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河南省洛阳市2021届高三数学(理)上学期期中试卷(Word版附答案)

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时间:2020-10-09

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资料简介

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洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试数学试卷(理)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第n卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题,共60分)注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束,将答题卡交回.一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1.若复数则|A. 1 B. C. D. 2 2.已知集合 A = { | },B = {x| },则 AB = A. (0,1) B. (0,3) C. (1,3) D. (3,+}3. 已知向量均为非零向量,且| | =丨 | = | 一 |,则与的夹角为A. B. C. D.4. 执行如图所示的算法,若输出的结果y 2,则输人的x满足A. x 4B. x 1C. x 或 x 4D. - 1 x 45. 已知等差数列{}的前n项和为, = ,则 =A. 2 B. 3 C.D.6. 7. 已知四个命题: ; 以下命题中假命题是A. V B. V C. V D. V 7. 若a,b,c 满足 = 4, = 3,c = ,则A. b < a < c B. b < c < a C. a < b < c D. a < c < b8. 函数的图象大致为 , 9. 已知F1F2是双曲线C:= 1的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,则△ABF2的内切圆的半径为A. B. C. D.10. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA丄平面ABC,AB =, BC = 1,PA = AC = 2,则球O的表面积为A.2 B. 8 C.D.11. 已知函数= Sin( >0, | |12. 如图,△ABC为等边三角形,D,E, F分别为AB,AC,BC的中点,AFDE = G,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点A'的位置,下列命题中,错误的是A. 动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上B. 恒有平面A'GF丄平面BCDEC 三棱锥A'- EFD的体积有最大值D. 异面直线A'E与BD不可能垂直第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13. 已知下x,y满足不等式组, 则z= 的最大值为_______.14. 已知直线y=2x + 1与曲线切于点(1,3),则 =_____.15. 抛物线C:x2 = 8y的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A, B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则△DAB面积的最大值为________.16. 设a > 2,,有下列结论:①有两个极值点;②有三个零点;③的所有零点之和为0.其中正确的结论是________ .(填序号)三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知等比数列{}的前项和 =.(1) 求r的值,并求出数列的通项公式;(2) 令 ,求数列{}的前 n 项和18. (本小题满分12分)在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,B,c,若= sinC tanA- cosC.(1)求 A;(2)若b= 3,c = 2,点 D 为 BC 中点,求 a 及 AD.19. (本小题满分12分)如图四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为矩形,PA丄底面ABCD.PA =AB =,点E,F分别是棱PB,PC的中点.(1)求证PB丄AF;(2)若AD = 1,求二面角A —EC —D的平面角的余弦值。20.(本小题满分12分)已知椭圆C:十 - 1(a >b>0)人心率为其左,右焦点分别是F1 ,F2,椭圆上的4个点A,B,M,N满足:直线AB过左焦点F1,直线AM过坐标原点O,直线AN的斜率为,且△AB F2的周长为8.(1) 求椭圆C的方程;(2) 求△AMN面积的最大值.21. (本小题满分12分)已知函数 = lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a R).(1) 讨论函数的单调性;(2) 若a=-2,证明:当x>0 时>0.请考生在第22、23题中任选一做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22. (本小题满分10分)选修4 一 4极坐标和参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),曲线的参数方程为为参数).以坐标原点O为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为).(1) 把的参数方程化为极坐标方程;(2) 设分别交,于点P,Q,求△APQ的面积.23. (本小题满分10分)选修4 — 5 :不等式选讲已知函数 M为不等式 当n 时, = = ∵{}是等比数列,∴ = 4 — r ∴ r = 2,∴ = ( ).(2) ∵ ∴ = =1- 18.解:(1)由正弦定理,原式可化为sinC—sinB = sinA(sinCtanA - cosC),即sinC — sin(A + C) = sinA(sinCtanA — cosC),∴sinC — sinAcosC — cosAsinC = sinC—sinAcosC.sinC, + cosA =,即 + A = cosA,cosA =,又0而 BC 丄 AB,PA AB = A, ∴BC 丄平面 PAB,又 PB平面 PAB, ∴ BC丄PB. 连结EF, ∵E,F点分别是棱PB,PC的中点,∴EF 为△PBC 的中位线,∴ EF // BC,∴EF 丄 PB. 又△PAB为等腰直角三角形,E为斜边的中点,∴AE 丄 PB 而EF平面 AEF,AE平面 AEF,EF AE = E,∴PB 丄平面AEF. 又AF平面AEF, ∴PB 丄AF.(2) 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则 D(0,1,0),C(,1,0),B(,0,0),P(0,0, ),∴E(,) ……7 分∴= ( , 1 , 0) , = (,),设平面ACE的法向量为 = (,,则取=-1,则 , 1 , 9 分设平面DCE的法向量为 = (,),而 =(,0,0), = (,). 则 取 = 1,则 = (0,1,). ∴ 11分∴二面角A — EC — D的平面角的余弦值为20. (1)由椭圆的定义知4a = 8. ∴ a = 2. ∵从而 b2 = a2 — c2 = 3. 椭圆C的方程为十 (2)设直线 AN:y=-代入曲线C:十化简得 3x2 — 3tx— 3=0设 A(,),N(,),由△ > 0 得:t2 < 1 + =t • =……6分lAN|= - = • =•点O到直线AN的距离d = ∵直线AM过坐标原点,∴ = (当且仅当 ,即 = 6 时,取“ = ”).∴△AMN面积的最大值为.21. (1) ∵ = lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a R)., ∴ =① 若a 0,则 > 0,在(0, + )上单调递增;① 若a0得0— 2x3 + x,∵可化为∴.记 h(x) = (x> 0),则 h’(x) = 记= ,则=,由=,得 当 (0,ln2)时,< 0,当 (ln2, +)时, > 0,∵函数在(0,ln2)上单调递减,在(ln2, +)上单调递增,∴ = = = 4 – 2ln2 > 0,∴> 0,即 h’(x) > 0,故函数h(x)在(0, +)上单调递增. ∴ h(x)> h(0) == 0,即, > 0,∴ > 0.22. 解:(1)由为参数),消去参数t得,即g的普通方程为.∴,∴的极坐标方程为,,即 = 4cos.(2)设点P,Q的极坐标分别为(),Q(.将代入,得.将代入,得 = 1_所以 I PQ | = |=2 -1.所以点A(0,1)到曲线的距离d = | OA | sin所以 = |PQ|•d = (2 -1 ) • =23. 解:⑴当+,则 +2ab + 1 > +2ab +,则(ab + 1)2 > (a + b)2,即 |a + b|

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