 2 2nnT n +⋅= − −1O C 1O DC D »AB1 1 1 60AO D DO C CO B∠ = ∠ = ∠ = °1 1 1 1O A O B O C O D= = =所以 , , 均为等边三角形.所以 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分所以四边形 是平行四边形. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3 分所以 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4 分因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分(2)因为 是圆柱 的母线,所以 平面 , 平面 ,所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分因为 为圆 的直径,所以 ,在 中, , ,所以 ,所以在 中, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分(方法一)因为 , , ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 .在 内,作 于点 ,连接 .因为 , , 平面 ,所以 平面 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分又 平面 ,所以 ,1AO D△ 1CO D△ 1BO C△1 1O A AD DC CO= = =1ADCO1CO ADP1CO ⊄ AFD AD ⊂ AFD1CO P AFDFC 1 2O OFC ⊥ ABC BC ⊂ ABC FC BC⊥AB 1O 90ACB∠ = °Rt ABC△ 60ABC∠ = ° 3AC =1tan 60ACBC = =°Rt FBC△ tan45 1FC BC= ° =BC AC⊥ BC FC⊥ AC FC C∩ =BC ⊥ FACFA ⊂ FACBC FA⊥FAC△ CH FA⊥ H BHBC CH C∩ = BC CH ⊂ BCHFA ⊥ BCHBH ⊂ BCHFA BH⊥所以 就是二面角 的平面角.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分在 中, ,. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分在 中, ,所以 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分所以 .所以,二面角 的余弦值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分(方法二)以 为坐标原点,分别以 , , 所在直线为 , , 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , , ,所以 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分设平面 的法向量为 ,则即令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分因为平面 的一个法向量 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分BHC∠ B AF C− −Rt FCA△ 2 2 2FA FC AC= + =32AFCCHFCA⋅= =Rt BCH△ 90BCH∠ = °2 2 72BH BC CH= + =21cos7CHBHBHC∠ = =B AF C− − 217C CA CB CF x y z( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0,0,1F( 3,1,0)AB = −( 3,0,1)AF = −AFB , ,( )n x y z=,,AB nAF n ⊥⊥  3 0,3 0,x yx z− + =− + =1x = 3y z= =AFB (1, 3, 3)n =AFC 0, ,0( 1 )m =所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分所以结合图形得,二面角 的余弦值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分20.(12 分)解:(1)由题意知对业务水平的满意的为 人,对服务水平的满意的为 人,得 列联表:对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3 分所以,有 的把握认为业务水平与服务水平有关.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分(2) 的可能取值为 , , . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5 分, , .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分(3)在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为 ,只对其中一项不满意的客户流失率为 ,对两项都不满意的客户流失率为. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分3 21cos ,77m nm nm n⋅= = =   B AF C− − 217120 100 2 2×90 30 12010 10 20100 40 14022 140 (90 10 30 10) 21 5.25 5.024120 20 100 40 4K× × − ×= = = × × ×97.5%X 0 1 20 210 30240CC 29( 0)52CP X = = =⋅ 1 110 30240CC 20( 1)52CP X = = =⋅ 2 010 30240CC( 2)532CP X = = =⋅X 0 1 2P 2952205235229 20 3 1( ) 0 1 252 52 52 2E X = × + × + × =90 95%140 280× =40 3240%140 280× =10 1575%140 280× =9 32 15 1280 5+ + =在业务服务协议终止时.从社区中任选 名客户,至少有 名客户流失的概率为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分21.(12 分)解:(1)因为椭圆 的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分由椭圆的定义得 ,所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 2 分因为 ,所以 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3 分因此,椭圆 的标准方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4 分(2)根据题意可设直线 的方程为 ,联立 ,整理得 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5 分由 ,得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分设 , ,则 , . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分又设 的点为 ,则 , .由于点 在直线 上,所以 ,得 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分代入 ,得 ,所以 ……①.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分因为 , ,所以4 24 0 30 14 44 1 4 1 1131 C C5 5 5 5 625P     = − × − × =          C x2 22 21( 0)x ya ba b+ = 2 22 22 22 (1 1) 0 (1 1) 0 2 22 2a   = + + − + − + − =         2a =1c = 2 2 2 1b a c= − =C22 12xy+ =AB y x n= − + 22 12y x nxy= − ++ =223 4 2 2 0x nx n− + − =2 2( 4 ) 4 3(2 2) 0n n∆ = − − × − 2 3n 1 1,( )A x x n− + ( )2 2,B x x n− +1 243nx x+ =21 22 23nx x−=AB ( )0 0,M x x n− + 1 2022 3x x nx+= = 0 3nx n− + =M y x m= +23 3n nm= + 3n m= −2 3n 29 3m 3 33 3m− 1 1,( 2)QA x x n= − + −2 2,( 2)QB x x n= − + −.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分由 ,得 ,得 ,得 ,所以 ……②∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分由①②得 ,故实数 的取值范围为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分22.(12 分)解:(1)函数 的定义域为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分则 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分(i)当 ,即 时,令 得, ,得 ,又因为 ,所以 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 3 分(ⅱ)当 ,即 时, ,又由 得 对任意的 恒成立.所以函数 在 上单调递增.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分综上,当 时,函数 在 单调递增,在 上单调递减;当 时,函数在 上单调递增.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分(2)解法一: ,函数 的定义域为 , .21 2 1 22 ( 2)( ) ( 2)OA OB x x n x x n⋅ = − − + + − 2 2 2 24 4 4 8 3( 4 4) 3 4 83 3 3 3n n n n n n n− − − + − += − + =4OA OB⋅  23 4 8 12n n− + 23 4 4 0n n− − 223n− 2 3 23m− − 2 23 9m− 3 23 9m− m3 2,3 9 −   ( ) ( )ln 1f x x a x= − + ( )0,+∞1( ) ( 1)f x ax′ = − +1 0a + 1a −1( ) ( 1) 0f x ax′ = − + 1 1ax + 11xa+0x 101xa +( )f x 10,1a+  1,1a+∞+   1 0a + ≤ 1a ≤ − ( )1 0a− + ≥0x ( ) 0f x′ ,( )0x ∈ +∞( )f x (0, )+∞1a − ( )f x 10,1a  + 1,1a +∞ + 1a ≤ − ( )f x(0, )+∞( ) ( ) 1 ln 1g x f x x x ax= + + = + −)(g x (0, )+∞ 1( )g x ax′ = −(i)当 时, ,函数 在 上是增函数,不可能有两个零点; ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分(ii)当 时,在 上, .在 上, .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分所以函数 在 单调速增,在 上单调递减.此时 为函数 的最大值.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分若 ,则 最多有一个零点,不合题意.所以 ,解得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分此时 ,且 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分令 ,则所以 在 上单调递增.所以 ,即 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分故函数 有两个不同的零点 , , .综上, 的取值范围是 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分解法二:因为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分所以“函数 有两个零点”等价于“直线 与函数 的图象有两个交点”∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分0a ≤ ( ) 0g x′ ( )g x (0, )+∞0a 10,a   ( ) 0g x′ 1 ,a +∞  ) 0(g x′ ( )g x 10,a   1,a +∞  1ga   ( )g x10ga  ≤  ( )g x 1 1ln 0ga a  =   0 1a 22ee1 1a a 1 1 1e e0ea ag  = − − + = −   ( )2 2 222 2ln 1 3 2ln 0 1e e eg a a aa aa = − − + = − −   2eln( ) 3 2 (0 1)G a aaa= − − ( )2 22 22 e e 20aG aa a a−′ = − + = ( )G a (0,1)( ) ( ) 21 3 e 0G a G = − 22e0ga   ( )g x ( )1 2 1 2,x x x x 111,exa ∈   22 21 e,xa a ∈   a ( )0,1lnln1( ) 1 0g x axxxxa+= + − = ⇔ =( )g x y a= 1( l) n xh xx+=2( )lnxxhx−′ =则 ; ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分得函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以函数 的最大值为 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分又因为函数 在其定义域 上连续不断,(这个理由可以不写)且易知当 时, ,当 时, ﹐当 时, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分所以当函数 有两个零点时,只需满足 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 11 分即 的取值范围为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12 分注:求最大值后也可以画图象说明:( ) 0 0 1h x x′ ⇔ ( ) 0 1h x x′ ⇔ ( )h x ( )0,1 (1, )+∞ ( )h x ( )1 1h =( )h x (0, )+∞10ex ( ) 0h x 1ex ( ) 0h x x → +∞ ( ) 0h x →( )g x ( )max0 a h x a ( )0,1

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