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高考数学专题十一 第三十五讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差(含答案)pdf版

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高考数学专题十一 第三十五讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差含答案pdf版

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一、选择题

1.(2018 全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立,设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, DX = 2.4 P( X = 4) < P( X = 6) ,则 p =

A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 2.(2018 浙江)设0 < p < 1 ,随机变量x 的分布列是

 

 

 

 

则当 p 在(0,1) 内增大时,

 

A. D(x ) 减小 B. D(x ) 增大

 

C. D(x ) 先减小后增大 D. D(x ) 先增大后减小

3.(2017 浙江)已知随机变量xi 满足 P(xi = 1) = pi P(xi = 0) = 1- pi i =1,2 若0 < p1 < p2 < 2 ,则

 


A. E(x1 ) < E(x2 ) , D(x1 ) < D(x2 )

C. E(x1 ) > E(x2 ) , D(x1 ) < D(x2 )

B. E(x1 ) < E(x2 ) , D(x1 ) > D(x2 )

D. E(x1 ) > E(x2 ) , D(x1 ) > D(x2 )


 

4 .( 2014 浙江)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球

(m ³ 3, n ³ 3) ,从乙盒中随机抽取i (i = 1, 2) 个球放入甲盒中.

(a) 放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为x (i = 1, 2) 

(b) 放入i 个球后,从甲盒中取个球是红球的概率记为 pi (i = 1, 2) .则

 


A p1  > p2 , E (x1 ) < E (x2 )

C p1  > p2 , E (x1 ) > E (x2 )

B p1  < p2 , E (x1 ) > E (x2 )

D p1  < p2 , E (x1 ) < E (x2 )


二、填空题

 

5.(2017 新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100 次, 表示抽到的二等品件数,则 DX = 

6.(2016 年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次

试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是  .

7.(2014 浙江)随机变量x 的取值为 0,1,2,若 P (x = 0) = 1 , E (x ) = 1,则 D (x ) = .

5

三、解答题

 

8.(2018 北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

 

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取部,估计恰有 1 部获得好评的概率;

 

(3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用xk = 1”表示第 k 类电影得到人们喜欢,xk   = 0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢( k =1 2,3,4,5,6).写出方差 Dx Dx Dx Dx Dx Dx6 的大小关系.

9.(2018 全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 < p < 1) ,且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)  20 件产品中恰有件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 .

 

(2) 现对一箱产品检验了20 件,结果恰有2 件不合格品,以(1)中确定的 p作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格

品支付 25 元的赔偿费用.


(i) 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X  EX

(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

10.(2018 天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.

(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

 

(2) 若抽出的人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.

(i)  X 表示抽取的 3 人中睡眠不的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望;

(ii)  A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率.

11.(2017 新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于

20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

 

 

 

 

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

 

(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位:瓶)的分布列;

(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量

n (单位:瓶)为多少时, Y 的数学期望达到最大值?

 

12.(2017 江苏)已知一个口袋有 m 个白球, n 个黑球( m  n Î N*  n ≥ 2 ),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2 3…,m n 的抽屉内,其中第 k 次取球放入编号为 k 的抽屉( k =1,2,3…,m n ).

 

(1) 试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p 


(2) 随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E( X ) X 的数学

 


期望,证明 E( X ) <

n

(m n)(n -1)


 

13.(2017 天津)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在

 


 

各路口遇到红灯的概率分别为

1 1 1

,   , .

2 3 4


 

Ⅰ) X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望;

Ⅱ)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.

 

14.(2017 山东)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的

作用,现有 6 名男志愿者 A1 A2 A3 A4 A5 A6 4 名女志愿者 B1 B2 B3 ,

 

B4 ,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示.

 

Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的频率。

Ⅱ) X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 EX 15.(2017 北京)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x y 的数据,并

制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

 

Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;

Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记x 为选出的两人中指标 x 的值大


1.7 的人数,求x 的分布列和数学期望 E(x ) ;

Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)

16.(2016 年全国 I)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期

间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损

 

零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

 

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.

(I)  X 的分布列;

(II) 若要求 P( X n) ≥ 0.5 ,确定 n 的最小值;

 

(III) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n = 19 n = 20 之中选其一,应选用哪个?

17.(2015 福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.

Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;

 

Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

18.(2015 山东)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百

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