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北京东城区2019届高三数学(理)二模试题(附答案)

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 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)
                                            2019.5
数学    (理科)
本试卷共4页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案 答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结 束后,将答题卡交回。
第一部分(选择题  共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合 ,则
  (A)          (B)        (C)              (D)  
(2)执行如图所示的程序框图,输入 ,那么输出的 的值分别为
(A) ,               (B) ,
(C) ,               (D) ,  
(3)已知向量 与 不共线,且  , 若 三点共线,则实数 满足的条件为
 (A)                    (B)               
(C)                     (D)

(4)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春
   秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁
 及其六个构件的图片,下图是其中一个构件的三视图(单位: ),
 则此构件的体积为  








(A)        (B)       (C)     (D)
(5)已知 是等差数列 的前 项和,则“ 对 恒成立”是“ ”的
 (A ) 充分而不必要条件                        (B) 必要而不充分条件          
 (C) 充分必要条件                            (D)既不充分也不必要条件

(6)教室的图书角摆放了一些阅读书目,其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著,现从这9本书中选出3本,则不同的选法种数为
(A) 84                (B) 42               (C)                  (D)

(7)已知正方体 的棱长为 , 是底面 上的动点, ,则满足条件的点 构成的图形的面积等于
(A)               (B)              (C)               (D)  

(8)在交通工程学中,常作如下定义:
交通流量 (辆/小时):单位时间内通过某一道路横断面的车辆数;
车流速度 (千米/小时):单位时间内车流平均行驶的距离;
车流密度 (辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.
一般的,  和 满足一个线性关系: (其中 是正数),则以下说法正确的是
(A) 随着车流密度的增大,车流速度在逐渐增大             
(B) 随着车流密度的增大,交通流量在逐渐增大             
(C) 随着车流速度的增大,交通流量先减小、后增大              
(D) 随着车流速度的增大,交通流量先增大、后减小

第二部分(非选择题  共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
( 9 )已知复数 在复平面内对应的点为 ,则 关于虚轴对称的点位于第         象限.
( 10 )已知 , ,若 , ,则满足条件的 可以为_____.
( 11)椭圆 与曲线 关于直线 对称, 与 分别在第一、二、三、四象限交于点 若四边形 的面积为4,则点 的坐标为_______,  的离心率为__    .     
( 12)将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 =    .
(13)设关于 的不等式组 表示的平面区域为钝角三角形及其内部,则 的取值范围是      .    
(14)已知函数 ,,对于任意实数 ,当 时,记 的最大值为 .
 ①若 ,则      ;
②若 则 的 取值范围是      .


三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
如图,在四边形 中,  
(Ⅰ)求 的正弦值;
(Ⅱ)若 ,且△ 的面积是△ 面积的4倍,求 的 长.


(16)(本小题13分)
某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:
日期    1日    2日    3日    4日    5日    6日    7日    8日    9日    10日
元件A个数    9    15    12    18    12    18    9    9    24    12

日期    11日    12日    13日    14日    15日    16日    17日    18日    19日    20日
元件A个数    12    2 4    15    15    15    12    15    15    15    24
从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.
(Ⅰ)求 的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若 ,且 ,求 最大值;
(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增 加几名维修工人? (只需写出结论)

 

(17)(本小题14分)
如图,四边形 和三角形 所在平面互相垂直, ∥ , , , , , ,平面 与平面 交于 .
(Ⅰ)求证:  ;
(Ⅱ)若 ,求二面角 余弦值;
(Ⅲ)在线段 上是否存在点 使得 ?若存在,求 的长;
若不存在,说明理由.

(18)(本小题13分)
已知点 到抛物线 准线的距离为2.
 (Ⅰ)求C的方程及焦点F的坐标;
(Ⅱ)设点 关于原点 的对称点为点 ,过点 作不经过点 的直线与  交于两点 ,直线 分别交 轴于 两点.求 的值.
(19)(本小题14分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若不等式 在区间 上恒成立,求实数 的取值范 围.
(20)(本小题13分)
若 行 列的数表  满足:  ,  , ,记这样的一个数表为  .对于 记集合  表示集合 中元素的个数.
(Ⅰ)已知 写出 的 值;
(Ⅱ)是否存在数表 满足 若存在,求出 ,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)对于数表 ,求证: .[]
 

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)
2019.5         
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A            (2)D           (3)C           ( 4)C
(5)C            (6)B           (7)A           (8)D
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
 (9)四                                      (10) (答案不唯一)
(11)                               (12)    
(13)                          (14)     
    
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)在△ 中,设 ,
由余弦定理得 ,
整理得 ,解得 .
所以
由正弦定理得 ,解得              ............................6分[]
    (Ⅱ)由已知得 ,
所以 ,
化简得  
所以    
        于是
        因为 ,且 为锐角,
        所以 .
        因此                                                           ...............13分
(16)(共13 分)
解:(Ⅰ)由题意可知, X的所有可能取值为  ,
且 ; ; ;
 ; .
所以 的分布列为:
X    9    12    15    18    2 4
P    
 
 
 
 

故 的数学期望 .............................5分
(Ⅱ)当 取到最大值时,
      的只可能为: 或 或
     经计算 , , ,
     所以 的最大值为 .                        ............................10分
                
(Ⅲ)至少增加2人                                                   ........................... .13分

(17)(共14分)
解:(Ⅰ)在四边形 中, ∥ .
         因为 平面 , 平面 ,
         所以 ∥平面 .
因为 平面 ,且平面 平面 ,
所以 ∥ .                                         ............................4分
                              
(Ⅱ)如图,取 的中点 ,连接 , .在等腰△ 中,
因为平面 平面 ,交线为 ,
又 ,所以 平面 .
所以
       由题意易得
如图建立空间直角坐标系 ,
则  , , ,
       , .[
       因为 ,所以 .
设平面 的法向量为                        
则  即  
        令 ,则 .
于是 .
又平面 的法向量为 ,
      所以 .
        由题知二面角 为锐角,
         所以二面角 的余弦值为 .                          ............................9分
(Ⅲ)不存在满足条件的点 ,使 ,理由如下:
若 ,则 .
因为点 为线段 上的动点,设 , .
       则 ,
       解得 .
       所以 , .[]
           所以 .
           整理得 ,此方程无实根.
所以线段 上不存在点 ,使 .                   ............................14分
                                                    
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)由已知得 ,所以
所以抛物线 的方程为 ,焦点 的坐标为                 ............................4分
(II)设点 , ,由已知得 ,
由题意直线 斜率存在且不为0.
设直线 的方程为  .
由 得 ,
则 .
因为点 在抛物线 上,所以 , ,
 ,
因为  轴,
所以 [
  .
所以 的值为 2.                                          ............................13分


(19)(共14分)
解: (Ⅰ)因为 ,
           所以 , , ,
所以曲线 在点 处的切线方程为            .......................... ..5分
(Ⅱ)因为 ,所以 , ,
当 时, 恒成立, 恒成立,
所以不等式 在区间 上恒成立.
当 时, 设 ,
 ,
若 , , ,
所以 在区间 上恒成立;
若 , , , ,
所以 在区间 上恒成立;
所以 在区间 上单调递增,
所以当 时,不等式 在区间 上恒成立;
当 时,令 ,
 , 在区间 上恒成立,
所以 在区间 上单调递增, , ,
所以存在 ,使得 .
当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增;
当 时, , 取得极小值;
而 ,所以 ,所以不等式 在区间 上不能恒成立,
所以不等式 在区间 上恒成立时实数 的取值范围是 ..............14分
    
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)  .                                         ............................3分
(Ⅱ)不存在数表 ,使得 .理由如下:
       假设存在 ,使得 .不妨设 ,
 的可能值为 .
当 时,经验证这样的 不存在.
当 时,有 ,这说明此方程组至少有两个方程的解 相同,
不妨设 ,所以有 ,
这也说明此方程组至少有两个方程的解相同,
这样的 只能为 或 ,
这两种情况都与 矛盾.                                  ..............8分

(Ⅲ) 在数表 中,将 换成 ,这将形成 ,
由于 ,可得
 
从而 .
当 时,由于 ,
所以任两行相同位置的1的个数 .
又由于 ,而从1到 的整数个数 ,从而
                                  ..............13分                                 

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