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广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

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时间:2020-10-21

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广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题第一部分选择题(共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知且则的值是  A. B. C. D.12.已知圆与直线相切,直线始终平分圆的面积,则圆方程为  A. B. C. D.3. 在中.角、、所对的边分别为、、.如果.则的形状是  A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形[来源:学科网]4.设, 则的大小关系是: A. B. C. D. 5. 设函数且,则  A.2 B.3 C.2或3 D.36.已知两个圆和,它们的半径分别是2和4,且,若动圆与圆内切,又与外切,则动圆圆心的轨迹方程是  A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线7.已知双曲线:,斜率为1的直线与双曲线交于两点,若线段的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是( )A. B. C. D. 8. 在中,角,,所对应的边分别为,,.已知,,,则  A.15 B. C.3 D.9. 已知函数,,为常数,,的部分图象如图所示,则  A. B. C. D. 10. 方程有三个不同的解,则的取值范围是  A. B. C. D.11.直线 经过椭圆的左焦点,交椭圆于,两点,交轴于点,若,则该椭圆的离心率是  A. B. C. D.[来源:学科网ZXXK]12.已知函数,,函数的最小值,则实数的最小值是  A. B. C.0 D.第二部分非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线、直线与曲线 围成的图形的面积为   .14.直线 与抛物线相交于A, B两点,O为原点,则三角形AOB面积为   .15. 已知中,角、B、C对应边分别为 ,且 ,则 面积最大值为    .16. 曲线C: 与直线有4个交点,则 的取值范围是   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)的内角,,的对边分别为,,,若.(1)求;(2)若,,求的面积.18.(12分)已知曲线为参数),曲线为参数).(1)若,求曲线的普通方程,并说明它表示什么曲线;(2)曲线和曲线的交点记为、,求 的最小值.19. (12分)已知函数(1)当时,解不等式;(2)若的最小值为1,求的最小值.20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别是 离心率,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)如图,分别过作两条互相垂直的弦与,求的最小值.21.(12分)如图,已知抛物线的焦点到直线的距离为 是过抛物线焦点的动弦,是坐标原点,过两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于点. (1)求证:.(2)若动弦不经过点,直线与准线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得在弦运动时恒成立?若存在,求的值;若不存在,说明理由.22. (12分)已知函数(其中是自然对数的底数).(1)当时,求证:;[来源:学科网ZXXK](2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.2019-2020 学年上学期高三级期中考理科数学答案 命题 、审题人:禤铭东 、 吴统胜 2019年11月一、选择题: 题号123456789101112答案ADCACCDBDBAC二、填空题: 13. 1 ; 14. ; 15. ; 16. .三、解答题: 17. 解:(1), 所以, …………………………………………………(3分)[来源:学.科.网](2)因为,所以, 所以.………………………(5分)又,由正弦定理,.……………………………………………(6分)根据余弦定理,得,,………………………………………………………………………(8分)所以的面积为.…………………………………………(10分)18. 解:(1)为参数),曲线的普通方程是…………………………………(2分)它表示过,倾斜角为的直线………………………………………………(4分)(2)曲线的普通方程为……………………………………………(6分)设,过作,此时最小…………………………………(8分)以下证明此时最小,过作直线,与不重合在△中,…………………………………(10分)此时,…………………………………………………………(12分)19 解:(1)当当时………………………………(1分)当时,不等式化为,, ;……………(2分)当时,不等式化为, 明显成立;………………………(3分)当时,不等式化为, ;………………(5分)综上所述,不等式的解集为;……………………………………………………(6分)(2)当且仅当时取等号…………………………(8分)…(11分)当且仅当,即时,的最小值为27. …………………(12分)20. 解:(1)由已知……(1分)将点代入得椭圆E方程为:. ………………………………………………………(3分)(2) 解法一:由已知,①当轴或在轴上时,…………………………(4分)②当直线斜率存在且不为0时,设直线方程为:联立得:………………………(5分)设则………………(6分)…………(7分),由椭圆对称性,以代换上式中的得:………………………………………………………(8分)思路一:…(10分)当且仅当即时,取“=”…………………………………(11分)而,有最小值………………………………………………(12分)思路二:设则…………(10分)当且仅当即时,有最小值.…………………(11分)而,有最小值………………………………………………(12分)解法二:由已知,设直线………………………………………………(4分)联立得:………………………………(5分)设则………………(6分)………(7分),由椭圆对称性,以代换上式中的得:………………………………………………………(8分)思路一…(10分)当且仅当即时,取“=”…………………………………(11分)有最小值……………………………………………………………(12分)[来源:学科网]思路二:设则…………(10分)当且仅当即时,有最小值.…………………………(11分)有最小值……………………………………………………………(12分)21. 解:(1)由已知故抛物线方程为………………(1分)依题意,设直线方程为联立得:……………………………………………………(2分)设……………………………………(3分)…………………………………………………………………………………(5分)(2)将代入得……………………………………………(6分)…………(9分)……………………………(10分)……………………………………………………………………(11分)若有成立,则有解得故存在成立………………………………………………(12分)21. 解:(1)当时,…………………………(1分)在上单调递减,又………(2分)故存在唯一零点……………………………………………………(3分)且在上单调递增,在上单调递减,.………………………………………………………………………………(5分)(2)…………………………………(6分)当时,;当时,若有两个零点,则在上有唯一极大值点,且(7分)由得,………………………………(8分)…………………………………………(9分)设在上单调递增,且………………………………………………………(11分)故由可得,在上单调递增的取值范围为.……………………………………………………………(12分)

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