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- 1 -福建省福清西山学校高中部 2020 届高三(文)数学上学期期中试题(含答案) 一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计 60 分)1. 已知 为集合 的非空真子集,且 不相等,若 ,则( ) 2. 已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限,则实数 的取值范围是 3. 已知命题 ,则 4. 函数 的递增区间为( ) 5. 在等差数列 中, ,则该数列的前 项和 等于( ) 6. 已知 是第二象限的角, ,则 等于( ) NM , I NM , φ=)( MCN I =NM MA. NB. IC. φ.D))(1( iaiz −+= a),1.( +∞A )1,.( −−∞B )1,.(−∞C )1,1.(−Dxxxp cossin),4,0(: ∈∀ πxxxpA cossin),4,0(:. ≤∈∀¬ π 000 cossin),4,0(:. xxxpB ≤∈∃¬ π000 cossin),4,0(:. xxxpC ∈∃¬ π xxxpD cossin),4,0(:. ∈∀¬ πxxxf 4)( 2 −=),2.[ +∞A ),4.[ +∞B ]2,.(−∞C ]4,.(−∞D}{ na 36 =a 11 11S33.A 44.B 55.C 66.Dα21tan −=α αcos- 2 - 7. 函数 的定义域是( ) 8. 将曲线 向右平移 个单位长度后得到曲线 ,若函数的图象关于 轴对称,则 ( ) 9. 设数列 的通项公式 ,若使得 取得最小值, ( ) 10. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列判断错误的是( ) 11. 设数列 满足 若 ,则( ) 12. 已知函数 的两个极值分别为 和 ,若 和 分别在区间 与 内,则 的取值范围是( ) 55.−A51.B552.−C54.D)1(log)( 5.0 −= xxf)2,1.(A ]2,1.(B ]2,1.[C ),1.( +∞D)2||)(2sin(πϕϕ += xy6π)(xfy =)(xf y =ϕ3.πA6.πB3.π−C6.π−D}{ na 1092 −−= nnan nS =n8.A 98. 或B 9.C 109. 或D)0,0)(sin()( πϕϕω += AxAxf2. =AA 2. =ωB 1)0(. =fC65.πϕ =D}{},{ nn ba*1 ,52107,700 Nnbaaba nnnnn ∈+==+ + 4006 =a34. aaA 34. bbB 33. baC 44. baD cbxaxxxf +++= 2213)( 23)( 1xf )( 2xf 1x 2x)1,0( )2,1(12−−ab)1,41.(A ]1,41.[B ),1()41,.( +∞−∞ C ),1[]41,.( +∞−∞ D- 3 -二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计 20 分) 13. 已 知 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 是 , 则________. 14. 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 且 , 若 对 任 意 的 ,当 时,都有 成立,则不等式 的解集为________. 15. 设 是公比不为 的等比数列,其前 项和为 ,若 成等差数列,则________. 16. 若函数 存在唯一的零点 ,且 ,则实数 的取值范围是________. 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,共计 60 分) 17. 数列 中, 为前 项和,且 . 求证: 是等差数列;若 , 是 的前 项和,求 .18. 已知 ,向量 . )(xfy = ))2(,2( fM 4+= xy=+ )2()2( 'ff)(xf R 0)1( =−f)0,(, 21 −∞∈xx 21 xx ≠212211 )()(xxxfxxfx−−0)( xf}{ na 1 n nS 534 ,, aaa =24SS123)( 23 +−= xaxxf 0x 00 x a}{ na nS n )(32*NnnnaS nn ∈+=}{ nannnaaba+==+121,5 nT }{ nb n nTRx ∈ 0,)(),2sin3,2(),1,cos( 2 ≠⋅=−== aOBOAxfaxaOBxaOA- 4 -求当 时, 的单调递增区间;当 时, 的最大值为 ,求 的值 19. 已知数列 的前 项和为 ,且有 (1)求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 项和 . 20. 在 中 , 角 的 对 边 分 别 是 , 点 在 直 线上, (1)求角 的值;(2)若 ,求 的面积.0a )(xf]2,0[π∈x )(xf 5 a}{ na n nS )2(3453,2 111 ≥+−== −− nSaaSa nnnn}{ nann anb ⋅= }{ nb n nTABC∆ CBA ,, cba ,, ),( ba0sin)sin(sin =+− ByBAxC018)(622 =++−+ baba ABC∆- 5 - 21. 已知函数 讨论函数 的极值;若关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 四.选做题(10 分)请考生用 2B铅笔将所选题目对应题号涂黑,答题区域只允许选择一题,如果多做,则按所选做的前一题计分。四. 22. 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 ,将直线 绕极点 逆时针旋转 个单位得到直线 .求 和 的极坐标方程;设直线 和曲线 交于 两点,直线 和曲线 交于 两点,求 的最)(21)( Raeaxxfx∈−=)(xfx 112 ≥++xexax ]0,(−∞ axOy C+=+=,sin23cos21θθyxθx 1l )20(πααθ =1l O 3π2lC 2l1l C AO, 2l C BO, |||| OBOA +- 6 -大值. 23. 设函数 ; (1)解不等式 .(2)对任意的实数 ,若 ,求证: .|2|)(|,3|)( −=−= xxgxxf2)()( + xgxfyx, 1)(,1)( ≤≤ ygxf 3|12| ≤+− yx- 7 -福清西山学校高中部 2019—2020学年期中考试数学参考答案(文科)一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计 60 分 ) 1.A【考点】子集与交集、并集运算的转换交、并、补集的混合运算2.D【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义3.B【考点】全称命题与特称命题命题的否定4.B【考点】函数的单调性及单调区间函数单调性的性质5.A【考点】等差数列的前 n项和等差数列的通项公式6.C- 8 -【考点】三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系7.B【考点】函数的定义域及其求法8.D【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换9.D【考点】数列递推式10.D【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式11.C【考点】数列递推式12.A【考点】函数在某点取得极值的条件,简单线性规划二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计 20 分 ) 13. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算14. 【考点】奇偶性与单调性的综合15. 【考点】等比数列的前 n项和,等比数列的通项公式16. 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题,由函数零点求参数的取值范围三、 解答题 (本题共计 7 小题 ,共计 80 分 ) 17. 证明:因为 ,所以 ,…………………………………………………………2分所以 ,…………………………………………………………………3分即 ,所以 ,………………………………………………………………………4分所以 ,- 9 -整理得 ,即 ,所以 是等差数列.…………………………………………………………………………6分解:由 ,得 ,即 ,……………………………………………………………………8分由 ,得 ,所以 ,……………………………………………………………9分所以,…………………………………………………………………………………10分所以 .……12分【考点】数列的求和,等差关系的确定18.【答案】解: ,………………………3分当 时,即 时, 为增函数,………………………………………………5分即 的增区间为 .…………………………………………………………6分,当 时, ,……………………………………8分若 ,当 时, 最大值为 ,则 ;……………………………………10分若 ,当 时, 最大值为 ,则 .……………………………………12分- 10 -【考点】,三角函数的最值,三角函数的恒等变换及化简求值,向量数乘的运算及其几何意义,函数的单调性及单调区间19.【答案】解:(1)∵ ,∴ ,…………………………………………………………2分∴ ,………………………………………………………………………3分又∵ ,……………………………………………………………………4分∴ 是以 为首项, 为公比的等比数列,…………………………………………………5分∴ .……………………………………………………………………6分(2)由(1)中∴ ,……………………………………………………………………7分,.………………………………………8分两式相减得: ,∴ ,……………………………………10分∴ .……………………………………………………………………12分【考点】数列的求和,等比关系的确定20.【答案】解:(1)∵ 点 在直线 上,∴ ,…………………………………………………………2分由正弦定理 ,……………………………………………………………………3分得 ,即 .……………………………………………………4分- 11 -由余弦定理得 ,……………………………………………………5分又∵ ,∴ .……………………………………………………6分(2)∵ ,……………………………………………………8分∴ ,解得 .……………………………………………………10分所以 的面积 .………………………………………………12分【考点】余弦定理的应用,正弦定理的应用21.【答案】解: 由题得, 的定义域为 ,.……………………………………………………1分当 时, 在 上单调递增,故 无极值;……………………………………………………2分当 时,令 ,得 ,令 ,得 ,……………………………………………………3分故 在 时取得极大值,且极大值为 .……………………………………………………4分综上所述,当 时, 无极值;当 时, 的极大值为 ,无极小值.……………………………………………………5分(2) 由题得, ,设 ,- 12 -则,……………………………………………………6分当 时, 在 上单调递增,∴ 在 上单调递增.当 时,由 知, 在 上单调递增,即当 时, 在 上单调递增.∵ ,从而当 时, ,∴ 在 上单调递减,………………………………………………8分又∵ ,从而当 时, ,即 .当 时, ,由 知,当 时,在 上单调递减,……………………………………………………9分∵ ,∴ 当 时, ,∴ 在 上单调递增,………………………………………………10分又∵ ,从而当 时, ,即- 13 -于是当 时,,不合题意.综上所述,实数 的取值范围为 …………………………………………………12分【考点】利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数研究函数的极值22.【答案】解: 将 的参数方程化为普通方程得 ,将 代入,……………………………………………………2分并化简得 的极坐标方程为 ,……………………………………………………4分的极坐标方程为 .……………………………………………………5分依题意可得 ,即 ,,即 ,……………………………………………………7分,因为 ,所以 ,……………………………………………………8分当 ,即 时,取得最大值 .……………………………………………………10分【考点】圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,直线的极坐标方程,求两角和与差的正弦,两角和与差的余弦公式23.【答案】- 14 -当 时,原不等式可化为 ,可得 ,所以当 时,原不等式可化为 ,恒成立,所以当 时,原不等式可化为 ,可得 ,所以 …………………………4分综上,不等式的解集为 ……………………………………………………6分证明: ……………………………10分【考点】绝对值不等式的解法与证明,不等式的证明

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