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湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学(理)10月月考试卷(附解析Word版)

数学(理)试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={x|x<1 B={x|> A.      B.  
C.      D.  
【答案】A
【解析】
∵集合

∵集合
∴ ,
故选A
2.已知函数 ,则
A. 是奇函数,且在R上是增函数    B. 是偶函数,且在R上是增函数
C. 是奇函数,且在R上是减函数    D. 是偶函数,且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
分析:讨论函数 的性质,可得答案.
详解:函数 的定义域为 ,且  即函数  是奇函数,
又 在 都是单调递增函数,故函数  在R上是增函数.
故选A.
点睛:本题考查函数的奇偶性单调性,属基础题.
3.若函数 在 上是单调函数,则a的取值范围是(    )
A.      B.  
C.      D.  
【答案】B
【解析】
【分析】
由求导公式和法则求出f′(x),由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论,分别列出不等式进行分离常数,再构造函数后,利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值,可得a的取值范围.
【详解】解:由题意得,f′(x) ,
因为 在[1,+∞)上是单调函数,
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
①当f′(x)≥0时,则 在[1,+∞)上恒成立,
即a ,设g(x) ,
因为x∈[1,+∞),所以 ∈(0,1],
当 1时,g(x)取到最大值是:0,
所以a≥0,
②当f′(x)≤0时,则 在[1,+∞)上恒成立,
即a ,设g(x) ,
因为x∈[1,+∞),所以 ∈(0,1],
当 时,g(x)取到最大值是: ,
所以a ,
综上可得,a 或a≥0,
所以数a的取值范围是(﹣∞, ]∪[0,+∞),
故选:B.
【点睛】本题查求导公式和法则,导数与函数单调性的关系,以及恒成立问题的转化,考查分离常数法,整体思想、分类讨论思想,属于中档题.
4.若将函数 的图象向左平移 个单位,所得的图象关于 轴对称,则 的最小值是(    )
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】
函数 的图象向左平移 个单位,得到  图象关于 轴对称,即 ,解得 ,又 ,当 时, 的最小值为 ,故选B.    
5.已知函数  ,且 ,则 (    )
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
 分析】
当a≤1时,f(a)=2a﹣1﹣2=﹣3,无解;当a>1时,f(a)=﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,由此得到f(5﹣a)=f(5﹣7)=f(﹣2),从而能求出结果.
【详解】解:∵函数f(x) ,f(a)=﹣3,
∴当a≤1时,f(a)=2a﹣1﹣2=﹣3,无解;
当a>1时,f(a)=﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,
∴f(5﹣a)=f(5﹣7)=f(﹣2)= ﹣2 .
故选:C.
【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.若 ,则 (    )
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
 ,所以选C.
7.已知命题 对任意 ,总有 ;
 是 的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是(   )
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】
试题分析:由题设可知: 是真命题, 是假命题;所以, 是假命题, 是真命题;
所以, 是假命题, 是假命题, 是假命题, 是真命题;故选D.
考点:1、指数函数的性质;2、充要条件;3、判断复合命题的真假.


8.若cos( -α)= ,则cos( +2α)的值为(  )
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式求出 的值,再利用诱导公式求出 的值.
【详解】∵cos = ,
∴cos =2  -1=2× -1=- ,
∴cos =cos =-cos = .
故选A.
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题,是基础题.
9.已知向量 ,向量 ,则 的最大值,最小值分别是(    )
A.  ,0    B. 4,     C. 16,0    D. 4,0
【答案】D
【解析】
 分析】
利用向量的坐标运算得到|2 用θ的三角函数表示化简求最值.
【详解】解:向量 ,向量 ,则2 (2cosθ ,2sinθ+1),
所以|2 2=(2cosθ )2+(2sinθ+1)2=8﹣4 cosθ+4sinθ=8﹣8sin( ),
所以|2 2的最大值,最小值分别是:16,0;
所以|2 的最大值,最小值分别是4,0;
故选:D.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简;利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性.
10.已知函数 ,且在 上的最大值为 ,则实数 的值为(    )
A.      B. 1    C.      D. 2
【答案】B
【解析】
由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),
对于任意的x∈[0, ],有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ,不合题意;
当a<0> 又函数在上图象是连续不断的,故函数f(x)在[0, ]上的最大值为f(0)=− ,不合题意;
当a>0时,x∈[0, ],f′(x)>0,从而f(x)在[0, ]单调递增,
又函数在上图象是连续不断的,故函数f(x)在[0, ]上的最大值为f( )= a− =π− ,解得a=1
故选B
点睛:本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题,要进行分类讨论.
11.已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中  ,则函数g(x)=cos(2x-φ)的图象(  )
A. 关于点  对称    B. 关于轴 对称
C. 可由函数f(x)的图象向右平移  个单位得到    D. 可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
【答案】B
【解析】
 分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ,再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,判断各个选项是否正确,从而得出结论.
【详解】函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中 ,
∴y=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,∴3φ= ,φ= ,则函数g(x)=cos(2x﹣φ)=cos(2x﹣ ).
当 时, , ,则函数不关于点 对称,选项A错误;
当 时, ,则函数关于直线 对称,选项B正确;
函数 ,
其图像向右平移 个单位的解析式为 ,
选项C错误;
其图像向左平移 个单位的解析式为 ,
选项D错误;
故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.函数 (A>0,ω>0)的性质:(1)奇偶性:   时,函数 为奇函数;   时,函数 为偶函数.;(2)周期性: 存在周期性,其最小正周期为T= ;(3)单调性:根据y=sint和t= 的单调性来研究,由 得单调增区间;由 得单调减区间;(4)对称性:利用y=sin x的对称中心为 求解,令 ,求得x;利用y=sin x的对称轴为 求解,令 ,得其对称轴.
12.设函数 在R上存在导函数 ,对于任意的实数 ,都有 ,当 时, .若 ,则实数 的取值范围是(   )
A.      B.  
C.      D.  
【答案】A
【解析】
 由 ,所以 ,
设 ,则 ,所以函数 为奇函数,
则 ,故函数 在 上为减函数,在 为增函数,
若 ,则 ,
即 ,所以 ,即 ,故选A.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.“ ”是“ ”的一个__________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写)
【答案】充分不必要
【解析】
 可得 ,则 ,因此“ ”⇒“ ”,且“ ”⇍“ ”,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
14. ________
【答案】
【解析】
因 ,而 , ,应填答案 .
15.若点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值为____________
【答案】
【解析】
解:因为点P是曲线 上任意一点,则点P到直线 的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候,则 ,那么可知两平行线只见到 距离为
16.定义在 上的函数 满足 ,当 时,  ,则函数 在 上的零点个数是______.
【答案】605
【解析】
分析:分析已知条件得出函数 是周期函数,且周期为10,这样只要研究函数在一个周期内的零点个数,就可以得出结论.
详解:由 得 ,∴ ,即 是以10为周期的周期函数.
当 时, ,作出 和  图象,知 在 上有一个零点,另有两个零点2和4,可作出 的草图,从图象上知,在 上 的最大值不大于2,
当 时, ,即此时 无零点,
∴函数 在一个周期内只有3个零点,即 上有 个零点,
当 时,其图象与 的图象是一致的,有2个零点,
所以共有603+2=605个零点.
 
点睛:本题考查函数的零点,考查函数的周期性.实际上本题是求区间 上的零点个数,这个区间长度够大了,因此只有周期性才能得出正确结论,而有了周期性,我们只要研究函数在一期内的性质即可.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17——21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:共60分
17.已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的对称中心;
(Ⅱ)求 在 上的单调区间.
【答案】(1)  (2)  
【解析】
试题分析:(1) ,令 解得x即可(Ⅱ) 求 在 上的单调区间,则令 解得x,对k赋值得结果.
试题解析:
(Ⅰ)
令 ,得 ,
故所求对称中心为
(Ⅱ)令 ,解得
又由于 ,所以
故所求单调区间为 .
点睛:三角函数的大题关键是对f(x)的化简,主要是三角恒等变换的考查,化简成  类型,把wx+  看成整体进行分析.
18. 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ;
(2)若 , 面积为2,求 .
【答案】(1) ;(2)2.
【解析】
试题分析:(1)利用三角形的内角和定理可知 ,再利用诱导公式化简 ,利用降幂公式化简 ,结合 ,求出 ;(2)由(1)可知 ,利用三角形面积公式求出 ,再利用余弦定理即可求出 .
试题解析:(1) ,∴ ,∵ ,
∴ ,∴ ,∴ ;
(2)由(1)可知 ,
∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ .
19.如图,在四棱锥 中,平面 平面ABCD, , , ,点E在BC上, .
 
(1)求证:平面 平面PAC;
(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角 的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面PED⊥平面PAC.
(2)求出平面PAC的一个法向量和平面PCD的一个法向量,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
【详解】证明:(1)∵平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,
∴PA⊥平面ABCD,
∵AB⊥AD,∴以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),设P(0,0,λ),λ>0,
则 (2,4,0), (0,0,﹣2), (2,﹣1,0),
∴ 4﹣4+0=0, 0,
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∵AC∩AP=A,∴DE⊥平面PAC,
∵DE⊂平面PED,∴平面PED⊥平面PAC.
解:(2)由(1)知平面PAC的一个法向量为
 (2,﹣1,0),
∵直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,
 (2,1,﹣λ),
∴|cos |=| | ,
解得λ=±2,
∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2),
设平面PCD的一个法向量为 (x,y,z),
 (2,2,0), (0,﹣2,2),
∴ ,取x=1,得 (1,﹣1,﹣1),
∴cos ,
∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,
∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 .
 
【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
20.已知函数 为自然对数的底数.
(1)当 时,试求 的单调区间;
(2)若函数 在 上有三个不同的极值点,求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为 ,单调减区间为 ;(2)
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用导数的知识求解;(2)依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.
试题解析:
(1)函数的定义域为
 , .当 时,对于
 恒成立,所以,若 ,若 ,所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 .
(2)由条件可知 ,在 上有三个不同的根,即 在 上有两个不同的根,且 ,令 ,则 ,当 单调递增, 单调递减, 的最大值为 ,而 .
考点:导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式 为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数 的单调区间,求解时运用求导法则借助 的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间;第二问则通过构造函数 ,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出 ,使得问题获解.
21.已知函数 .
(1)当函数 在点 处的切线方程为 ,求函数 的解析式;
(2)在(1)的条件下,若 是函数 的零点,且 ,求 的值;
(3)当 时,函数 有两个零点 ,且 ,求证: .
【答案】(1) (2) (3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)先求出 的导函数,再根据 且 可以求得 的值进而得函数 的解析式;(2)先根据导数研究函数 的单调性,再根据零点定理判定出零点 所在区间即可求得 的值;(3)根据 做差先将 表示成关于 的函数 ,然后证明 即可.
试题解析: (1) ,所以 ,
∴函数 的解析式为 ;
(2) ,
因为函数 的定义域为 ,
令 ,
当 时, , 单调递减,
当 时, ,函数 单调递增,
且函数 的定义域为 ,
令 ,
且 时, 单调递减,
当 时, , 单调递增,
且函数 至少有1个零点,而 ,不符合要求,
 ,
∴ ,故 .
(3)当 时,函数 ,
 ,两式相减可得
 .
 ,因为 ,
所以
 
设 ,
∴ ,
所以 在 上为增函数,且 ,
∴ ,又 ,所以 .
考点:1、导数几何意义及零点存在定理;2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式,属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分
22.在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线  的直角坐标方程;
(2)设 为曲线 上一点, 为曲线 上一点,求 的最小值.
【答案】(1)曲线 的普通方程得 ,曲线 的直角坐标方程为 ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)由 消去参数 得,即可得到曲线 的普通方程;利用  ,代入即可求解曲线 的直角坐标方程;
(2)设 ,利用两点间的距离公式求得点 到曲线 的距离为 ,即可求解.
【详解】(1)由 消去参数 得,曲线 的普通方程得 .
将 代入曲线 的极坐标方程为 ,得曲线 的直角坐标方程为 .
(2)设 ,则点 到曲线 的距离为 .
当 时, 有最小值 ,所以 的最小值为
【点睛】本题主要靠考查了参数方程与极坐标方程的互化,其中数据曲线的参数方程和普通方程的互化,以及极坐标与直角坐标的互化公式,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)设关于 的不等式 的解集为 ,且 ,求 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析:(1)当 时,由零点分段法,求不等式 的解集,最后取并集即可;(2)由题设条件可得 在 上恒成立,然后分类讨论去绝对值,即可求得 的取值范围.
试题解析:(1)当 时, , ,即 或 或  .
解得  或  或 ,所以 或 或 .
∴原不等式的解集为 .
(2)∵ ,
∴当 时,不等式 恒成立,即   上恒成立,
当 时, ,即 ,

∴ 在 上恒成立,
∴ ,即 ;
当 时, ,即 ,即 .
∴ 在 上恒成立,
∴ ,即 ;
综上, 的取值范围为 .
 
 


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