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高考数学专题 第三十九讲 数学归纳法(含答案)pdf版

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高考数学专题 第三十九讲 数学归纳法(含答案)pdf版

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解答题

 

1.(2017 浙江)已知数列{x } 满足: x  = 1 , x  x + ln(1+ x

 

) (n ΠN* ) .


n 1 n n+1 n+1

 

证明:当 n ΠN*

 

Ⅰ) 0 < xn+1 < xn


 

Ⅱ) 2xn+1


xn

≤ xn xn+1

2


1 1

Ⅲ) 2n-1 ≤ xn ≤ 2n-2  .

2.(2015 湖北) 已知数列{a } 的各项均为正数, b

n (1 + 1 )n a


 

(n Î N

 

) ,e 为自然对数的


n

 

 

底数.

n n n +


(Ⅰ)求函数 f (x) = 1 + x - ex 的单调区间,并比较(1 + 1 )n e 的大小;

n


(Ⅱ)计算 b1 b1b2 b1b2b3 ,由此推测计算 b1b2 Lbn

的公式,并给出证明;


a1 a1a2

a1a2 a3

a1a2 Lan


 

1

(Ⅲ)令cn = (a1a2 Lan )n ,数列{an } ,{cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn < eSn


3.(2014 江苏)已知函数 f (x) = sin x (x > 0) ,设 f (x) f

(x) 的导数, n Î N*  .


0 x n

n-1


Ⅰ)求2 f1  (p )+ p  f2  (p)的值;

(2)证明:对任意的 n Î N*   ,等式 nfn-1  (p )+ p  fn  (p ) = 成立.

2

4 4 4 2

 

4.(2014 安徽)设实数c > 0 ,整数 p > 1 n Î N * .

 

Ⅰ)证明:当 x > -1 x ¹ 0 时, (1+ x) p > 1+ px

 


(Ⅱ)数列{a }满足 a

1

c p , a

p -1 a


c a 1- p 



n 1 n+1

p n p n


 

1


证明: a  a c p

 


5.(2014 重庆) a1

= 1, an+1 =

b(n ΠN*)


Ⅰ)若b = 1,求 a2 , a3 及数列{an } 的通项公式;

Ⅱ)若b = -1 ,问:是否存在实数c 使得 a c a 对所有 n Î N * 成立?证明你的结论.

6.(2012 湖北)(Ⅰ)已知函数 f (x) = rx xr  + (1- r) (x > 0) ,其中 r 为有理数,且0 < r < 1 .

f (x) 的最小值;

(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设 a1 ³ 0, a2 ³ 0 ,b1, b2 为正有理数. 若b1 + b2 = 1  a b1 a b2 £ a b a b 

(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数证明你所推广的命题.

注:a 为正有理数时,有求导公式(xa )¢ = a xa -1 .

 

7.(2011 湖南)已知函数 f (x) = x3 , g(x) = x + .

 

Ⅰ)求函数 h(x) = f (x) - g(x) 的零点个数,并说明理由;

 

Ⅱ)设数列{ a  }( n Î N * )满足 a  a (a > 0) , f (a ) = g(a ) ,证明:存在常数

n 1 n+1 n

 

M ,使得对于任意的 n ΠN * ,都有 an M

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