江苏七市2019届高三数学第三次调研试题(含答案)

时间:2019-05-16 作者: 试题来源:网络

江苏七市2019届高三数学第三次调研试题(含答案)

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章来源 莲山
课件 w ww.
5 Y k J.coM

2019届高三模拟考试试卷
数  学
(满分160分,考试时间120分钟)
2019.5
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合U={-1,0,2,3},A={0,3},则?UA=________.
2. 已知复数z=a+i1+3i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为________.
 
3. 右图是一个算法流程图.若输出y的值为4时,则输入x的值为________. 
4. 已知一组数据6,6,9,x,y的平均数是8,且xy=90,则该组数据的方差为________.
5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球,其中有3只白球,1只红球.从中1次随机摸出2只球,则2只球都是白色的概率为________.
6. 已知函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,则不等式f(x)>f(-x)的解集为____________. 
7. 已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn.若a3-a2=4,a4=16,则S3的值为________.
8. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点.若△AOB的面积为ab4,则该双曲线的离心率为________.
9. 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3 cm,BC=1 cm,CD=2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成几何体的体积为________cm3.
10. 在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=sin 2x与y=18tan x在(π2,π)上交点的横坐标为α,则sin 2α的值为________.
11. 如图,在正六边形ABCDEF中,若AD→=λAC→+μAE→(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.
 (第11题)
     (第12题)

12. 如图,有一壁画,最高点A处离地面6 m,最低点B处离地面3.5 m.若从离地高2 m的C处观赏它,则离墙________m时,视角θ最大.
13. 已知函数f(x)=x2-2x+3a,g(x)=2x-1.若对任意x1∈[0,3],总存在x2∈[2,3],使得|f(x1)|≤g(x2)成立,则实数a的值为________.
14. 在平面四边形ABCD中,∠BAD=90°,AB=2,AD=1.若AB→?AC→+BA→?BC→=43CA→?CB→,则CB+12CD的最小值为________.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin C).
(1) 求角C的值;
(2) 若a=4b,求sin B的值.








16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为平行四边形,平面BPC⊥平面DPC,BP=BC,点E,F分别是PC,AD的中点.求证:
(1) BE⊥CD;
(2) EF∥平面PAB.
 (本小题满分14分)
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A(0,3),圆O:x2+y2=a24经过点M(0,1).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 过点M作直线l1交椭圆C于P,Q两点,过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3,求直线l1的斜率.
 
 
18. (本小题满分16分)
南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处,点A′落在牛皮纸上,沿A′E,A′F裁剪并展开,得到风筝面AEA′F,如图1.
(1) 若点E恰好与点B重合,且点A′在BD上,如图2,求风筝面ABA′F的面积;
(2) 当风筝面AEA′F的面积为3 m2时,求点A′到AB距离的最大值.
 


 
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}满足(nan-1-2)an=(2an-1)an-1(n≥2),bn=1an-n(n∈N*).
(1) 若a1=3,求证:数列{bn}是等比数列;
(2) 若存在k∈N*,使得1ak,1ak+1,1ak+2成等差数列.
①求数列{an}的通项公式;
②求证:ln n+12an>ln(n+1)-12an+1.
 
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax21+ln x(a≠0),e是自然对数的底数.
(1) 当a>0时,求f(x)的单调增区间;
(2) 若对任意的x≥12,f(x)≥2eb-1(b∈R),求ba的最大值;
(3) 若f(x)的极大值为-2,求不等式f(x)+ex<0的解集.

 

2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. (选修42:矩阵与变换)
已知a,b,c,d∈R,矩阵A=a-20 b的逆矩阵A-1=1cd1.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y=2x+1,求曲线C的方程.






B. (选修44:坐标系与参数方程)
在直角坐标平面内,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A,B的极坐标分别为(4,π2),(22,5π4),曲线C的方程为ρ=r(r>0).
(1) 求直线AB的直角坐标方程;
(2) 若直线AB和曲线C有且只有一个公共点,求r的值.






C.(选修45:不等式选讲)
已知a∈R,若关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a|=0有实根,求a的取值范围.
 
【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响.已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分.经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.
          表1
文章学习积分    1    2    3    4    5
概率    19
19
19
16
12

       表2
视频学习积分    2    4    6
概率    16
13
12


(1) 现随机抽取1人了解学习情况,求其每日学习积分不低于9分的概率;
(2) 现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望.












 
(1) 求2P2-Q2的值;
(2) 化简nPn-Qn.
 

2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)
数学参考答案及评分标准

1. {-1,2} 2. -3 3. -1 4. 145 5. 12 6. (-2,0)∪(2,+∞) 7. 14 8. 2 9. 7π3 10. -158
11. 43 12. 6 13. -13 14. 262
15. 解:(1) 在△ABC中, 因为a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin C),
由正弦定理asin A=bsin B=csin C,
所以a(a-b)=(b+c)(c-b),(3分)
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得cos C=12.(5分)
因为0<C<π,所以C=π3.(7分)
(2) (解法1)因为a=4b及a2+b2-c2=ab,
得c2=16b2+b2-4b2=13b2,即c=13b.(10分)
由正弦定理csin C=bsin B,得13b32=bsin B,所以sin B=3926.(14分)
(解法2)由正弦定理asin A=bsin B,得sin A=4sin B.
由A+B+C=π,得sin(B+C)=4sin B.
因为C=π3,所以12sin B+32cos B=4sin B,即7sin B=3cos B.(11分)
因为sin2B+cos2B=1,解得sin2B=352.
在△ABC中,因为sin B>0,所以sin B=3926.(14分)
16. 证明:(1) 在△PBC中,因为BP=BC,点E是PC的中点,所以BE⊥PC.(2分)
因为平面BPC⊥平面DPC,平面BPC∩平面DPC=PC,BE?平面BPC,
所以BE⊥平面PCD.(5分)
因为CD 平面DPC,所以BE⊥CD.(7分)
 
(2) 如图,取PB的中点H,连结EH,AH.
在△PBC中,因为点E是PC的中点,
所以HE∥BC,HE=12BC.(9分)
又底面ABCD是平行四边形,点F是AD的中点,
所以AF∥BC,AF=12BC.
所以HE∥AF,HE=AF,
所以四边形AFEH是平行四边形,
所以EF∥HA.(12分)
因为EF 平面PAB,HA 平面PAB,所以EF∥平面PAB.(14分)
17. 解:(1) 因为椭圆C的上顶点为A(0,3),所以b=3.
又圆O:x2+y2=14a2经过点M(0,1),所以a=2.(2分)
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(4分)
(2) 若直线l1的斜率为0,则PQ=463,MN=2,
所以△PQN的面积为463,不合题意,所以直线l1的斜率不为0.(5分)
设直线l1的方程为y=kx+1,
由x24+y23=1,y=kx+1消y,得(3+4k2)x2+8kx-8=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1=-4k-26?2k2+13+4k2,x2=-4k+26?2k2+13+4k2,
所以PQ=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2x1-x2=46?1+k2?2k2+13+4k2.(8分)
由题可知,直线l2的方程为y=-1kx+1,即x+ky-k=0,
所以MN=21-k21+k2=21+k2.(11分)
所以△PQN的面积S=12PQ?MN=12×46?1+k2?2k2+13+4k2?21+k2=3,
解得k=±12,即直线l1的斜率为±12.(14分)
 
18. 解:(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系,
则B(2,0),D(0,32),
直线BD的方程为3x+4y-6=0.(2分)
设F(0,b)(b>0),
因为点F到AB与BD的距离相等,
所以b=|4b-6|5,解得b=23或b=-6(舍去).(4分)
所以△ABF的面积为12×2×23=23 m2,
所以四边形ABA′F的面积为43 m2.
答:风筝面ABA′F的面积为43 m2.(6分)
(解法2)设∠ABF=θ,则∠ABA′=2θ.
在直角三角形ABD中,tan 2θ=ADAB=34,(2分)
所以2tan θ1-tan2θ=34,解得tan θ=13或tan θ=-3(舍去).
所以AF=ABtan θ=23.(4分)
所以△ABF的面积为12×2×23=23 m2,所以四边形ABA′F的面积为43 m2.
答:风筝面ABA′F的面积为43 m2.(6分)
 
(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系.
设AE=a,AF=b,A′(x0,y0),
则直线EF的方程为bx+ay-ab=0.
因为点A,A′关于直线EF对称,
所以y0x0=ab,bx02+ay02-ab=0,
解得y0=2a2ba2+b2.(10分)
因为四边形AEA′F的面积为3,所以ab=3,所以y0=23a3a4+3=23a+3a3.
因为0<a≤2,0<b≤32,所以233≤a≤2.(12分)
设f(a)=a+3a3,233≤a≤2,则f′(a)=1-9a4=(a2+3)(a+3)(a-3)a4.
令f′(a)=0,得a=3或a=-3(舍去).
列表如下:

a    [233,3)
3
(3,2]

f′(a)    -    0    +
f(a)    单调递减    极小值    单调递增
当a=3时,f(a)取得极小值,即最小值433,
所以y0的最大值为32,此时点A′在CD上,a=3,b=1.
答:点A′到AB距离的最大值为32 m.(16分)
 
(解法2)设AE=a,∠AEF=θ,则AF=atan θ.
因为四边形AEA′F的面积为3,所以AE?AF=3,
即a2tan θ=3,所以tan θ=3a2.
过点A′作AB的垂线A′T,垂足为T,
则A′T=A′E?sin 2θ=AE?sin 2θ=asin 2θ(10分)
=a?2sin θcos θsin2θ+cos2θ=a?2tan θtan2θ+1=a?2×3a23a4+1=23a+3a3.
因为0<AE≤2,0<AF≤32,所以233≤a≤2.(12分)
(下同解法1)
19. (1) 证明:由(nan-1-2)an=(2an-1)an-1,得1an=2an-1+2-n,
得1an-n=21an-1-(n-1),即bn=2bn-1.
因为a1=3,所以b1=1a1-1=-23≠0,所以bnbn-1=2(n≥2),
所以数列{bn}是以b1为首项,2为公比的等比数列.(4分)
(2) ①解:设1a1-1=λ,由(1)知bn=2bn-1,
所以bn=2bn-1=22bn-2=…=2n-1b1,即1an-n=λ?2n-1,
所以1ak=λ?2k-1+k.(6分)
因为1ak,1ak+1,1ak+2成等差数列,则(λ?2k-1+k)+(λ?2k+1+k+2)=2(λ?2k+k+1),
所以λ?2k-1=0,所以λ=0,所以1an=n,即an=1n.(10分)
②证明:要证ln n+12an>ln(n+1)-12an+1,
即证12(an+an+1)>lnn+1n,即证1n+1n+1>2lnn+1n.
设t=n+1n,则1n+1n+1=t-1+t-1t=t-1t,且t>1,
从而只需证:当t>1时,t-1t>2ln t.(12分)
设f(x)=x-1x-2ln x(x>1),则f′(x)=1+1x2-2x=(1x-1)2>0,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即x-1x>2ln x.
因为t>1,所以t-1t>2ln t,所以原不等式得证.(16分)
20. 解:(1) f(x)的定义域为(0,e-1)∪(e-1,+∞).
由f′(x)=2ax(1+ln x)-ax2?1x(1+ln x)2=2ax(12+ln x)(1+ln x)2,(2分)
令f′(x)>0,因为a>0,得x>e-12.
因为e-12>e-1,所以f(x)的单调增区间是(e-12,+∞).(4分)
(2) 当a<0时,f(1)=a<0<2eb-1,不合题意;
当a>0时,令f′(x)<0,得0<x<e-1或e-1<x<e-12,
所以f(x)在区间(0,e-1)和(e-1,e-12)上单调递减.
因为12∈(e-1,e-12),且f(x)在区间(e-12,+∞)上单调递增,
所以f(x)在x=e-12处取极小值2ae,即最小值为2ae.(6分)
若?x≥12,f(x)≥2eb-1,则2ae≥2eb-1,即a≥eb.
不妨设b>0,则ba≤beb.(8分)
设g(b)=beb(b>0),则g′(b)=1-beb.
当0<b<1时,g′(b)>0;当b>1时,g′(b)<0,
所以g(b)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g(b)≤g(1),即beb≤1e,
所以ba的最大值为1e.(10分)
(3) 由(2)知,当a>0时,f(x)无极大值.
当a<0时,f(x)在(0,e-1)和(e-1,e-12)上单调递增,在(e-12,+∞)上单调递减,
所以f(x)在x=e-12处取极大值,所以f(e-12)=2ae=-2,即a=-e.(12分)
设F(x)=f(x)+ex,即F(x)=ex-ex21+ln x,
当x∈(0,e-1),1+ln x<0,所以F(x)>0;
当x∈(e-1,+∞),F′(x)=ex-ex(1+2ln x)(1+ln x)2,
由(2)知ex≤ex,又1+2ln x≤(1+ln x)2,
所以F′(x)≥0,且F(x)不恒为零,所以F(x)在(e-1,+∞)上单调递增.
不等式f(x)+ex<0,即为F(x)<0=F(1),所以e-1<x<1,即不等式的解集为(e-1,1).(16分)
 

2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解: 由题意,得AA-1=1001,即a-20 b1cd1=a-2dac-2bdb=1001,
所以a=1,b=1,c=2,d=0,即矩阵A=1-20 1.(5分)
设P(x,y)为曲线C上的任意一点,在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),
则 x′y′=1-20 1xy,即x′=x-2y,y′=y.(8分)
由已知条件可知P′(x′,y′)满足y=2x+1,整理得2x-5y+1=0,
所以曲线C的方程为2x-5y+1=0.(10分)
B. 解:(1) 分别将A(4,π2),B(22,5π4)转化为直角坐标,即A(0,4),B(-2,-2),
所以直线AB的直角坐标方程为3x-y+4=0.(4分)
(2) 曲线C的方程为ρ=r(r>0),其直角坐标方程为x2+y2=r2.
又直线AB和曲线C有且只有一个公共点,即直线与圆相切,
所以圆心到直线AB的距离为432+12=2105,即r的值为2105.(10分)
C. 解:因为关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a|=0有实根,
所以Δ=16-4(|a-1|+|a|)≥0,即|a-1|+|a|≤4.(4分)
当a≥1时,2a-1≤4,得1≤a≤52;
当0<a<1时,1≤4,恒成立,即0<a<1;
当a≤0时,1-2a≤4,得-32≤a≤0.
综上,所求a的取值范围是-32≤a≤52.(10分)
22. 解:(1) 由题意,获得的积分不低于9分的情形有

文章    3    4    5    5
视频    6    6    4    6
因为两类学习互不影响,
所以概率P=19×12+16×12+12×13+12×12=59,
所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分)
(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59,则
P(ξ=0)=(49)3=64729;P(ξ=1)=C13(59)(49)2=240729;
P(ξ=2)=C23(59)2(49)=300729;P(ξ=3)=(59)3=125729.
所以随机变量ξ的概率分布列为

ξ    0    1    2    3
P    64729
240729
300729
125729


(8分)
所以E(ξ)=0×64729+1×240729+2×300729+3×125729=53.
所以随机变量ξ的数学期望为53.(10分)
23. 解:(1) 由题可知P2=1C04-1C14+1C24-1C34+1C44=53,Q2=-1C14+2C24-3C34+4C44=103,
所以2P2-Q2=0.(2分)
(2) 设T=nPn-Qn,
则T=(nC02n-nC12n+nC22n-…+nC2n2n)-(-1C12n+2C22n-3C32n+…+2nC2n2n)
=nC02n-n-1C12n+n-2C22n-n-3C32n+…+-nC2n2n ①.(6分)
因为Ck2n=C2n-k2n,
所以T=nC2n2n-n-1C2n-12n+n-2C2n-22n-n-3C2n-32n+…+-nC02n
=-nC02n-1-nC12n+2-nC22n-3-nC32n+…+nC2n2n ②,
①+②,得2T=0,即T=nPn-Qn=0,
所以nPn-Qn=0.(10分)


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