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福建省罗源第一中学2021届高三数学10月月考试题(含答案)

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时间:2020-10-27

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1福建省罗源第一中学 2021 届高三数学 10 月月考试题(含答案)一、单选题(每小题 5 分)1.复数 ( 为虚数单位)的虚部是( )A. -1 B. 1 C. D. 2. 是 的( )条件.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A.-π6 B.-π3 C.π6 D.π34.函数 的图象大致为( ) 5.已知 a0且 a≠1,函数 f(x)={ax,x ≥ 1ax+a-2,x 1在 R 上单调递增,那么实数 a的取值范围是(  )A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]6.已知△ABC中,AB=2,B=π4,C=π6,点 P是边 BC的中点,则AP→ ·BC→ 等于(  )A.1 B.2 C.3 D.47.若函数 f(x)=sin(ωx-π6 )(ω0)在[0,π]上的值域为[-12,1],则ω的最小值为(  )A.23 B.34 C.43 D.328.在 中,已知点 P在线段 BC上,点 Q是 AC的中点, , ,则的最小值为( )11ii−+ii− iα β≠ cos cosα β≠1ln sin1xy xx+= ⋅−ABC∆ AQyABxAP += 0,0 yxyx11 +2 A. B.4 C. D. 二、多选题(每小题 5 分,部分选对得 3 分)9.在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,则下列结论中正确的是( )A.若 ,则B.若 ,则 是等腰三角形C.若 ,则 是直角三角形D.若 ,则 是锐角三角形10.设点 是 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若 ,则点 是边 的中点B. 若,则点 在边 的延长线上C.若 ,则点 是 的重心D.若 ,且 ,则 的面积是的 面积的11.要得到函数 的图像,只需将函数 的图像上所有的点( )A.先向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的 (纵坐标不变)B.先向左平移个 单位长度,再将横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)C.横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度D.横坐标伸长到原来的 (纵坐标不变),再向右平移 个单位长度12.设函数 f(x)=sin(ωx+π5 )(ω>0),已知 f(x)在[0,2π]有且仅有 5个零点.下述四个结论:A.f(x)在(0,2π)上有且仅有 3个极大值点 B.f(x)在(0,2π)上有且仅有 2个极小值点C.f(x)在(0,π10)上单调递增 D.ω的取值范围是[125,2910)其中所有正确结论是(  )三、填空题(每小题 5 分)23223 + 223 +ABCV A B C a b ca b sin sinA Bsin 2 sin 2A B= ABCVcos cosa B b A c− = ABCV2 2 2 0a b c+ − ABCVM ABCV1 12 2AM AB AC= +  M BC2AM AB AC= −  M BCAM BM CM= − −  M ABCVAM xAB y AC= +   12x y+ = MBC△ ABCV12xy cos= )32sin(π+= xy6π2112π6π213π313.若 满足约束条件 ,则 的最小值为_________.14.已知平面向量 a,b 满足 a=(1, 3),|b|=3,a⊥(a-b),则 a 与 b 夹角的余弦值为________.15.已知函数 f(x)={e-x,x ≤ 0-x2-2x+1,x 0,若 f(a-1) f(-a2+1),则实数 a的取值范围是_____16.在面积为 2的 中, , 分别是 , 的中点,点 在直线 上,则的最小值是______.四、解答题(第 17 题 10 分,第 18——22 题每题 12 分)17.化简下列各式并求值:(1) ;(2)已知 ,求 的值.18.已知函数 的部分图象如图所示.(1)求 , 和 的值;(2)求函数 在 上的单调递减区间;19.△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知acos Csin B=bsin B+ccos C.(1)求角 B的大小;(2)若 b= 2,求△ABC的面积的最大值.,x y02 62x yx yx y− ≥ + ≤ + ≥ 3x y+≥ABCV E F AB AC P EF2BCPBPC +•133 12(lg50 lg5) 82log 9 log 4− ×+tan 2x =2cos cos( )23sin2x xxπ ππ + + −   +  ( ) Asin( )( 0, 0,| | )2f x x Aπω ϕ ω ϕ= + A ω ϕ( )y f x= [ ]1,2420.如图,已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 asin A+(c-a)sin C=bsin B,点 D是 AC的中点,DE⊥AC,交 AB于点 E,且 BC=2,DE=62.(1)求 B;(2)求△ABC的面积.21.已知二次函数 .(1)求 在点 处的切线方程;(2)讨论函数 的单调性。22.已知向量 ,向量 ,函数 .(1)求函数 在区间 上的最大值和最小值以及取得最值时 x的值;(2)求证:存在大于 的正实数 ,使得不等式 在区间 有解.(其中 为自然对数的底数)2( ) 2f x x x= +)(xf ))1(,1( f( ) ( ) ln( 1)g x f x a x= + +( )2sin , 3 cosa x x= ( )cos ,2cosb x x= ( ) 3f x a b= ⋅ −( )f x 0,2π   3π0x( )2 3lnf xx ( )0 ,x e e5参考答案1、B2、B3、D4、A5、D.6、B.7.A.8、C9、AC10.ACD11、BC12.ACD13.14.2315.[-2,1] .16、17、【详解】(1) .(2)∵ ,又 ,∴原式 .18.【详解】(1)由题可得 , ,则 ,当 时, 取得最大值,则 ,所以 ,2−2 3133 12(lg50 lg5) 8 (lg10) 212log 9 log 4 4 2− × ×= =+ −2cos cos( )2sin cos22 tan 13 cossin2x xx xxxxπ ππ + + −  − −  = = +− +  tan 2x = 2 2 1 5= × + =1A =4 12( ) 23 3T = − = 2Tπω π= =56x = ( )f x 5 2 ( )6 2k k Zππ ϕ π+ = + ∈2 ( )3k k Zπϕ π= − + ∈6又因为 ,故 ;(2)由(1)可知 ,令 , ,则 , ,故 的单调递减区间为 , ,则 在 , 上的单调递减区间为 , ;19.解:(1)利用正弦定理,得sin Acos Csin B=cos C+sin Ccos C,即sin(B+C)sin B=cos C+sin C,则 sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Bsin C,又 sin C≠0,所以 tan B=1,又 0<B<π,∴B=π4.(2)△ABC的面积 S=12acsin B=24ac,所以当 ac最大时,S最大.由已知及余弦定理,得 2=a2+c2-2accosπ4=a2+c2- 2ac≥2ac- 2ac,所以 ac≤22- 2=2+ 2,当且仅当 a=c 时取等号,所以△ABC 的面积的最大值为24×(2+2)=2+12.20.解:(1)∵asin A+(c-a)sin C=bsin B,∴a2+(c-a)·c=b2,即 a2+c2-b2=ac,∵cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,0Bπ,∴B=60°.(2)连接 EC(图略),D是 AC的中点,又 DE⊥AC,∴AE=CE=DEsin A=62sin A,∠A=∠ECD,∠BEC=2∠A,在△BCE中,ECsin B=BCsin∠BEC,即62sin A·sin B=2sin 2A,即化简整理得:cos A=22,∵0Aπ,∴A=45°,∠BEC=2∠A=90°,即 CE⊥AB,AB=AE+BE= 3+1.∴S△ABC=12AB·CE=12( 3+1)· 3=3+ 32.21试题解析:(1)(2)| |2ϕ π3πϕ = −( ) s in ( )3f x xππ= −32 22 3 2k x kπ π ππ π π+ − +„ „ k Z∈5 112 26 6k x k+ +„ „ k Z∈( )f x5[ 26k+ 11 2 ]( )6k k Z+ ∈( )f x [1 2] [111]6014 =−− yx( ) ( )2 2 ln 1 ( 1)g x x x a x x= + + + −7当 时, 在 上恒正;所以, 在 上单调递增当 时,由 得 ,所以当 时, 单调递减当 时, 单调递增.综上所述,当 时, 在 上单调递增;当 时, 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.22、【详解】(1), , , ,因此,函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为 ;(2)存在大于 的正实数 ,使得不等式 在区间 有解,即存在大于 的正实数 ,使得不等式 在区间 有解,( ) ( )22 12 21 1x aag x xx x+ += + + =′+ +0a ≥ ( )g x′ ( )1,− +∞( )g x ( )1,− +∞0a ( ) 0g x′ = 12ax = − + −1, 12ax ∈ − − + −   ( ) ( )0,g x g x′ 1 ,2ax ∈ − + − +∞   ( ) ( )0,g x g x′ 0a ≥ ( )g x ( )1,− +∞0a 1, 12ax ∈ − − + −   ( )g x1 ,2ax ∈ − + − +∞   ( )g x( ) 23 2sin cos 2 3 cos 3 sin 2 3 cos 2 2sin 23f x a b x x x x x xπ = ⋅ − = + − = + = +   0,2xπ ∈   42 ,3 3 3xπ π π ∴ + ∈   3sin 2 ,13 2xπ   ∴ + ∈ −     ( ) 3,2f x  ∴ ∈ − ( )y f x= 0,2π   2 3−3π0x( )2 3lnf xx ( )0 ,x e3π0x sin 2 3 ln3x xπ + =  ( )0 ,x e8令 , ,则当 时,函数 单调递增,函数 单调递增,又 , , ,,函数 与函数 在 有且仅有一个交点,故存在大于 的正实数 ,使得不等式 在区间 有解.( ) sin 23g x xπ = +  ( ) 3 lnh x x=,3x eπ ∈  ( )y g x= ( )y h x=03gπ  =  3 ln 03 3hπ π  =    ( )3sin 23 2g e eπ = +   ( ) 33 ln2h e e= =∴ ( )y g x= ( )y h x= ,3eπ   3π0x( )2 3lnf xx ( )0 ,x e

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