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吉林省桦甸市第四中学2021届高三(理)数学上学期第一次调研考试试题

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时间:2020-11-13

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资料简介

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- 1 -吉林省桦甸市第四中学 2021 届高三(理)数学上学期第一次调研考试试题本试卷共 22小题,共 150分,共 6页,考试时间 120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用 2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效。4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。1. 已知集合 , ,则A. B. C. D. 2. 下列函数中最小正周期为 的函数的个数① ;② ;③A. 0 B. 1 C. 2 D. 33. 下列向量中不是单位向量的是A. B. C. D. 4. 为了得到函数 的图象,可将函数 的图象A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 }06|{ 2 −−= xxxA }|{ NxxB ∈= ( )RC A B∩ =}2,1{ }2,1,0{}3,2,1{ }3,2,1,0{π|sin| xy = )32cos(π+= xy xy 2tan=)0,1( )1,1()sin,(cos αα )0|(|||≠aaa )421cos(π+= xy xy21cos=4π4π- 2 -C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位5. 设角 的始边为 轴非负半轴,则“角 的终边在第二、三象限”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 等差数列 中, ,则 的值为A. B.C.10 D.207. 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 偶 函 数 在 区 间 是 单 调 增 函 数 , 若,则实数 的取值范围是A. B. 或C. D. 或8. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为 , ,且小正方形与大正方形面积之比为 ,则 的值为A. B.C. D.9. 已知某函数的图象如图所示,则该函数的解析式可能是A. B. C. D. 2π2πα x α 0cos α{ }na 5 10 15 30a a a+ + = 22 162a a−10− 20−R )(xf ),0[ +∞)2()1( faf − a31 − a 1−a 3a13 − a 3−a 1aα β25:1 )cos( βα −252412570xeey xxcos)11(+−=22 2|| −−= xy x2||2 || +−= xy xxxy cos)1( 2 −=- 3 -10. 某兴趣小组对函数 的性质进行研究,发现函数 是偶函数,在定义域 上满足,且在区间 为减函数.则 与 的关系为A. B.C. D.11 .设 为 的内心,延长线段 交线段 于点 ,若 ,则A. B. C. D. 12. 已知函数 ,对 ,使得成立,则 的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 4个小题,每小题 5分,共 20分。13. 已知复数 ,则 ________.14. 已知函数 且 ,若 ,则实数 的取值范围是___________.15. 有一个数阵排列如下: 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27………………………………)(xf )(xf R)1()1()1( fxfxf +−=+ ]0,1[− )3(−f )25(−f)25()3( −≥− ff )25()3( −− ff)25()3( −≤− ff )25()3( −− ffI ABCΔ AI BC D DBCD 3==CB sin:sin1:2 1:31:4 1:9)2()(,1,1,ln)( fkxxgxxexxxf x ′+=≥= ]3,3[, 21 −∈∃∈∀ xRx)()( 21 xgxf ≥ k]6131,( −−−∞e)6131[ ∞++ ,e]6131,6131[ +−−ee]6131,( −−−∞e∪ )6131[ ∞++ ,eiz 32 −= =+ |1| zxaxf −= 1)( 0( a )1≠a )2020()2021( ff a- 4 - 28…………………………………… ……………………………………… 则第 40行从左至右第 6个数字为     .16. 如图所示,滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ,经测量得 ,在保护草坪的同时,为了方便游人行走,现打算铺设一条小路 (其中点 在边上,点 在边 上),若 恰好将该草坪的面积平分,则 两点间的最小距离为    .三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 10分)数列 前 项和为 且 ,(I)求 的通项公式;(II)求 值.18.(本小题满分 12分)已知函数 , ,(I)求函数 的对称中心;(II)若存在 ,使不等式 成立,求实数 的取值范围.ABCmBCmACmAB 1310,40,30 ===DE DAB E AC DEED, m{ }nb n nS 1 111,2n nb b S+= ={ }nb2 4 6 2nb b b b+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +)3cos(sin2)(π−= xxxf Rx ∈)(xf]43,4[0ππ∈x mxf )( 0 mCA BDE- 5 -19.(本小题满分 12分)在 中, 分别是内角 的对边, ,(I) 求角 的大小;(II)若 ,且 的面积等于 ,求 的值.20.(本小题满分 12分)已知函数 ,(I) 当 时,求函数 的单调区间与极值;ABCΔ cba ,, CBA ,, CbBca cos3sin3 +=B4=b ABCΔ 34 ca,xxaaxxf 321231)( 23 +++=2=a )(xf- 6 -(II)是否存在正实数 ,使得函数 在区间 上为减函数?若存在,请求 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12分)已知数列 的首项 ,且满足 ,(I)设 ,证明 是等差数列;(II)求数列 的前 项和 .22.(本小题满分 12分)设函数 ,(I)当 时,求函数 在点 处的切线;a )(xf ]1,1[− a{ }na 1 3a = 11 2 2 1nn na a ++ = + −12nn nab−= { }nb{ }na n nSxxmxf 2ln)( −=2=m )(xf ))1(,1( f- 7 -(II)若 ,都有 ,求正实数 的取值范围;(III)当 时,曲线 上的点 处的切线与 相切,求满足条件的 的个数.命题、校对:高三数学核心组吉林市普通中学 2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D C B C A A A A B B B D二、填空题13. 14. 15. 1030 16. 三、解答题17【解析】(1)由 得0∀x 0)( ≤xf m1=m )(xfy = )0)(,( 000 xyx2xy =0x3 2 ( 0, 1)610112n nb S+ =- 8 -.................................................1分两式相减得 即..................................2分,所以 ..........................................3分当 时 为等比数列,且 .............................4分所以 的通项公式为...................................5分(2)由(1)知设 ,则.............................7分所以 是首项为 ,公比 的等比数列.......................................8分所以...........................10分18【解析】112n nb S −=112n n nb b b+ − =13(n 2)2n nb b+ = ≥1 2 11 11,2 2b b S= = = 2 132b b≠2n ≥ { }nb 21 3( ) (n 2)2 2nnb−= ⋅ ≥{ }nb21 (n 1)1 3( ) (n 2)2 2n nb −== ⋅ ≥2 221 3( )2 2nnb−= ⋅2n na b=221 2 22 221 3( ) 3 92 2 ( )1 3 2 4( )2 2nn nnn na ba b+ +−⋅= = = =⋅{ }2nb12942 4 6 21 9[1 ( ) ] 2 92 4 [( ) 1]9 5 414nnnb b b b−+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = = −−- 9 -(1)由题得, ……………………………………………………4分 令 ,得 所以,函数 的对称中心为 …………………………………6分(2) 因为存在 ,使不等式 成立,所以 大于 的最小值………8分由 ,得 ,当 ,即 时, 取最小值 ,所以 ,则 的取值范围为 .……………………………………12分19【解析】(1)由正弦定理得 因为 ,所以即 ……………………………2分化简,得 ………………………………………………………………………4分因为 ,所以 ……………………………………………………………………6分(2)由(1)知 ,因为 ,所以由余弦定理,得)3sinsin3cos(cossin2)ππxxxxf +=( xxx 2sin3cossin +=)2cos1(232sin21xx −+=232cos232sin21 +−= xx23)32sin( +−= πxππ kx =−32 )( Zk ∈62ππ += kx )( Zk ∈)(xf )23,62(ππ +k )( Zk ∈]43,4[0ππ∈x mxf )( 0 m )(xf434ππ ≤≤ x67326πππ ≤−≤ x6732ππ =−x43π=x )(xf213 −213 −m m ),213( +∞−3 sin sin sin 3 sin cosA C B B C= ⋅ + ⋅A B C π+ + = 3 sin( ) sin sin 3 sin cosB C C B B C+ = ⋅ + ⋅3(sin cos cos sin ) sin sin 3 sin cosB C B C C B B C+ = +3 cos sinB B=(0, )B π∈3Bπ=3Bπ= 4b =- 10 -,即化简,得 ①……………………………………………………………………8分因为该三角形面积为所以 ,即 ②…………………………………………………………10分联立①②,解得 ………………………………………………………………………12分20【解析】(1)当 时, ......................1分 令 ,解得 , .................................2分+ - +增 极大值 减 极小值 增...................3分所以, 的增区间为 , , .................................4分的减区间为 ........................................5分的 极 大 值 为, ...........................................6分的极小值为 ............................................7分(2)依题意: ........................9分 又因为 ,所以, ,.........................................10分【说明】(1)此处只使用判别式小于等于 0 加上 a0的不给分; (2)若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分;2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 24 2 cos3a c acπ= + −2 2 16a c ac+ − =4 31sin 4 32ac B = 16ac =4a c= =2a = 2'( ) (2 5 3) ( 1)(2 3)f x x x x x= + + = + +'( ) 0f x = 312x = − 或-x 32∞(- , - ) 32− 32(- , - 1) - 1 +∞(- 1, )'( )f x 0 0( )f x( )f x32∞(- , - ) +∞(- 1, )( )f x32(- , - 1)( )f x3 9( )2 8f − = −( )f x7( 1)6f − = −[ ]2'( ) (2 1) 3 0 1,1f x ax a x= + + + ≤ −在 上恒成立0a 0'( 1) 0'(1) 0aff − ≤ ≤- 11 -即 即无解。 所以,不存在满足条件的正实数 ......................12分【说明】(1)此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣 1分; (2)此处若计算结果不正切,不给分;21.【解析】(1)解法一:将等式 两边都减去 得 .........2分再 除 以 得 , 即..................................4分即 .且 .................................................5分 所以 是首项为 ,公差为 的等差数列.........................................6分 解法二:由 得 ..........................................1分 将 代入上式得.....3分 因此 .且 ..............................................5分 所以 是首项为 ,公差为 的等差数列........................................6分(2) 由 ( 1 ) 知 , 所 以..........................8分0243aaa ≥ ≤ −a122 11 −+=++nnn aa 111 2)1(21++ +−=−nnn aa12 +n 1212111 +−=−++nnnn aa11 +=+ nn bb11 =−+ nn bb 12111 =−= ab{ }nb 1 1nnnab21−=111 21+++−=nnnab122 11 −+=++nnn aa1212122222111 +−=−+=−+= +++ nnnnnnnnnaaab11 =−+ nn bb 12111 =−= ab{ }nb 1 1nb n=1, 2 12nnn nnab n a n−= = = ⋅ +- 12 - 则 .......................................9分令 ...........................①.........................②① - ② 得 :...................................10分即.......................................................11分所 以.................................................12分【说明】在求 时,也可以用 ,采用累加法求和.其中 .22【解析】22. (I)当 时, , ..........................................1分 即切线方程为 ..........................2分(II)方法一由 , ..............................................3分,,即 在 上单调递增;,,即 在 上单调递减;2 31 2 2 2 3 2 2nnS n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +2 31 2 2 2 3 2 2nnT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2nnT n+= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅2 3 12 2 2 2 2n nnT n+− = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅1 12(2 1) 2 (1 n)2 2n n nnT n+ +− = − − ⋅ = − −1(n 1)2 2nnT+= − +1(n 1)2 2nnS n+= − + +nT 1 2nn nc c n+ − = ⋅ (n 2)2nnc = −2m =2'( ) 2f xx= −'(1) 0k f= = 2y = −2'( ) 2 ( 0)m m xf x xx x−= − = '( ) 02mf x x= =令 ,可得02mx 当 时 '( ) 0f x ( )f x (0, )2m2mx 当 时 '( ) 0f x ( )f x ( )2m + ∞,- 13 -则 ,..........................................5分依题意: ,所以, .........................6分方法二依题意: ,....................................................3分则 ,................................................5分依题意: ,所以, .....................................6分(III)当 时,则曲线 上的点 处的切线方程为 ..................7分 设直线 与 相切于点 ,即切线方程为 ...............8分方法一即,max( ) ( ) ln2 2m mf x f m m= = −ln 0, ( 0)2mm m m− ≤ 0 2m e ≤2 ln xm x≥2ln 1 ln( ) '( )x xh x h xx x−= =令 ,则0 , '( ) 0, ( ) (0, )x e h x h x e 当 时 即 在 单调递增;, '( ) 0, ( ) ( , )x e h x h x e +∞当 时 即 在 单调递减;max1( ) ( )h x h ee= =2 1m e≥ 0 2m e ≤1m =1 1 2'( ) 2xf xx x−= − =( )y f x= 0 0 0( , )( 0)x y x 0 00 0 0 00 01 2 1 2(ln 2 ) ( ) ln 1x xy x x x x y x xx x− −− − = − = + −即l 2y x= 21 1( , )x x21 12y x x x= −201 200 0 0 0 0020 11 22 1 21 ln 4 ln 4 1 02ln 1xx xx x x x xxx x− =  − − = − + =    − = −即 即2( ) 4 ln 4 1, '( ) 8 ln 4 4, ''( ) 8ln 12g x x x x g x x x x g x x= − + = + − = +令 则32''( ) 0,g x x e−= =令 得- 14 - ......................................9分,,所以, , ,, ..............................................10分 ............................11分 即 有两个实根,即满足条件的 有两个 .............12分方法二即,..................................9分......................................................3 32 2'( )g x− −∞即 在( 0, e )单调递减,在( e , + )单调递减增3 32 2min'( ) '( ) 8 4 0g x g e e− −= = − − 即32(0, ) 8ln 12 0, '( ) (8ln 12) 4 4x e x g x x x−∈ + + − −当 时, 即1 '( ) 0x g x= =当 时,(0,1) '( ) 0x g x∈ 当 时, (1, ) '( ) 0x g x∈ +∞ 当 时,( ) 1g x ∞即 在( 0, 1)单调递减,在( , + )单调递减增min( ) (1) 3 0g x g= = − 即4 2 2 222 4 2 4 41 8 4 4 8 ( 4) 8( ) 1 0, ( ) 4 4 1 0e e e eg g e e ee e e e e− − − − −= − + = = = − + 又因为 且21( ) 0 1g xe= 在( , 1)和( , e)上各有1个零点,( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1)和( , + )上各有1个零点,20 0 04 ln 4 1 0x x x− + = 0x201 00 0 0 20 0 020 11 22 1 2 1 11 ln ln + 02 4ln 1xx xx x xx x xx x− =  − − = − =    − = −即 即22 3 2 31 1 1 1 1 2 2 1( ) ln , '( )4 2 2x xg x x g xx x x x x x+ −= + − = − + =令 则1 3 1 3'( ) 0, ( )2 2g x x− + − −= =令 得 或 舍1 3 1 3( )2 2g x− + − + ∞即 在( 0, )单调递减,在( , + )单调递减增min1 3( ) ( ) 02g x g− += 即- 15 -......................10分...................................................11分 ................................12分21( ) 0, ( ) 0g g ee 又因为 且21 1 3 1 3( ) 02 2g xe− + − += 在( , )和( , e)上各有1个零点,( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1)和( , + )上各有1个零点,0 020 01 1ln 04x xx x+ − =即 有两个实根,即满足条件的 有2个.

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