北京朝阳区2019届高三数学5月二模试卷(理科带答案)

时间:2019-05-16 作者: 试题来源:网络

北京朝阳区2019届高三数学5月二模试卷(理科带答案)

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 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
 数学(理)
                                                             2019.5
考试时间120分钟   满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、    选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 , ,则
A.     B.    C.   D. 且
2. 复数 的虚部为
A.            B.            C.          D.  
3.在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 进行了估算.
根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求 的方法绘制
的程序框图如图所示.执行该程序框图,输出 的值为
A.
B.
C.
D.
4.在△ 中, , , ,则
A.               B.              C.               D.  
5. 已知等差数列 的首项为 ,公差 .则“ 成等比数列” 是“ ”的
 . 充分而不必要条件         . 必要而不充分条件    
   . 充要条件                 . 既不充分也不必要条件

6. 已知函数 若函数 存在零点,则实数 的取值范围是
A.         B.      C.         D.  
7. 在棱长为1的正方体 中, 分别为线段 和 上的动点,且满足 ,则四边形 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
A. 有最小值               B.有最大值  
  C. 为定值                  D. 为定值



8.在同一平面内,已知 为动点, 为定点,且 ,  , , 为 中点.过点 作 交 所在直线于 ,则 在 方向上投影的最大值是
A.             B.           C.           D.
第二部分(非选择题 共110分 )
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知 , , ,则 , ,  中最小的是         .
10.已知点 在抛物线 上,则点 到抛物线 焦点的距离是       .
11.圆 ( 为参数)上的点 到 直线 ( 为参数)的距离最小值是        .
12. 已知实数 满足 能说明“若 的最大值为 ,则 ”为假命题的一组 值是         .
13.由数字 组成没有重复数字的三位数,偶数共有         个,其中个位数字比十位数字大的偶数共有      个.
14. 如图,在平面直角坐标系 中,已知点 , .线段 上的动点 满足 ;线段 上的动点 满足 .直线 与直线 交于点 ,设直线 的斜率记为 ,直线 的斜率记为 ,则 的值为_______;当 变化时,动点 一定在__________(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期;
(Ⅱ)当 时,求证: .
16.(本小题满分13分)
某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表;场外有数万名 观众参与评分,将评分按照 分组,绘成频率分布直方图如下:


专家    A[    B    C    D    E
评分    9.6    9.5    9.6    8.9    9.7
                                           
[]

(Ⅰ)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率;
(Ⅱ)从5名专家中随机选取3人, 表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, 表示评分不小于9分的人数;试求 与 的值;
(Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:
方案一:用所有专家与观众的评分的平均数 作为该选手的最终得分.
方案二:分别计算专家评分的平均数 和观众评分的平均数 ,用 作为该选手最终得分.
请直接写出 与 的大小关系.

17.(本小题满分14分)
在三棱柱 中,底面 是正三角形,侧棱 底面 .  , 分别是边 , 的中点,线段 与 交于点 ,且 , .
(Ⅰ) 求证: 平面 ;
(Ⅱ) 求证: 平面 ;
(Ⅲ) 求二面角 的余弦值.

18. (本小题满分13分)
已知函数 ( ,且 ).
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若函数 的极小值为 ,试求 的值.


[Z,X,X,K]
19. (本小题满分14分)
已知椭圆   的离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 过点 且与椭圆 相交于 两点.过点 作直线 的垂线,垂足为 .证明:直线 过 轴上的定点.

20.(本小题满分13分)
对于由有限个自然数组成的集合 ,定义集合 , 记集合 的元素个数为 . 定义变换 ,变换 将集合  变换为集合 .
(Ⅰ)若 , 求 ;
(Ⅱ)若集合 有 个元素,证明:“ ”的 充要条件是“集合 中的所有元素能组成公差不为 的等差数列”;[]
(Ⅲ)若 且 ,
求元素个数最少的 集合 .
 
  北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
  数学(理)答案
                                                            2019.5
一、选择题:(本题满分40分)
题号    1    2    3    4    5    6    7    8
答案    A    B    C    B    C    D    D    C
二、填空题:(本题满分30分)
题号    9    10    11    12    13    14
答案    
 
 
 (答案不唯一)
 
 
 
双曲线
三、解答题:(本题满分80分)
15. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)
 
 
         所以 的最小正周期 .          ………….6分
(II)因为 ,即 ,
所以 在 上单调递增.
当 时,即 时,
所以当 时,  .             ………….13分
16.(本小题满分13分)
解 :(Ⅰ)由图知 ,某场外观众评分不小于9的概率是 .    ………….3分
(Ⅱ) 的可能取值为 .
 ; .
所以 的分布列为



 
 
 

 
 
 

所以 .
由题意可知, ,所以 .           ………….10分   
(Ⅲ) .           ………….13分   
17.(本小题满分14分)
(I)因为 为 中点, 为 中点.所以 .             
又因为 平面 , 平面 ,            
所以 平面 .    ………….4分
 (Ⅱ) 取 的中点 ,连接 .
显然 , , 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系 ,[]
则 , , , , ,
 , .
所以 , , .
又因为 ,
 ,
所以 .
又因为 ,所以 平面 .       ………….9分
(Ⅲ)显然平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ,
又 , ,
由 得
设 ,则 , ,则 .
所以 .
设二面角 的平面角为 ,由图可知此二面角为锐二面角,
所以 .                                        ………….14分
18. (本小题满分13分)
解:由题意可知 , .
(Ⅰ) , ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 .    ………….3分
(Ⅱ)①当 时, 变化时 变化情况如下表:
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
↘    极小值    ↗    极大值    ↘
此时 ,解得 ,故不成立.
②当 时, 在 上恒成立,所以 在 单调递减.
此时 无极小值,故不成立.
③当 时, 变化时  变化情况如下表:
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
↘    极小值    ↗    极大值    ↘
此时极小值 ,由题意可得 ,
解得 或 .
因为 ,所以 .
④当 时, 变化时 变化情况如下表:
 
 
 
 

 
 
 
 

 
↘    极小值    ↗
此时极小值 ,由 题意可得 ,
解得 或 ,故不成立.
综上所述 .                                       ………….13分  
19. (本小题满分14分)
(Ⅰ)由题意可得  解得   
所以椭圆 的方程为 .            ………….4分     
(Ⅱ)直线 恒过 轴上的定点 .证明如下
(1)    当直线 斜率不存在时,直线 的方程为 ,
不妨设 , , .
此时,直线 的方程为: ,所以直线 过点 .
(2)当直线 的斜率存在时,设 , , .
由 得 .
所以 .
直线 ,令 ,得 ,
所以
 
 
 .
由于 ,所以 .
故直线 过点 .
综上所述,直线 恒过 轴上的定点 .                 ………….14分   
20. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)若集合 , 则 .   ….3分
(Ⅱ)令 .不妨设 .
充分性:设 是公差为  的等差数列.

且 .所以 共有 个不同的值.即 .
必要性:若 .
因为 , .
所以 中有 个不同的元素:
 .
任意 ( ) 的值都与上述某一项相等.
又 ,且 , .
所以 ,所以 是等差数列,且公差不为0.

….8分
(Ⅲ)首先证明:  . 假设 ,  中的元素均大于 , 从而 , 因此 ,  , 故 , 与 矛盾, 因此 .
设 的元素个数为 ,   的元素个数至多为 , 从而 的元素个数至多为 . 若 , 则 元素个数至多为 , 从而 的元素个数至多为 , 而 中元素至少为26, 因此 .
假设 有三个元素, 设 , 且 , 则
 
从而 .若 ,  中比 大的最小数为 ,则 , 与题意矛盾, 故 .
集合 中最大数为 , 由于 , 故 , 从而 .
(i)若 且 . 此时,  , 则有 , 在22与28之 间可能的数为
     .
此时23,24,25,26不能全在 中, 不满足题意.
(ii)若 且 . 此时,  , 则有 ,
若 , 则 或
解得 或 .
当 时,  , 不满足题意.
当 时,
 
满足题意.
故元素个数最少的集合 为                         ………….13分


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