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2019年北京市高考理科数学真题(附答案)

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绝密★本科目考试启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数  学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题   共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知复数z=2+i,则
(A)     (B)     (C)3    (D)5
(2)执行如图所示的程序框图,输出的s值为
 
(A)1      (B)2    (C)3     (D)4
(3)已知直线l的参数方程为 (t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是
(A)      (B)      (C)      (D)  
(4)已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,则
(A)a2=2b2    (B)3a2=4b2    (C)a=2b    (D)3a=4b
(5)若x,y满足 ,且y≥?1,则3x+y的最大值为
(A)?7    (B)1    (C)5    (D)7
(6)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2?m1= lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是?26.7,天狼星的星等是?1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
(A)1010.1     (B)10.1    (C)lg10.1       (D)10?10.1
(7)设点A,B,C不共线,则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
(A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件        (D)既不充分也不必要条件
(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C: 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
 
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
(A)①    (B)②    (C)①②    (D)①②③
第二部分(非选择题    共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________.
(10)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=?3,S5=?10,则a5=__________,Sn的最小值为__________.
(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.
 
(12)已知l,m是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m;    ②m∥ ;        ③l⊥ .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.
(13)设函数f(x)=ex+ae?x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.
(14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃、价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
在△ABC中,a=3,b?c=2,cosB= .
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)求sin(B–C)的值.
(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且 .
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;
(Ⅲ)设点G在PB上,且 .判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.
 
(17)(本小题13分)
改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额(元)
支付方式    (0,1000]    (1000,2000]    大于2000
仅使用A    18人    9人    3人
仅使用B    10人    14人    1人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
(18)(本小题14分)
已知抛物线C:x2=?2py经过点(2,?1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=?1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(19)(本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当 时,求证: ;
(Ⅲ)设 ,记 在区间 上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.
(20)(本小题13分)
已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im),若 ,则称新数列 为{an}的长度为m的递增子列.规定:数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列.
(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;
(Ⅱ)已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ,长度为q的递增子列的末项的最小值为 .若p<q,求证: < ;
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1,且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式.














绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)D        (2)B        (3)D        (4)B        (5)C        (6)A        (7)C        (8)C
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)         (10)0              (11)40        (12)若 , ,则 .(答案不唯一)
(13)             (14)130  15
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)由余弦定理 ,得
 .
因为 ,
所以 .
解得 .
所以 .
(Ⅱ)由 得 .
由正弦定理得 .
在 中,∠B是钝角,
所以∠C为锐角.
所以 .
所以 .
(16)(共14分)
解:(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)过A作AD的垂线交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.
如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2, 1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
因为E为PD的中点,所以E((0,1,1).
所以 .
所以 .
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则
 即 .
令z=1,则 .
于是 .
又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以 .
由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为 .
 
(Ⅲ)直线AG在平面AEF内.
因为点G在PB上,且 ,
所以 .
由(Ⅱ)知,平面AEF的法向量 .
所以 .
所以直线AG在平面AEF内.
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人.
所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为 .
(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.
由题设知,事件C,D相互独立,且 .
所以 ,
 
 
=0.4×(1?0.6)+(1?0.4)×0.6
=0.52,
所以X的分布列为
X    0    1    2
P    0.24    0.52    0.24
故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
(Ⅲ)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得 .
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)由抛物线 经过点 ,得 .
所以抛物线 的方程为 ,其准线方程为 .
(Ⅱ)抛物线 的焦点为 .
设直线 的方程为 .
由 得 .
设 ,则 .
直线 的方程为 .
令 ,得点A的横坐标 .
同理得点B的横坐标 .
设点 ,则 ,
 
 
 
 .
令 ,即 ,则 或 .
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点 和 .
(19)(共13分)
解:(Ⅰ)由 得 .
令 ,即 ,得 或 .
又 , ,
所以曲线 的斜率为1的切线方程是 与 ,
即 与 .
(Ⅱ)令 .
由 得 ,
令 得 或 .
 的情况如下:
 
 
 
 
 
 
 

所以 的最小值为 ,最大值为 .
故 ,即 .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
综上,当 最小时, .
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)1,3,5,6.(答案不唯一)
(Ⅱ)设长度为q末项为 的一个递增子列为 .
由p<q,得 .
因为 的长度为p的递增子列末项的最小值为 ,
又 是 的长度为p的递增子列,
所以 .
所以 ?
(Ⅲ)由题设知,所有正奇数都是 中的项.
先证明:若2m是 中的项,则2m必排在2m?1之前(m为正整数).
假设2m排在2m?1之后.
设 是数列 的长度为m末项为2m?1的递增子列,则 是数列 的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.
再证明:所有正偶数都是 中的项.
假设存在正偶数不是 中的项,设不在 中的最小的正偶数为2m.
因为2k排在2k?1之前(k=1,2,…,m?1),所以2k和2k-?1不可能在 的同一个递增子列中.
又 中不超过2m+1的数为1,2,…,2m?2,2m?1,2m+1,所以 的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为 .
与已知矛盾.
最后证明:2m排在2m?3之后(m≥2为整数).
假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m?3之前,则 的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于 .与已知矛盾.
综上,数列 只可能为2,1,4,3,…,2m?3,2m,2m?1,….
经验证,数列2,1,4,3,…,2m?3,2m,2m?1,…符合条件.
所以

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