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2020新课标高考数学(理科)必刷卷七(含解析)

2020新课标高考数学(理科)必刷卷

(本试卷满分150考试用时120分钟

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

Ⅰ卷(选择题)

一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,则

A B

C D

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合N,根据集合的交集运算即可.

【详解】

因为,

所以,

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算,属于中档题.

2.已知复数,其中为虚数单位,则

A9 B3 C5 D

【答案】D

【解析】

【分析】

由题,将复数进行化简可得,再求得,可得其模长.

【详解】

,得

所以,所以.故选D.

【点睛】

本题考查了复数的计算化简以及复数的模长的求法,属于基础题.

3.已知向量.,则

A2 B C D

【答案】B

【解析】

【分析】

通过得到,再利用和差公式得到答案.

【详解】

向量.

故答案为B.

【点睛】

本题考查了向量平行,正切值的计算,意在考查学生的计算能力.

4.公差不为0的等差数列的前项和为,若,且,则的值为(

A15 B21 C23 D25

【答案】D

【解析】

由题意有:

且:.

本题选择D选项.

5.若二项式的展开式中所有项的系数之和为,所有项的系数的绝对值之和为,则的最小值为(  )

A2 B C D

【答案】B

【解析】

试题分析:令,可求得;令,可求得;所以,令,所以,故应选.

考点:1.二项式定理;2、函数的最值;

6.在中,( )

A B C D

【答案】A

【解析】

【详解】

中,

所以

==

==27

所以,答案选A

7.已知直线y3x与两坐标轴所围成的区域为Ω1,不等式组所围成的区域为Ω2,现在区域Ω1中随机放置一点,则该点落在区域Ω2内的概率是(

A B

C D

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意作出区域,分别计算出面积,即可得到概率.

【详解】

在平面直角坐标系中,做出区域Ω1


如图中OAB所示,其面积为

作出区域Ω2,如图中OBC所示,联立,解得C1,2),

所以区域Ω2的面积为

故所求概率.

故选:B

【点睛】

此题考查几何概型求解概率,准确作图并求出对应区域的面积方可正确得解.

8.已知a是实数,则函数的图象不可能是(  )

A B

C D

【答案】D

【解析】

对于振幅大于1时,三角函数的周期为T=∵|a|1∴T,显然B不符合要求,它的振幅大于1,但周期反而大于了.故选B

9.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该书完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的李白沽酒问题,执行该程序框图,若输入的a值为5,则输出的值为(   )


A19 B35 C67 D198

【答案】C

【解析】

分析:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.

详解:模拟程序的运行,可得:


此时否则输出结果为67

故选C.

点睛:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.

10.已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥的五个面中面积的最大值是(


A3 B6 C8 D10

【答案】C

【解析】

因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为,后面是等腰三角形,腰为,所以后面的三角形的高为,可得后面三角形的面积为,两个侧面面积为 ,前面三角形的面积为,底面矩形的面积是 ,四棱锥的五个面中面积最大的是前面三角形的面积,故选C.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其翻译成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素高平齐,长对正,宽相等,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.

11.如图,是椭圆上的三个点,经过原点经过右焦点,若,则该椭圆的离心率为(


A B C D

【答案】B

【解析】

【分析】

取左焦点,连接,分别在中利用勾股定理列方程组即可求解.

【详解】


取左焦点,连接,根据椭圆的对称性可得:是矩形,

中,即:

解得:,则

即:

所以椭圆离心率为.

故选:B

【点睛】

此题考查根据椭圆的几何性质求解离心率,关键在于熟练掌握椭圆的几何性质,根据已知几何关系,准确进行转化,列出椭圆基本量的等量关系求解.

12.已知函数为自然对数的底数)在上有两个零点,则的范围是(

A B C D

【答案】D

【解析】

【分析】

利用参数分离法进行转化,,设),

构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和极值,利用数形结合进行求解即可.

【详解】

解:由

时,方程不成立,即

),

时,,函数为增函数,

时,,函数为减函数,

则当时函数取得极小值,极小值为

时,,且单调递减,作出函数的图象如图:

要使有两个不同的根,

即可,

即实数的取值范围是.


方法2:由

,当时,,则为增函数,

,相切时的切点为,切线斜率

则切线方程为

当切线过时,

,即,得(舍),则切线斜率

要使上有两个不同的交点,则

即实数的取值范围是.

故选D


【点睛】

本题主要考查函数极值的应用,利用数形结合以及参数分离法进行转化,求函数的导数研究函数的单调性极值,利用数形结合是解决本题的关键.

Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。

13.设是第三象限角,,则______

【答案】

【解析】

【分析】

是第三象限的角,根据的值,利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可.

【详解】

解:

为第三象限角,

故答案为

【点睛】

此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

14.已知是定义在内的偶函数,且在上是增函数,设,则的小关系是______

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意,分析可得上为减函数,进而可得,据此分析可得答案.

【详解】

根据题意,是定义在内的偶函数,且在上是增函数,

上为减函数,

且有

则有

故答案为:

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数的性质,属于基础题.

15.已知圆C1,圆C2MN分别是圆C1C2上的动点,P轴上的动点,则的最小值_____

【答案】

【解析】

【分析】

求出圆关于轴对称圆的圆心坐标,以及半径,然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和,即可得到的最小值.

【详解】

如图所示,圆关于轴对称圆的圆心坐标,以及半径

的圆心坐标为,半径为

所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和,

.


【点睛】

本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法,以及两圆的位置关系的应用,其中解答中把的最小值转化为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.

16.已知数列的首项,其前项和为,且,若单调递增,则的取值范围是__________

【答案】

【解析】

可得:

两式相减得:


两式相减可得:

数列...是以为公差的等差数列,数列...是以为公差的等差数列

代入可得:

代入可得


要使得恒成立

只需要即可


解得

的取值范围是

点睛:本题考查了数列的递推关系求通项,在含有的条件中,利用来求通项,本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列,结合和数列为增数列求出结果,本题需要利用条件递推,有一点难度。

三、解答题:本大题共6小题,共70.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必做题,每个考生都必须作答.22/23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60

17的内角的对边分别为,已知

1)求

2)若平分线于点,求的长.

【答案】(1)  (2)

【解析】

【分析】

1)由正弦定理化简已知等式,结合sinB≠0,可得,利用三角形内角和化简,进而可求A的值(2)由已知利用三角形的面积公式可得,即可求解.

【详解】

如图:


1

由正弦定理可得

2

,可得

【点睛】

本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

18.如图,已知抛物线的焦点是,准线是.


)写出焦点的坐标和准线的方程;

)已知点,若过点的直线交抛物线于不同的两点(均与不重合),直线分别交于点求证:.

【答案】(,准线的方程为;()见解析.

【解析】

【分析】

)根据抛物线的标准方程可得出焦点的坐标和准线的方程;

)设直线的方程为,设点,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出点的坐标,计算出,即可证明出.

【详解】

I)抛物线的焦点为,准线的方程为:

)设直线的方程为:,令

联立直线的方程与抛物线的方程,消去

由根与系数的关系得:.

直线方程为:

时,,同理得:.

,

.


【点睛】

本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程,同时也考查了直线与抛物线的综合问题,涉及到两直线垂直的证明,一般转化为两向量数量积为零来处理,考查计算能力,属于中等题.

19.如图,矩形中,是边的三等分点.现将分别沿折起,使得平面、平面均与平面垂直.


1)若为线段上一点,且,求证:平面

2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)见证明;(2

【解析】

【分析】

1)构造经过直线的平面,然后证明该平面与已知的平面平行,再由面面平行得出线面平行;

2)建立空间直角坐标系,借助空间向量知识解决二面角的大小.

【详解】

1)如图,分别取的中点,连接

因为

所以,且.

因为

所以,且.

因为面与面垂直,

平面

所以

同理:

所以,且

平面

平面

平面

在矩形中,

同理:

在几何体中,

因为

所以

所以是以为斜边的等腰直角三角形,故

因为共面于平面,

平面

平面

平面

,

平面

故面

因为平面

.


2)如图,以为原点,分别以所在直线为轴,以过点并垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系,


因为

所以

由(1)得

平面

平面

从而是平面的一个法向量;

为平面的一个法向量,则

解得

,则

所以,

故所求二面角的正弦值为.

【点睛】

本题考查了线面平行的证明以及二面角的求解问题,线面平行常见的证法是借助线线平行或面面平行证得,求解二面角大小时往往借助法向量的夹角来进行求解.

20公平正义是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后,考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用名,其中个高薪职位和个普薪职位.实际报名人数为名,考试满分为.(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:

考试平均成绩是分,分及其以上的高分考生.

(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)

(2)考生甲的成绩为分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取,请说明理由.

参考资料:(1)时,令,则.

(2)时,.

【答案】(1分或.2)能获得高薪职位.见解析

【解析】

【分析】

1)利用考试的平均成绩、高分考生的人数,以及题目所给正态分布的参考资料,求得考生成绩的分布,利用录取率列方程,由此求得最低录取分数线.

2)计算出不低于考生甲的成绩的人数约为,由此判断出甲能获得高薪职位.

【详解】

(1)设考生成绩为,则依题意应服从正态分布,即.

,则.

分及其以上的高分考生名可得

,亦即.

,解得

设最低录取分数线为,则

.

即最低录取分数线为分或.

(2)考生甲的成绩,所以能被录取.

表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的

即考生甲大约排在第名,排在名之前,所以他能获得高薪职位.

【点睛】

本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用,考查化归与转化的数学思想方法,考查阅读理解能力,属于中档题.

21.已知函数.(

1)若且函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;

2)若函数存在极值,求实数的取值范围

【答案】(1;(2

【解析】

【分析】

1)由题意得,fx≥0在(0+∞)内恒成立,即ax22x+a≥0在(0+∞)上恒成立,由分离参数,运用基本不等式求出最大值即可;

2)令导数为0,可设Lx)=ax22x+ax03),由参数分离,运用基本不等式求出最值即可判断.

【详解】

1 ∵fx)在定义域(0+∞)内是增函数,

∴f'x≥0在(0+∞)内恒成立,即ax22x+a≥0在(0+∞)上恒成立.

在(0+∞)上恒成立,,设

∵x0,当且仅当x1时取等号,

∴Mx≤1,即[Mx]max1∴a≥1

所以实数a的取值范围是[1+∞

2,令fx)=0ax22x+a0,由ax2+1)=2x

x∈03),即,当且仅当x1时等号成立.

∴Lx01]

∵a1时,x∈03)上恒成立,∴a1不满足条件,

0a1时,yfx)在x03)存在极值.

【点睛】

本题考查导数的运用:求单调区间和极值,考查分类讨论的思想方法,函数和方程的转化思想,同时考查运算能力,属于中档题.

(二)选考题:共10.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,点,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

1)求曲线的直角坐标方程;

2)若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点,当时,求的值.

【答案】(1;(2.

【解析】

【分析】

1)在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后,利用ρcosθxρsinθyρ2x2+y2可得曲线C的直角坐标方程;

2)联立直线l的参数方程与x24y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得.

【详解】

解:(1)在ρ+ρcos2θ8sinθ中两边同时乘以ρρ22cos2θsin2θ)=8ρsinθ

x2+y2+x2y28y,即x24y

所以曲线C的直角坐标方程为:x24y

2)联立直线l的参数方程与x24y得:(cosα2t24sinαt+40

AB两点对应的参数分别为t1t2

16sin2α16cos2α0,得sinα

t1+t2,由|PM|

所以20sin2α+9sinα200,解得sinαsinα=﹣(舍去),

所以sinα

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.

23.选修4-5:不等式选讲

1)比较的大小;

2)已知,且,求证:

【答案】(12)见解析

【解析】

试题分析:(1)作差比较,,从而可得结果;(2中的换为后,利用均值不等式可得结论.

试题解析:(1)因为,所以

2

证明:a+b+c=1abcR+

当且仅当a=b=c时,取等号。



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