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江苏省百校联考2020届高三数学第五次考试试题(Word版含答案)

江苏省百校联考2020届高三年级第五次试卷
数   学
数学Ⅰ试题
2020年5月
参考公式:
样本数据 , ,…, 的标准差 ,其中 ;
柱体的体积公式: ,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
锥体的体积公式: ,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上 。
1. 已知集合A={1, 2}, A∪B={1, 2, 3}, 则集合中B必定含有的元素是   ▲   .
2. 已知复数i(a+i)的模为1 (其中i为虚数单位), 则实数a的值是   ▲   .
3. 下图是一个算法的流程图, 则输出k的值是   ▲   .
4. 已知一组数据1, 3, 5, 7, 9, 则该组数据的方差是   ▲   .
5. 已知双曲线 x2a2-y29=1(a>0)的左、右顶点与点(0, 3)构成等腰直
角三角形, 则该双曲线的渐近线方程是   ▲   .
6. 已知函数y = tanx 与 y = sin(3x-φ) (0≤φ<π) ,它们图象有一个交
点的横坐标为π4, 则φ的值是   ▲   .
7. 斐波那契数列又称黄金分割数列, 因数学家列昂纳多・斐波那契以
兔子繁殖为例而引入, 故又称为“免子数列”.在数学上, 斐波那契
数列被以下递推方法定义: 数列{an}满足a1 = a2=1, an+2= an + an+1,
现从该数列的前12项中随机抽取1项, 能被3整除的概率是   ▲   .
8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn , 且a2 a4+a3= 0, S3=-1,
则an =    ▲   .
9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则三棱锥
B-A1C1D的体积是   ▲   .
10.已知角α, β满足tanα = 2tanβ , 若sin(α+β) = 35,则
sin(α-β)的值是   ▲   .
11.若函数f(x)=(x-a)・x (其中a>0)在区间[1,9]上的最小值为18, 则a的值是   ▲   .
12.如图, 已知A为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)上一点, 它关于原点的
对称点为B, 点F为圆的右焦点,且以AB为直径的圆过点F, 当
∠ABF = π6时, 该椭圆的离心率是   ▲   .
13.已知x, y均为正实数, 且x+1y=1, 则 yx+8y的最小值是   ▲   .

14.已知当x>0时, 函数f(x)=alnx(a>0),且f(x)=f(-x).若g(x)=2x2-m(m>0)的图象与f(x)的图象
在第二象限有公共点, 且在该点处的切线相同, 当实数m变化时,实数a的取值范围是   ▲   .


二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步驟.
15.  (本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知C=π6, m=(sinA,-1), n=(cosB,1),且m∥n.
(1) 求A的值;
(2) 若点D为边BC上靠近B的四等分点, 且AD = 21, 求△ABC的面积.







16.  (本小题满分14分)
在三棱柱A-BCD中,E,F分别为AD, DC的中点,且BA=BD,平面ABD⊥平面ADC.
(1) 证明: EF∥平面ABC.
(2) 证明: CD⊥BE.












17.  (本小题满分14分)
一胸针图样由等腰三角形OAB及圆心C在中轴线上的圆弧AB构成, 已知OA=OB=1,
∠ACB=2π3. 为了增加胸针的美观程度,设计师准备焊接三条金丝线CO,CA,CB,且AC长度不小
于OC长度.设∠AOC=θ.
(1) 试求出金丝线的总长度L(θ), 并求出的取值范围;
(2) 当θ为何值时,金丝线的总长度L(θ)最小, 并求出L(θ)的最小.










18.  (本小题满分16分)
已知椭圆C: x2a2+y2b2=1 (a>b>0)右集点F的盤标为(1,0), 点P(1, 32)为椭圆C上一点.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 过椭圆C的右焦点F作斜率为-3的直线l交椭圆C于M, N两点, 且OM→+ON→+OH→=0,
求△MNH的面积.


19.  (本小题满分16分)
已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R), g(x)=xlnx.
(1) 求曲线在x=1处的切线方程;
 (2) 对任意x∈(0, a], f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3) 当x∈(0, a]时, 试求方程f(x)=g(x)的根的个数.


20.  (本小题满分16分)
己知数列{an}满足a1=12,an+1=λan1+ aλn ,n∈N*.
(1)  若λ=1,
(ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
 (ⅱ) 证明: 对∀n∈N*,a1 a2 a3+a2 a3 a4+…+an an+1 an+2= n(n+5)12(n+2)(n+3).
(2) 若λ=2, 且对∀n∈N*,有0<an<l, 证明:  an+1-an <2+18.


江苏省百校联考2020届高三年级第五次试卷
数   学
数学Ⅱ(附加题)
2020年5月
21A.[选修4-2:矩阵与变换]  (本小题满分10分)
已知矩阵A=1  k0 1 ,A2=1  20 1 ,求A -1.


22B.[选修4-4:坐标系与参数方程]  (本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为x=12t,y=1+32t,(t为参数) .若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系, 得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosα-π3.
 (1) 求直线l的倾斜角;
(2) 若直线l与曲线C交于A, B两点, 求AB的长度.

23C.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为梯形,AB∥CD.若棱AB,
AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,且向量PC→与BD→夹角的余弦值为1515.
 (1) 求CD的长度
(2) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.


24D.(本小题满分10分)
记f(α)为(ax+1)n二项展开式中的x3项的系数, 其中a∈{1,2,3,…,n},n≥3.
  (1) 求f(1), f(2), f(3);
(2) 证明: a=1n f(α) = Cnn+1(n3+n2)



      

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