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山东省潍坊市2019届高三数学(文)二模试题(Word解析版)

潍坊市高考模拟考试
文科数学
本试卷共4页.满分150分.
注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回,
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,函数 的定义域为集合B,则 (  )
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合 ,再利用交集运算得解
【详解】由 得: ,
所以集合 ,又
所以 .
故选B
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.
2.若复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ,则 (  )
A.      B.      C. 1    D.  
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知求得 ,再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解.
【详解】  ,复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称,
  ,
   
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的对称关系,还考查了复数的除法、乘法运算,属于基础题.
3.已知等差数列{an}的前5项和为15,a6=6,则a2019=(   )
A. 2017    B. 2018    C. 2019    D. 2020
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知得到关于 的方程组,解方程组即得解,再利用等差数列的通项求a2019.
【详解】由题得 ,
所以 .
故选C
【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前n项和公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.已知命题p: x∈R,x2>0,则 是(  )
A.  x∈R,x2<0    B.  x∈R,x2<0    C.  x∈R,x2≤0    D.  x∈R,x2≤0
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定解答.
【详解】因为命题p: x∈R,x2>0,所以 : x∈R,x2≤0
故选D
【点睛】本题主要考查全称命题的否定,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如:三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,清陆以湉《冷庐杂识》写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.在18世纪,七巧板流传到了国外,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为(  )
 
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
【分析】
设包含7块板的正方形边长为 ,其面积为 ,计算雄鸡的鸡尾面积为 ,利用几何概型概率计算公式得解.
【详解】设包含7块板的正方形边长为 ,其面积为
则雄鸡的鸡尾面积为标号为 的板块,其面积为
所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为 .
故选C.
【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算,考查观察能力,属于基础题.
6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形,正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,则此几何体的体积是(    )
 
A      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥,结合图中数据求出它的体积.
【详解】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体 底面边长为1正方形,斜高为1四棱锥,
且四棱锥的高为 的正四棱锥.
 它的体积为 .
故选:A.
 
【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题,也考查了空间想象能力的应用问题,属于基础题.
7.如图所示的函数图象,对应的函数解析式可能是(  )
 
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】
【分析】
对B选项的对称性判断可排除B. 对 选项的定义域来看可排除 ,对 选项中, 时,计算得 ,可排除 ,问题得解.
【详解】  为偶函数,其图象关于 轴对称, 排除B.
 函数 的定义域为 , 排除 .
对于 ,当 时, , 排除
故选D
【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算,考查分析能力,属于中档题.
8.函数 的图象可由函数 的图象(  )
A. 向右平移 个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到
B. 向右平移 个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到
C. 向左平移 个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变得到
D. 向左平移 个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变得到
【答案】D
【解析】
【分析】
合并 得: ,利用平移、伸缩知识即可判断选项.
【详解】由 得:
将它的图象向左平移 个单位,
可得函数 的图象,
再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变得到: 图象.
故选D
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换,考查了两角差的正弦公式,属于中档题.
9.在边长为1的等边三角形 中,点P是边 上一点,且. ,则 (  )
A.      B.      C.      D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用 表示 ,再利用数量积的定义得解.
【详解】依据已知作出图形如下:
 
 .
所以
 
故选C
【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算,还考查了数量积的定义,考查转化能力,属于中档题.
10.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为(   )
A. 6π    B. 12π    C. 32π    D. 48π
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出几何图形,确定四个直角和边长,再找到外接球的球心和半径,再计算外接球的表面积.
【详解】由题得几何体原图如图所示,
 
其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,
所以AC=2 , ,
设SC中点为O,则在直角三角形SAC中,OA=OC=OS= ,
在直角三角形SBC中,OB= ,
所以OA=OC=OS=OB= ,
所以点O是四面体的外接球球心,且球的半径为 .
所以四面体外接球的表面积为 .
故选B
【点睛】本题主要考查四面体的外接球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.
11.已知P为双曲线 上一点, 为双曲线C的左、右焦点,若 ,且直线 与以C的实轴为直径的圆相切,则C的渐近线方程为(  )
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意作出图象,由双曲线定义可得 ,又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切,可得 ,对 在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程,即可求得 ,联立 ,即可求得 ,问题得解.
【详解】依据题意作出图象,如下:
 
则 , ,
又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切,
所以 ,
所以
由双曲线定义可得: ,所以 ,
所以
整理得: ,即:
将 代入 ,整理得: ,
所以C的渐近线方程为
故选A
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质,还考查了三角函数定义及余弦定理,考查计算能力及方程思想,属于难题.
12.已知函数f(x)=2x-1, (a∈R),若对任意x1∈[1,+∞),总存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
【分析】
对a分a=0,a<0和a>0讨论,a>0时分两种情况讨论,比较两个函数的值域的关系,即得实数a的取值范围.
【详解】当a=0时,函数f(x)=2x-1的值域为[1,+∞),函数 的值域为[0,++∞),满足题意.
当a<0时,y= 的值域为(2a,+∞), y= 的值域为[a+2,-a+2],
因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2>2a,
所以此时函数g(x)的值域为(2a,+∞),
由题得2a<1,即a< ,即a<0.
当a>0时,y= 的值域为(2a,+∞),y= 的值域为[-a+2,a+2],
当a≥ 时,-a+2≤2a,由题得 .
当0<a< 时,-a+2>2a,由题得2a<1,所以a< .所以0<a< .
综合得a的范围为a< 或1≤a≤2,
故选C.
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质,考查指数函数和三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.焦点在x轴上,短轴长等于16,离心率等于 的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由短轴长等于16可得 ,联立离心率及 即可求得 ,问题得解.
【详解】由题可得: ,解得:
又 ,解得:
所以所求椭圆的标准方程为 .
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查计算能力,属于基础题.
14.若x,y满足约束条件 ,则 的最大值为______.
【答案】10
【解析】
【分析】
作出不等式组 表示的平面区域,利用线性规划知识求解.
【详解】作出不等式组 表示的平面区域如下:
 
作出直线  ,当直线 往下平移时, 变大,
当直线 经过点 时,
【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识,考查作图及计算能力,属于基础题.
15.设数列 满足 ,则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得数列 首项,再将 换为 ,相除可得所求通项公式;
【详解】解: 满足   
可得 时, ,
 时, ,
又   
相除可得 ,即 ,
上式对 也成立,
则 的通项公式为 ;
故答案为:
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用下标变换相除法,属于中档题.
16.如图,边长为1的正方形ABCD,其中边DA在x轴上,点D与坐标原点重合,若正方形沿x轴正向滚动,先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时,则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x,y)滚动时形成的曲线为y=f(x),则f(2019)=________.
 
【答案】0
【解析】
【分析】
由题可得: 是周期为 的函数,将 化为 ,问题得解.
【详解】由题可得: 是周期为 的函数,
所以 .
由题可得:当 时,点 恰好在 轴上,
所以 ,所以 .
【点睛】本题主要考查了函数的周期性及转化能力,属于中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.如图,在平面四边形 中, , , .
 
(1)求 ;
(2)若 , ,求 .
【答案】(1) ;(2)CD=5
【解析】
【分析】
(1)直接利用余弦定理求cos∠BAC;(2)先求出sin∠DAC= ,再利用正弦定理求CD.
【详解】(1)在△ABC中,由余弦定理得:
 .
(2)因为∠DAC=90°-∠BAC,所以sin∠DAC=cos∠BAC= ,
所以在△ACD中由正弦定理得: , ,
所以CD=5.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识 理解掌握水平和分析推理能力.
18.如图,四棱锥M-ABCD中,MB⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AB=MB,E、F分别为MA、MC的中点.
 
(1)求证:平面BEF⊥平面MAD;
(2)若 ,求三棱锥E-ABF的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)先证明BE⊥平面MAD,再证平面BEF⊥平面MAD;(2)利用体积变换 求三棱锥E-ABF的体积.
【详解】(1)因为MB⊥平面ABCD,所以MB⊥AD,
又因为四边形ABCD是矩形,所以AD⊥AB,
因为AB∩MB=B,所以AD⊥平面MAB,
因为BE 平面MAB,所以AD⊥BE,
又因为AB=MB,E为MA 中点,
所以BE⊥MA,因为MA∩AD=A,
所以BE⊥平面MAD,
又因为BE 平面BEF,
所以平面BEF⊥平面MAD.
(2)因为AD∥BC,所以BC⊥面MAB,又因为F为MC的中点,
所以F到面MAB的距离 ,
又因为MB⊥平面ABCD,AB=MB= ,E为MA的中点,
所以 ,
所以 .
 
【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明,考查空间几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析转化能力.
19.某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品,已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时,该产品为合格品,否则为次品,现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测,其结果如下表:
质量指标检测分数    [50,60)    [60,70)    [70,80)    [80,90)    [90,100]
甲班组生产的产品件数    7    18    40    29    6
乙班组生产的产品件数    8    12    40    32    8

(1)根据表中数据,估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率;
(2)根据以上数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关?
    甲班组    乙班组    合计
合格品            
次品            
合计            

(3)若按合格与不合格的比例,从甲班组生产的产品中抽取4件产品,从乙班组生产的产品中抽取5件产品,记事件A:从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件,且都是合格品;事件B:从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件,一件是合格品,一件是次品,试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大.
附:
P(K2≥k)    0.050    0.010    0.001
k    3.841    6.635    10.828


【答案】(1)甲: ,乙: ;(2)没有95%的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关;(3)事件A发生的可能性大一些
【解析】
【分析】
(1)直接计算甲班组和乙班组产品的不合格率;(2)利用独立性检验求得没有95%的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关;(3)利用古典概型的概率公式求出P(A)和P(B),再比较大小即得解.
【详解】(1)根据表中数据,甲班组生产该产品的不合格率为 ,
乙班组生产该产品的不合格率为 ;
(2)列联表如下:
    甲班组    乙班组    合计
合格品    75    80    155
次品    25    20    45
合计    100    100    200


 .
所以,没有95%的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关.
(3)由题意,若按合格与不合格的比例,则抽取了4件甲班组产品,5件乙班组产品,其中甲、乙班组抽取的产品中均含有1件次品,设这4件甲班组产品分别为A1,A2,A3,D,其中A1,A2,A3代表合格品,D代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为A1A2,A1A3,A1D,A2A3,A2D,A3D共6种,A事件包含3种,故 ;设这5件乙班组产品分别为B1,B2,B3,B4,E,其中B1,B2,B3,B4代表合格品,E代表次品,从中随机抽取2件,则所有可能的情况为B1B2,B1B3,B1B4,B1E,B2B3,B2B4,B2E,B3B4,B3E,B4E共10种,B事件包含4种,故 ;
因为P(A)>P(B),所以,事件A发生的可能性大一些.
【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知抛物线 的焦点为 ,直线: 交抛物线 于 两点, .
 
(1)若 的中点为 ,直线 的斜率为 ,证明: 为定值;
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)联立 求出AB的中点坐标为T(2k,1),再计算得k· =-1.(2)先求出点M到直线l距离 ,再求出 ,再求出   ,最后构造函数利用导数求面积的最大值得解.
【详解】(1)证明:联立 ,消去y得,x2-4kx-4b=0,
△=16k2+16b>0,即k2+b>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=-4b,
因为|AF|+|BF|=4,
由抛物线定义得y1+1+y2+1=4,得y1+y2=2,
所以AB的中点坐标为T(2k,1),
所以 ,所以k· =-1.
(2)由(1)得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=16(k2+b),
 ,
设点M到直线l距离为d,则 ,
而由(1)知,y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b=4k2+2b=2,
即2k2+b=1,即b=1-2k2,由△=16k2+16b>0,得0<k2<1,
所以   ,
令t=k2,0<t<1,设f(t)=(1+t)2(1-t)=1+t-t2-t3,0<t<1,
 =1-2t-3t2=(t+1)(-3t+1), 时, >0,f(t)为增函数;
 时, <0,f(t)为减函数;
所以当 , ,
所以,S△ABM的最大值为 .
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和斜率的计算,考查直线和抛物线的位置关系和定值问题,考查抛物线中的最值问题,考查利用导数研究函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知函数f(x)=xex-alnx(无理数e=2.718…).
(1)若f(x)在(0,1)单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=-1时,设g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函数g(x)存在零点,求实数b的最大值.
【答案】(1)a≥2e;(2)0
【解析】
【分析】
(1)由题得 ≤0,即a≥(x2+x)ex在(0,1)上恒成立,再构造函数求函数的最大值即得解;(2)问题等价于方程b=xlnx-x3+x2在(0,+∞)上有解,先证lnx≤x-1(x>0),再求得b的最大值为0.
【详解】(1) ,
由题意: ≤0,x∈(0,1)恒成立,即(x2+x)ex-a≤0,
也就是a≥(x2+x)ex在(0,1)上恒成立,
设h(x)=(x2+x)ex,
则 =ex(2x+1)+(x2+x)ex=ex(x2+3x+1),
当x∈(0,1)时,x2+3x+1>0,
故 )>0,h(x)在(0,1)单调递增,h(x)<h(1)=2e,
因此a≥2e.
(2)当a=-1时,f(x)=xex+lnx,g(x)=xlnx-x3+x2-b,
由题意:问题等价于方程b=xlnx-x3+x2在(0,+∞)上有解,
先证:lnx≤x-1(x>0),事实上:设y=lnx-x+1,则 ,
令 ,x=1,x∈(0,1)时,y'>0函数递增,x∈(1,+∞)时,y'<0函数递减,
ymax=y|x=1=0,即y≤0,也就是lnx≤x-1.
由此:k(x)=xlnx-x3+x2≤x(x-1)-x3+x2=2x2-x-x3=-x(x2-2x+1)≤0,
故当x=1时,k(1)=0,所以b的最大值为0.
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题和零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为 ,直线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)若N是曲线C上的动点,P为线段MN的中点,求点P到直线 的距离的最大值.
【答案】(1) , ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(2)设N( ,sinα),α∈[0,2π).先求出点P到直线l的距离 再求最大值.
【详解】(1)因为直线l的极坐标方程为 ,
即ρsinθ-ρcosθ+4=0.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.
将曲线C的参数方程 消去参数a,
得曲线C的普通方程为 .
(2)设N( ,sinα),α∈[0,2π).
点M的极坐标( , ),化为直角坐标为(-2,2).
则 .
所以点P到直线l的距离 ,
所以当 时,点M到直线l的距离的最大值为 .
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化,考查三角函数的图像和性质,考查点到直线的距离的最值的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数 ,不等式 的解集为 .
(1)求实数a的值;
(2)设 ,若存在 ,使 成立,求实数t的取值范围.
【答案】(1)1;(2) ,或 .
【解析】
【分析】
(1)解 的解集与已知解集相等可列方程解得;
(2)问题转化为 的图象有一部分在直线 的下方,作出图象,根据斜率可得.
【详解】(1)由 得 ,即 ,
当 时, ,所以 ,解得 ;
当 时,  ,所以 ,无解,
所以实数a的值为1;
(2)由已知  ,
不等式 ,即 ,
由题意知 的图象有一部分在直线 的下方,作出对应图象:
 
由图可知,当 时, ,当 时, ,
又因为 ; ,
所以 ,或 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式与函数之间的关系,考查转化思想和运算能力,属于中档题.

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