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北京东城区2019届高三数学(文)二模试题(含答案)

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北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)
            高三数学    (文科)          2019.5
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题  共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合 ,则  
(A)   (B)     (C)  (D)
(2)下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的是  
(A)     (B)         
(C)     (D)
(3)执行如图所示的程序框图,输入 ,那么输出的 的值
分别为
(A)               (B)
(C)               (D)
(4)若 满 足 ,则点 到点 距离的最小值为  
(A)     (B)             
(C)     (D)
(5)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春
   秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六
个构件的图片,下图是其中一个构件的三视图,则此构件的
体积为










(A)        (B)       (C)     (D)
(6)已知 为正整数,且 ,则在数列 中,“ ”是“ 是等比数列”的  
(A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件        (D) 既不充分也不必要条件
(7)如图,在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,终
边分别是射线OA和射线OB. 射线OA,OC与单位圆的交点分别为
 , . 若 ,则 的值是  
(A)                             (B)        
(C)                             (D)
(8)在交通工程学中,常作如下定义:
交通流量 (辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;
车流速度 (千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;
车流密度 (辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.
  一般的, 和 满足一个线性关系,即 (其中 是正数),则以下说法正确的是
    (A)随着车流密度增大,车流速度增大
(B)随着车流密度增大,交通流量增大
(C)随着车流密度增大,交通流量先减小,后增大
(D)随着车流密度增大,交通流量先增大,后减小

第二部分(非选择题  共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
( 9 )双曲线 的渐近线方程为           .  
(10)复数 的实部为          ;虚部为            .
(11)在 中, , , ,则            ; ____________.
(12)已知 , , ,则满足 的一个正整数 为             .
(13)如图,矩形 中, , , 为 的中点.
当点 在 边上时, 的值为        ;当点 沿着
 , 与 边运动时, 的最小值为         .
(14)已知直线 过点 ,过点 作直线 ,垂足为 ,则点 到点 距离的取值范围为         .

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步 骤或证明过 程。
(15)(本小题13分)
设数列 满足: , .
(Ⅰ)求 的通项公式及前 项和 ;
(Ⅱ)若等差数列 满足 ,  ,问: 与 的第几项相等?








[Z,X,X,K]

(16)(本小题13分)
已知函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)若对于任意的 , 恒成立,求 的最大值.


(17)(本小题13分 )
某工厂的机器上存在一种易损元件,这种元件发生损坏时,需要及时维修. 现有甲、乙两名工 人同时
从事这项工作,下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.
[
日期    1日    2日    3日    4日    5日    6日    7日    8日    9日    10日
甲维修的元件数    3[    5    4    6    4    6     3    7    8    4
乙维修的元件数    4    7    4    5    5    4    5    5    4    7

(I)从这 天中,随机选取一天,求甲维修的元件数不少于5件的概率;
(II)试比较这10天中甲维修的元件数的方差 与乙维修的元件数的方差 的大小.(只需写出结论);
(III)由于甲、乙的任务量大,拟增加工人,为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件,请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.


(18)(本小题14分)
如图所示的五面体 中,平面  平面 ,  , , ∥ , , , .
(Ⅰ)求四棱锥 的体积;
(Ⅱ)求证: ∥平面 ;
(Ⅲ)设点 为线段 上的动点,求证: 与 不垂直.




(19)(本小题13分)
      已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求证: .





(20)(本小题14分)
已知椭圆 的一个焦点为 ,离心率为  . 为椭圆 的左顶点, 为
椭圆 上异于 的两个动点,直线 与直线 分 别交于 两点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)若 与 的面积之比为 ,求 的坐标;
(III)设直线 与 轴交于点 ,若 三点共线,求证: .

 

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)
             数学(文科)参考答案及评分标准         2019.5
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A            (2)D           (3)D           (4)C
(5)C            (6)B           (7)C           (8)D
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)              (10) ;           (11) ;               
  (12) 0 (答案不唯一)   (13) ;           (14)     
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)    (共13分)
解: (Ⅰ)依题意,数列 满足: , ,
所以 是首项为1,公比为 的等比数列.
则 的通项公式为 ,
前 项和 .   ………………… …… . 7分
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知, ,  ,
因为 为等差数列,  .
所以 的通项公式为 .
所以 .
令 ,解得 .
所以 与数列 的第 项相等.           …………………..13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)由图象可知, .
         因为 ,所以 .
所以 . 解得 .
又因为函数 的图象经过点 ,所以  .
解得 .
又因为 ,所以 .
所以 .   …………………………………………………………. 7分
(Ⅱ)因为   ,所以 ,
当 时,即 时,  单调递增,
所以 ,符合题意;
当 时,即 时, 单调递减,
所以 ,符合题意;
当 时,即 时, 单调递减,
所以 ,不符合题意;
综上,若对于任意的 ,有 恒成立,则必有 ,
所以 的最大值是 .          ………………………………………..13分
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)设 表示事件“从这 天中,随机选取一天,甲 维修元件数不少于5”.
根据题意, .  …………………… ……………………………….4分
(Ⅱ) . ……………………………………………………………………………………….8分
(Ⅲ)设增加工人后有 名工人.
因为每天维修的元件的平均数为
所以这 名工人每天维修的元件的平均数为 .
令 . 解得 . 所以 的最小值为4.
为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件,至少应增加2名工人
……….13分

(18)(共14分)
解:(Ⅰ)取 中点 ,连接 .
         在△ 中, ,
         所以 .
因为平面 平面 ,
平面 平面 ,
 平面 ,
         所以 平面 .
又因为 , ,所 以 .
因为 ∥ , , , ,
所以 .
所以 .  …………….5分
(Ⅱ)因为 ∥ , 平面 , 平面 ,
          所以 ∥平面 .
又因为 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ .
因为 平面 , 平面 ,
所以 ∥平面 .……… …….10分
(Ⅲ)连接 ,假设 .
由(Ⅰ)知 平面 ,
          因为 平面 ,所以 .
因为 , 且 ,                        
          所以 平面 .
          因为 平面 ,
          所以 .
          在△ 中, ,
          所以 .
          所以 .
          这与 矛盾.
          所以假设不成立,即 与 不垂直.…………….14分

(19)(共13分)
 解:(Ⅰ) 定义域为 , .
 .   .
所以曲线 在 处的切线方程为 .
即 .…………….5分
(Ⅱ)记 .
 .
由 解得 .
 与 在区间 上的情况如下:
 
 
 
 

 
 
 []
 

 
↘    极小     ↗
所以 在 时取得最 小值 .
所以 .所以 .
所以 在 上单调递增 .
又由 知,
当 时, , ,所以 ;
当 时, , ,所以 .
所以 .  ………………………………13分

(20)(共14分)
解:(I)由 题意得 解得
因为 ,所以 .
所以椭圆 的方程为 .  ………………………………4分
(II)因为 与 的面积之比为 ,
所以 .
所以 .
设 ,则 ,
解得 .
将其代入 ,解得 .
所以 的坐标为 或 . ……………………………… 8分
(III)设 ,
若 ,则 为椭圆 的右顶点,由  三点共线知, 为椭圆 的左顶点,
不符合题意.
所以 .同理 .
直线 的方程为 .
由 消去 ,整理得 .
 成立.
由 ,解得 .
所以 .
所以 .
当 时, , ,即直线 轴.
由椭圆的对称性可得 .
又因为 ,
所以 .
当 时, ,
直线 的斜率 .
同理 .
因为 三点共线,
所以 .
所以 .
在  和 中,
 , ,
所以 .
因为 均为锐角,
所以 .
综上,若 三点共线,则 . ………………………………14分

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