湖南师大附中2019届高考文科数学模拟试题(二)有解析

时间:2019-05-16 作者: 试题来源:网络

湖南师大附中2019届高考文科数学模拟试题(二)有解析

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湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共10页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
                              

1.设A、B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A且x?B},若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=(D)
A.{0,1}  B.{1,2}
C.{0,1,2}  D.{0,1,2,5}
2.已知a、b是实数,则“a2b>ab2”是“1a<1b”的(C)
A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件
C.充要条件  D.既不充分也不必要条件
【解析】由a2b>ab2,得ab(a-b)>0,若a-b>0,即a>b,则ab>0,则1a<1b成立,若a-b<0,即a<b,则ab<0,则a<0,b>0,则1a<1b成立,若1a<1b,则b-aab<0,即ab(a-b)>0,即a2b>ab2成立.即“a2b>ab2”是“1a<1b”的充要条件,故选C.
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2?a6?a10=33,b1+b6+b11=7π,则tan b2+b101-a3?a9的值是(D)
A.1  B.22  
C.-22  D.-3
【解析】{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a2?a6?a10=33,b1+b6+b11=7π,∴a36=(3)3,3b6=7π,∴a6=3,b6=7π3,∴tan b2+b101-a3?a9=tan 2b61-a26=tan 2×7π31-(3)2=tan -7π3=tan -2π-π3=-tan π3=-3.故选D.
4.某校为了解本校高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将他们随机编号为1,2,…,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中,编号落在区间[1,200]的人做试卷B,编号落在[201,560]的人做试卷B,其余的人做试卷C,则做试卷C的人数为(B)
A.10  B.12  C.18  D.28
5.执行如图的程序框图,则输出的S值为(D)
 
A.1  B.32  C.-12  D.0
【解析】由图知本程序的功能是执行S=cos 0+cos π3+cos 2π3+…+cos 2 019π3,此处注意程序结束时n=2 019,由余弦函数和诱导公式易得:cos 0+cos π3+cos 2π3+cos 3π3+cos 4π3+cos 5π3=0,周期为6,2 020=336×6+4,S=cos 0+cos π3+cos 2π3+…+cos 2 019π3=336×0+1+12-12-1=0,故选D.
6.多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM的长为(C)
 
A.3  B.5  
C.6  D.22
 
7.下图是函数y=Asin(ωx+φ),x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2,在区间-π6,5π6上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点(D)
A.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变
C.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变
8.若3x=2,y=ln 2,z=5-12,则(C)
A.x<y<z  B.y<z<x  
C.z<x<y  D.z<y<x
【解析】∵x=log32>log33=12,y=ln 2>ln e=12,x=log32=ln 2ln 3<ln 2=y,z=5-12<4-12=12,∴z<x<y.故选C.
 
9.已知平面α∩平面β=直线l,点A、C∈α,点B、D∈β,且A、B、C、D?l,点M、N分别是线段AB、CD的中点,则下列说法正确的是(B)
A.当|CD|=2|AB|时,M、N不可能重合
B.M、N可能重合,但此时直线AC与l不可能相交
C.当直线AB、CD相交,且AC∥l时,BD可与l相交
D.当直线AB、CD异面时,MN可能与l平行
【解析】对于A,当|CD|=2|AB|时,若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时,则M、N两点能重合.故A不对;对于B,若M、N两点可能重合,则AC∥BD,故AC∥l,此时直线AC与直线l不可能相交,故B对;对于C,当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l平行,故C不对;对于D,当AB、CD是异面直线时,MN不可能与l平行,从而D不对,故选B.
10.若存在实数x,y使不等式组x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0与不等式x-2y+m≤0都成立,则实数m的取值范围是(B)
A.m≥0  B.m≤3  C.m≥1  D.m≥3
【解析】作出不等式组x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(4,2),B(1,1),C(3,3).设z=F(x,y)=x-2y,将直线l:z=x-2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值,可得z最大值=F(4,2)=0;当l经过点C时,目标函数z达到最小值,可得z最小值=F(3,3)=-3,因此,z=x-2y的取值范围为[-3,0],∵存在实数m,使不等式x-2y+m≤0成立,即存在实数m,使x-2y≤-m成立,∴-m大于或等于z=x-2y的最小值,即-3≤-m,解之得m≤3,故选B.

 
11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限A、B两点,若∠ACB=π3,且OB=3OA其中O为坐标原点,则双曲线的离心率为(D)
A.2133  B.133  
C.2135  D.213
【解析】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为:y=bax,圆C:x2+(y-b)2=4的圆心坐标为(0,b),半径为2,由∠ACB=π3所以三角形ABC是边长为2的等边三角形,故AB=2,OA=1,圆心到直线y=bax的距离为3,在△OBC,△OAC中,由余弦定理得cos∠BOC=b2+1-42b=32+b2-46b,解得b2=7圆心到直线y=bax的距离为3,有abc=3,∴ca=73=213,故选D.
12.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列an满足f(an+1)f11+an=1n∈N*,且a1=f(0),则下列结论成立的是(A)
A.fa2 016>fa2 018  B.fa2 017>fa2 020
C.fa2 018>fa2 019  D.fa2 016>fa2 019
【解析】由题意可知,不妨设f(x)=12x,则f(0)=1,∵f(an+1)f11+an=1=f(0),∴则an+1+11+an=0,即an+1=-11+an且a1=1,当n=1时,a2=-12;当n=2时,a3=-2;当n=3时,a4=1,所以数列an是以3为周期的周期数列;a2 016=a3=-2,a2 017=a1=1,a2 018=a2=-12,a2 019=a3=-2,a2 020=a1=1,又因为f(x)=12x是单调递减函数,所以fa2 016>fa2 018.故答案选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
13.已知a=(3,4),b=(t,-6),且a,b共线,则向量a在b方向上的投影为__-5__.
14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3(acos C-ccos A)=b,B=60°,则A的大小为__75°__.
【解析】由3(acos C-ccos A)=b及正弦定理得3(sin Acos C-sin Ccos A)=sin B,即3sin(A-C)=32,sin (A-C)=12,∴A-C=30°,又∵A+C=180°-B=120°,∴2A=150°,得A=75°.
15.已知点A(-2,0)、B(0,2),若点C是圆x2-2ax+y2+a2-1=0上的动点,△ABC面积的最小值为3-2,则a的值为__1或-5__.
【解析】圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,圆心M(a,0)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=|a+2|2,圆上的点到直线AB的最短距离为d-1=|a+2|2-1,(S△ABC)min=12×22×|a+2|-22=3-2,解得a=1或a=-5.
16.已知函数g(x)=a-x21e≤x≤e,e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是__[1,e2-2]__.
【解析】因为函数g(x)=a-x21e≤x≤e,e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点,等价于a-x2=-2ln x?-a=2ln x-x2,在1e,e上有解,设f(x)=2ln x-x2,求导得f(x)=2x-2x=2(1+x)(1-x)x,∵1e≤x≤e,∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值点,f(x)在1e,1上单调递增,在[1,e]上单调递减,f(x)max=f(1)=-1,∵f1e=-2-1e2,f(e)=2-e2,f(e)<f1e,f(x)的值域为[2-e2,-1],故方程-a=2ln x-x2在1e,e上有解等价于2-e2≤-a≤-1,从而a的取值范围是[1,e2-2],故答案为[1,e2-2].
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知数列an前n项和为Sn,a1=2,且满足Sn=12an+1+n,(n∈N*).
(1)求数列an的通项公式;
(2)设bn=(4n-2)an+1,求数列bn的前n项和Tn.
【解析】(1)Sn=12an+1+n,Sn-1=12an+(n-1),(n≥2)时,an=12an+1-12an+1,
即an+1=3an-2(n≥2),即(an+1-1)=3(an-1),当a1=2时,a2=2,a2-1a1-1=1≠3,
故{an-1}是以a2-1=1为首项,3为公比的等比数列,∴an-1=1?3n-2,即an=3n-2+1,n≥2.
∴an=2,n=1,3n-2+1,n≥2.6分
(2)bn=(4n-2)an+1=(4n-2)?(3n-1+1)=(4n-2)3n-1+(4n-2)
记sn′=2?30+6?31+10?32+…+(4n-2)3n-1, ①
3sn′=2?31+6?32+…+(4n-6)3n-1+(4n-2)3n, ②
由①-②得,-2sn′=2?30+4?(31+32+…+3n-1)-(4n-2)?3n,
∴sn′=2+(2n-2)3n,
∴Tn=2+(2n-2)?3n+(4n-2+2)n2=2+(2n-2)?3n+2n2.12分
 
18.(本题满分12分)
如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为四边形,AC⊥BD,BC=CD,PB=PD,平面PAC⊥平面PBD,AC=23,∠PCA=30°,PC=4.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)若四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB⊥BC,M为PC上一点,且PMMC=2,求三棱锥M-PBD体积.
【解析】(1)设AC∩BD=O,连接PO,
∵BC=CD,AC⊥BD,∴O为BD中点.
又∵PB=PD,∴PO⊥BD,∵平面PAC⊥平面PBD,平面PAC∩平面PBD=PO,
∴BD⊥平面PAC,PA?平面PAC,∴PA⊥BD,
在△PCA中,由余弦定理得PA2=PC2+AC2-2PC?ACcos 30°,
PA2=16+12-2×4×23×32=4,而PA2+AC2=PC2,
∴PA⊥AC,PA⊥BD,BD∩AC=O,?PA⊥平面ABCD.6分
(2)因为PMMC=2,可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的23,
∴VM-PBD=23VC-PBD=23VP-BCD,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB⊥BC,
则∠BAC=60°,AB=ACsin 30°=3,BC=3,则S△BCD=34×32=934,
∴VM-PBD=23VP-BCD=23×13×934×2=3.12分
19.(本题满分12分)
某公司计划购买1台机器,且该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数,得如下统计表:
维修次数    8    9    10    11    12
频数    10    20    30    30    10
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数,y表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的维修服务次数.
(1)若n=10,求y关于x的函数解析式.
(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,求n的最小值.
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务,分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数,以此作为决策依据,判断购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?
【解析】(1)依题意得y=200×10+50x,x≤10,250×10+500(x-10),x>10,(x∈N),
即y=50x+2 000,x≤10,500x-2 500,x>10(x∈N).4分
(2)因为“维修次数不大于10”的频率为10+20+30100=0.6<0.8,
“维修次数不大于11”的频率为10+20+30+30100=0.9>0.8,
所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.8分
(3)若每台都购买10次维修服务,则有下表:
维修次数x    8    9    10    11    12
频数    10    20    30    30    10
费用y    2 400    2 450    2 500    3 000    3 500
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y1=2 400×10+2 450×20+2 500×30+3 000×30+3 500×10100=2 730(元).
若每台都购买11次维修服务,则有下表:
维修次数x    8    9    10    11    12
频数    10    20    30    30    10
费用y    2 600    2 650    2 700    2 750    3 250
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y2=2 600×10+2 650×20+2 700×30+2 750×30+3 250×10100=2 750(元).
因为y1<y2,所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.12分
20.(本题满分12分)
已知椭圆Γ的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)设P(2,0),过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式PA→?PB→≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.
【解析】(1)依题意,a=2b,c=1,
解得a2=2,b2=1,∴椭圆Γ的标准方程为x22+y2=1.4分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则PA→?PB→=(x1-2,y1)?(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2,
当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且y21=12,
此时PA→=(-3,y1),PB→=(-3,y2)=(-3,-y1),
所以PA→?PB→=(-3)2-y21=172,7分
当直线l不垂直于x轴时,设直线l:y=k(x+1),
由y=k(x+1),x2+2y2=2,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2,
所以PA→?PB→=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)2k2-21+2k2-(k2-2)?4k21+2k2+4+k2
=17k2+22k2+1=172-132(2k2+1)<172.
要使不等式PA→?PB→≤λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(PA→?PB→)max=172,
即λ的最小值为172.12分
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=ln x-ax(a为实常数)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f2a-x>0的解集;
(3)若存在两个不相等的正数x1、x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2a.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x-a=1-axx,
①当a≤0时,恒有f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,由f′(x)>0得0<x<1a,故f(x)在(0,1a)上单调递增,在1a,+∞上单调递减;
综上①②可知:当a≤0时f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.4分
(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以x>0且2a-x>0,而a>0,故0<x<2a.
设F(x)=f(x)-f2a-x=ln x-ax-ln2a-x+a2a-x=ln x-ln2a-x-2ax+2,
F′(x)=1x+12a-x-2a=x-1a2x2a-x≥0,且当且仅当x=1a时取等号,6分
所以F(x)在0,2a上单调递增,又因为x=1a时,F(x)=F1a=0
所以当x∈0,1a时,F(x)<0,当x∈1a,2a时,F(x)>0,
故f(x)-f2a-x>0的解集为1a,2a.8分
(3)由(1)知a≤0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,若f(x1)=f(x2),则x1=x2,不合题意,
故a>0,而f(x)在0,1a上单调递增,在1a,+∞上单调递减,
若存在两个不相等的正数x1、x2满足f(x1)=f(x2),
则x1、x2必有一个在0,1a上,另一个在1a,+∞上,不妨设0<x1<1a<x2,则2a-x1∈1a,+∞.10分
又由(2)知x∈0,1a时,F(x)<0,即f(x)-f2a-x<0,所以f(x1)<f2a-x1.
因为f(x1)=f(x2),所以f(x2)<f2a-x1,
又因为f(x)在1a,+∞上单调递减,所以x2>2a-x1,即x1+x2>2a.12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22.(本题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程
已知直线l的参数方程x=3+3t,y=1+t(t为参数),曲线C:(x-23)2+(y+1)2=16,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)直线l与曲线C交于A、B两点,求1|OA|+1|OB|值.
【解析】(1)由x=31+t=3y得y=33x.极坐标方程为θ=π6ρ∈R.
由x-232+y+12=16,x2+y2-43+2y-3=0.
由x2+y2=ρ知x=ρcos θ,y=ρsin θ.则ρ2-43ρcos θ+2ρsin θ-3=0.5分
(2)将θ=π6代入,ρ2-6ρ+ρ-3=0.即ρ2-5ρ-3=0.
由极坐标几何意义,设Aρ1,π6,Bρ2,π6,ρ2<0.
即1OA+1OB=1ρ1-1ρ2=ρ2-ρ1ρ1ρ2=-25+12-3=373.10分
23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知f(x)=x-1.
(1)求函数g(x)=f(x)-2x+1的最大值为M;
(2)在第(1)问的条件下,设m>0,n>0,且满足1m+12n=M,求证:f(m+2)+f(2n)≥2.
【解析】(1)gx=x-1-2x+1,即gx=-x-3,-3x-1,x+3,x≥1,-1<x<1,x≤-1,
知gxmax=g-1=2.5分
(2)由1m+12n=2,知fm+2+f2n=m+1+2n-1≥m+1+2n-1
=m+2n=12m+2n?1m+12n=121+1+2nm+m2n≥121+1+2=2.
当且仅当2nm=m2n,即m2=4n2时取等号,故得证.10分


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