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江苏省泰州中学2020-2021学年高二数学10月月度质量检测试题(含答案)

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1江苏省泰州中学 2020-2021 学年高二数学 10 月月度质量检测试题(含答案)一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列 通项公式为 ,则 ( ) A. 35 B. C. D. 112. 对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”(  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 若抛物线 x2=ay的准线与椭圆 相切,则 a=( ) A. ﹣4或 4 B. 4 C.﹣8或 8 D. 84. 《周髀算经》中一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是 尺,芒种的日影子长为 尺,则冬至的日影子长为:( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺5. 已知等差数列 的首项和公差均不为 0,且满足 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 6. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 交双曲线左支于 两点,则的最小值为( ) A.20 B.21 C.22 D.237.已知点 是椭圆 上的一点, , 分别是椭圆的左、右焦点,点 到原点 的距离为焦距的一半,且 ,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.{ }na ( ) ( )21 1nna n= − − 6a =11− 35−22 14xy+ =37.5 4.515.5 12.5 10.5 9.5{ }na 25 2 7a a a= ⋅ 3 7 112 8 10a a aa a a+ ++ +131412131112132 2116 12x y− = 1 2,F F 1F l ,A B2 2| | | |AF BF+P ( )2 22 21 0x ya ba b+ = 1F 2F PO 1 2PF PF a− =64104322228. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是 ,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为( ) A.1 B.2 C. D.2.5二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过点 的直线与抛物线交于两点 ,,点 在 上的射影为 ,则 ( )A.若 ,则 B.以 为直径的圆与准线 相切C.设 ,则D.过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 2条10. 下列命题正确的是( )A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B. 若等差数列 的公差 ,则 是递增数列C.若 a,b,c成等差数列,则 可能成等差数列D. 若数列 是等差数列,则数列 也是等差数列11. 下列判断中正确的是( )A.在 中,“ ”的充要条件是“ , , 成等差数列”B.“ ”是“sinAsinB”的充要条件 C.“ ”是“ ”的必要不充分条件.D. 命题“ , ”的否定为“ , ”.12. 已知 A、B两点的坐标分别是 ,直线 AP、BP相交于点 P,且两直线的斜率之积为 m,则下列结论正确的是( )A.当 时,点 P的轨迹圆(除去与 x轴的交点)2{ }na 0d { }na1 1 1, ,a b c{ }na { }12 nna a ++ABC∆ 60B = ° A B CA B a b 2 2ac bcx R∀ ∈ 2 1 0x x+ + x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + ≤( 1,0),(1,0)−1m = −3B.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆(除去与 x轴的交点)C.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的抛物线D.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线(除去与 x轴的交点)三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,多空题,第一空 2 分,第二空 3 分,共 20 分.13. 已知命题 p: , , 命题 q: ,使得不等式 成立,若命题 p为真命题,则实数 的最小值为 ; 若命题 p和命题 q有且仅有一个是真命题,则实数 m的取值范围是________.14. 过点(3,-1)且与双曲线 有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.15. 若数列 满足 ,则称数列 为调和数列.已知数列为调和数列, 且 则 ______.16. 已知 , 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆上异于顶点的任意一点,点 是内切圆的圆心,过 作 于 , 为坐标原点,则 的取值范围为________.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在等差数列 中,已知 , ,(1)求出首项 与公差 ,并写出通项公式;(2) 中有多少项属于区间 ?18. 已知命题 p:实数 m满足的方程 表示双曲线,命题 q:实数 m满足的方程x2m-1+y22-m=1表示焦点在 y轴上的椭圆.(1)若命题 p为真命题,求实数 m的取值范围;(2)若 p是 q的充分不必要条件,求 a的取值范围.1 0m− 0 1m 1m x∀ [0, ]4π∈ tan x m≤ [ ]0,3x∃ ∈ 2 2 0x x m− + ≥m22 13xy− ={ }na *11 1 ( , )n nd n N da a+− = ∈ 为常数 { }na1nb   1 2 3 20 300,b b b b+ + + + = 3 7 8b b+ = 16b ={ }na 4 70a = 21 100a = −1a d{ }na [ ]18,18−2 21( 0)3 4x yam a m a+ = − −419. 已知数列{an}中,a1=35,an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn=1an-1(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.20. 已知双曲线 C的离心率为 ,点 在双曲线上,且抛物线 ( )的焦点F与双曲线的一个焦点重合.(1)求双曲线和抛物线的标准方程;(2)过焦点 F作一条直线 l交抛物线于 A,B两点,当直线 l的斜率为 时,求线段 的长度.21. 已知椭圆 的离心率为 ,其右顶点为 ,下顶点为 ,定点, 的面积为 ,过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆 于 两点,直线分别与 轴交于 两点.(1)求椭圆 的方程;(2)试探究 的横坐标的乘积是否为定值,说明理由.22. 已知椭圆 的左右顶点分别为 A和 B,离心率为 ,且点 在椭圆上。(1)求椭圆 方程;的2 33( )2 3,1 2 2y px= 0p 3 AB( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 32A B( )0,2C ABC∆ 3 C y l C ,P Q,BP BQ x ,M NC,M N( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 121,23T   C5(2)过点 M(1,0)作一条斜率不为 0的直线交椭圆于 P,Q两点,连接 AP、BQ,直线 AP与 BQ交于点 N,探求点 N是否在一条定直线上,若在,求出该直线方程;若不在,请说明理由.6江苏省泰州中学 2020-2021 学年第一学年第一学期月度质量检测答案 高二数学试卷 2020.10.06一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列 通项公式为 ,则 ( ) A. 35 B. C. D. 11答案:A2. 对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”(  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C3. 若抛物线 x2=ay的准线与椭圆 相切,则 a=( ) A. ﹣4或 4 B. 4 C.﹣8或 8 D. 8答案:A4. 《周髀算经》中一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是 尺,芒种的日影子长为 尺,则冬至的日影子长为:( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺答案:A5. 已知等差数列 的首项和公差均不为 0,且满足 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 答案:B6. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 交双曲线左支于 两点,则的最小值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23的{ }na ( ) ( )21 1nna n= − − 6a =11− 35−22 14xy+ =37.5 4.515.5 12.5 10.5 9.5{ }na 25 2 7a a a= ⋅ 3 7 112 8 10a a aa a a+ ++ +131412131112132 2116 12x y− = 1 2,F F 1F l ,A B2 2| | | |AF BF+7答案:C7.已知点 是椭圆 上的一点, , 分别是椭圆的左、右焦点,点 到原点 的距离为焦距的一半,且 ,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.答案:B因为 是椭圆上一点, , 分别为左、右焦点,则 ,而 ,则, .又因为点 到原点 的距离为焦距的一半,即 ,故三角形 为直角三角形,则 ,即 ,解得 ,所以 .8. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是 ,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为( ) A.1 B.2 C. D.2.5答案:A清洁钢球能擦净凹槽的最底部时,轴截面如下图所示,圆心在双曲线的对称轴上,并与双曲线的顶点相交,设半径为 ,圆心为 ,圆方程为: 代入双曲线方程 ,得 ,要使清洁球到达底部, .P ( )2 22 21 0x ya ba b+ = 1F 2F PO 1 2PF PF a− =641043222P 1F 2F 1 2 2PF PF a+ = 1 2PF PF a− =132PF a= 212PF a=P O 1 2PO OF OF= = 1 2PF F2 2 21 2 1 2PF PF F F+ = ( )2 223 122 2a a c   + =      2258ca= 104e =28 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过点 的直线与抛物线交于两点 ,,点 在 上的射影为 ,则 ( )A.若 ,则 B.以 为直径的圆与准线 相切C.设 ,则D.过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 2条答案:ABC10. 下列命题正确的是( )A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B. 若等差数列 的公差 ,则 是递增数列C.若 a,b,c成等差数列,则 可能成等差数列D. 若数列 是等差数列,则数列 也是等差数列答案:BCD11. 下列判断中正确的是( )A.在 中,“ ”的充要条件是“ , , 成等差数列”B.“ ”是“sinAsinB”的充要条件 C.“ ”是“ ”的必要不充分条件.D. 命题“ , ”的否定为“ , ”.答案:AC{ }na 0d { }na1 1 1, ,a b c{ }na { }12 nna a ++ABC∆ 60B = ° A B CA B a b 2 2ac bcx R∀ ∈ 2 1 0x x+ + x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + ≤912. 已知 A、B两点的坐标分别是 ,直线 AP、BP相交于点 P,且两直线的斜率之积为 m,则下列结论正确的是( )A.当 时,点 P的轨迹圆(除去与 x轴的交点)B.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆(除去与 x轴的交点)C.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的抛物线D.当 时,点 P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线(除去与 x轴的交点)答案:ABD三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,多空题,第一空 2 分,第二空 3 分,共 20 分.13. 已知命题 p: , , 命题 q: ,使得不等式 成立,若命题 p为真命题,则实数 的最小值为 ; 若命题 p和命题 q有且仅有一个是真命题,则实数 m的取值范围是________.答案:1; 14. 过点(3,-1)且与双曲线 有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.答案:15. 若数列 满足 ,则称数列 为调和数列.已知数列为调和数列, 且 则 ______.答案:2616. 已知 , 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆上异于顶点的任意一点,点 是内切圆的圆心,过 作 于 , 为坐标原点,则 的取值范围为________.答案:(0, )四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在等差数列 中,已知 , ,(1)求出首项 与公差 ,并写出通项公式;( 1,0),(1,0)−1m = −1 0m− 0 1m 1m x∀ [0, ]4π∈ tan x m≤ [ ]0,3x∃ ∈ 2 2 0x x m− + ≥m3 1m− ≤ 22 13xy− =2 216 2x y− ={ }na *11 1 ( , )n nd n N da a+− = ∈ 为常数 { }na1nb   1 2 3 20 300,b b b b+ + + + = 3 7 8b b+ = 16b =3{ }na 4 70a = 21 100a = −1a d10(2) 中有多少项属于区间 ?解:设等差数列 的公差为 d,由 , ,得,解得(2)由 ,得 ,共三项。18. 已知命题 p:实数 m满足的方程 表示双曲线,命题 q:实数 m满足的方程x2m-1+y22-m=1表示焦点在 y轴上的椭圆.(1)若命题 p为真命题,求实数 m的取值范围;(2)若 p是 q的充分不必要条件,求 a的取值范围.解:(1)若命题 为真,即方程 表示双曲线,所以 ,解得 ,即 .(2)若命题 为真,即x2m-1+y22-m=1表示的焦点在 y轴上的椭圆成立,解得 ,记 B= .由(1)知,记 A=因为 是 的充分不必要条件,所以 ,故 或 ,解得 .所以实数 的取值范围为 .19. 已知数列{an}中,a1=35,an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn=1an-1(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;{ }na [ ]18,18−{ }na 4 70a = 21 100a = −4 121 13 7020 100a a da a d= + = = + =1 100, 10a d= = −1 ( 1) 100 ( 1)( 10) 10 110na a n d n n∴ = + − = + − − = − +18 10 100 18n− ≤ − + ≤ 9.2 12.8n≤ ≤* 10,11,12,n N n∈ ∴ =2 21( 0)3 4x yam a m a+ = − −p2 21( 0)3 4x yam a m a+ = − −( )( )3 4 0m a m a− − 3 4a m a ( )3 ,4m a a∈q312m 3(1, )2( )3 ,4a ap q A BÜ33421aa ≥ 33421aa  ≤1 33 8a≤ ≤a 1 33 8a≤ ≤11(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.解:(1)证明:因为 bn=1an-1(n∈N*),an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),所以又 ,所以数列{bn}是等差数列。(2)由(1)得, ,所以 .当 数列{an}单调递减;当 数列{an}单调递减.又 ,当 时, .所以,数列{an}的最大项 ,最小项 .20. 已知双曲线 C的离心率为 ,点 在双曲线上,且抛物线 ( )的焦点F与双曲线的一个焦点重合.(1)求双曲线和抛物线的标准方程;(2)过焦点 F作一条直线 l交抛物线于 A,B两点,当直线 l的斜率为 时,求线段 的长度.解:(1)设双曲线的方程为 ( , ),由题设所以 ①,又点 在双曲线上,所以 ②由①②解得 , ,故双曲线标准方程为 ;设双曲线的焦距为 ,因为 ,得 ,所以抛物线焦点为 ,11111 11 11 1 11 12 1n nn nnnb ba aaa−−−−− = −− −= − =−− −111 51 2ba= = −−1 5 2 7( 1)1 2 2n nnb na−= = − + − =−212 7nan= +−*4, ,n n N≥ ∈ *3, ,n n N≤ ∈1 3 43, 1, 35a a a= = − = 4n ≥ 1na 4 3a = 3 1a = −2 33( )2 3,1 2 2y px= 0p 3 AB2 22 21x ya b− = 0a 0b 2 33ca=33ba= ( )2 3,1 2 212 1 1a b− =2 9a = 2 3b =2 219 3x y− =2c 2 2 2 12c a b= + = 2 3c = ( )2 3,0F12即 ,所以抛物线的标准方程为 .(2)设直线 交抛物线于 , ,联立 得 即 ,故由抛物线定义知 , ,所以21. 已知椭圆 的离心率为 ,其右顶点为 ,下顶点为 ,定点, 的面积为 ,过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆 于 两点,直线分别与 轴交于 两点.(1)求椭圆 的方程;(2)试探究 的横坐标的乘积是否为定值,说明理由.解:(1)由已知, 的坐标分别是 由于的面积为 ,,又由 得 ,解得: ,或 (舍去),椭圆方程为 ;(2)设直线 的方程为 , 的坐标分别为.2 3 4 32pp= ⇒ = 2 8 3y x=( )3 2 3y x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y( )23 2 38 3y xy x = − =23 20 3 36 0x x− + = ( )( )3 2 3 18 0x x− − =1 220 33x x+ =1 2pAF x= + 2 2pBF x= +1 220 3 32 34 33 3AB x x p= + + = + =( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 32A B( )0,2C ABC∆ 3 C y l C ,P Q,BP BQ x ,M NC,M N,A B ( ) ( ),0 , 0,A a B b−ABC∆ 31(2 ) 32b a∴ + = 32e = 2a b==1b = 3b −2, =1a b∴ =∴22 14xy+ =PQ 2y kx= + ,P Q ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y13则直线 的方程为 ,令 ,得点 的横坐标直线 的方程为 ,令 ,得点 的横坐标把直线 代入椭圆 得由韦达定理得 ,∴ ,是定值.22. 已知椭圆 的左右顶点分别为 A和 B,离心率为 ,且点 在椭圆上。(1)求椭圆 方程;(2)过点 M(1,0)作一条斜率不为 0的直线交椭圆于 P,Q两点,连接 AP、BQ,直线 AP与 BQ交于点 N,探求点 N是否在一条定直线上,若在,求出该直线方程;若不在,请说明理由.解:(1)由题设, , ,且所以 , 椭圆方程为 ;(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设直线 的方程为 ,联立方程组 ,得 ,因为 ,设 ,所以 ,的BP1111yy xx+= − 0y = M 11 1Mxxy=+BQ 2211yy xx+= − 0y = N 22 1Nxxy=+1 21 2( 1)( 1)M Nx xx xy y∴ ⋅ =+ +1 21 2( 3)( 3)x xkx kx=+ +1 221 2 1 23 ( ) 9x xk x x k x x=+ + +2y kx= +22 14xy+ = 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx+ + + =1 2 2121 4x xk=+ 1 2 2161 4kx xk+ = −+22 22 2121 412 4891 4 1 4M Nkx xk kk k+= =− ++ +2 2 212 412 48 9 36 3k k k=− + +( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 121,23T   C12ca=2 21 914a b+ = 2 2 2a b c= +2 24, 3a b= = ∴2 214 3x y+ =PQ 1x my= +2 214 31x yx my+ = = +2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − =0∆ ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 22 26 9,3 4 3 4my y y ym m− −+ = =+ +14设直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,则,即 ,而 ,∴ ,∴x=4,即直线 与直线 的交点在直线 x=4上。AP11( 2)2yy xx= ++BQ 22( 2)2yy xx= −−1 21 2( 2) ( 2)2 2y yx xx x+ = −+ −2 1 2 11 2 1 2( 2) ( 3)22 ( 2) ( 1)y x y myxx y x y my+ ++ = =− − − 1 2 1 23( )2my y y y= +1 21 23 92 2 2 31 322 2y yxx y y++ = =− +AP BQ

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