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北京朝阳区2019届高三数学5月二模试卷(文科附答案)

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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
 数学(文)
                                                            2019.5
(考试时间120分钟   满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、    选择题:本大题共8小题,每小题5分 ,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 , ,则
(A)                          (B)    
(C)                       (D) 且
2. 复数 的虚部为
(A)              (B)              (C)             (D)
3. 已知 , , ,则 , , 的大小关系是
(A)                           (B)     
(C)                           (D)  
4. 在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求 的方法绘制
的程序框图 如图所示.执行该程序框图,输出 的值为
(A)      
(B)
(C)      
(D)



5. 已知平面向量 的夹角为 ,且 ,则  
(A)             (B)             (C)            (D)
6. 已知等差数列 首项为 ,公差 . 则“ 成等比数列” 是“ ”的
(A)充分而不必要条件                  (B)必要而不充分条件    
 (C)充要条件                            (D)既不充分也不必要条件
7. 已知函数 若函数 存在零点, 则实数 的取值范围是
(A)                             (B)      
 (C)                             (D)
8. 在棱长为1的正方体 中, 分别为线段 和 上的动点,且满足 ,则四边形 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
A. 有最小值               B.有最大值  
  C. 为定值                  D. 为定值



第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.  函数 的最小正周期为      .
10. 已知点 在抛物线 上,则       ;点 到抛物线 的焦点的距离是      .

11. 圆 上的点 到直线 的距离的最小值是      .




12. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为      .










13.实数 满足 能说明“若 的最大值是 ,则 ”为假命题的一组 值是         .
14. 设全集 ,非空集合 , 满足以下条件:
① , ;
② 若 , ,则 且 .
当 时, ______ (填 或 ),此时  中元素个数为______.

三、解答题:本大题 共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在等差数列 中,已知 , .
(I)求数列 的通项公式;
(II)求 .


 

16. (本小题满分13分)
如图,在四边形 中, , .已知 , .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,且 ,求 的长.



17. (本小题满分13分)
某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分,场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分,将观众评分按照 分组,绘成频率分布直方图如下图.

专家    A    B[    C    D    E
评分    10    10    8.8    8.9    9.7


 

(Ⅰ)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率;
(Ⅱ)从现场专家中随机抽取2人,求其中评分高于9分的至少有1人的概率;
(Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.
方案一:计算所有专家与观众评分的平均数 作为该选手的最终得分;[Z&X&X&K]
方案二:分别计算专家评分的平均数  和观众评分的平均数 ,用 作为该选手最终得分.
请直接写出 与 的大小关系.


18.(本小题满分 13分)
如图1,在直角梯形 中, , ,  , , ,点 在 上,且 ,将 沿 折起,使得平面 平面 (如图2).
  为 中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求四棱锥 的体积;
(Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.[]






19. (本小题满分14分)
已知椭圆   的离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 过点 且与椭圆 相交于 两点.过点 作直线 的垂线,垂足为 .证明直线 过 轴上的定点.

20. (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(Ⅱ)求函数 的单调区间;
(Ⅲ)若函数 在区间 内有且只有一个极值点,求 的取值
范围.
 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
 数学(文)答案
                                                  2019. 5
一、选择题(40分)
题号    1    2    3    4    5    6    7    8
答案    A    C     D    C    B    C      B    D
二、填空题(30分)
题号    9    10    11    12    13    14
答案          ;      [Z&X&X&K]         
(答案不唯一)     ;18
三、解答题(80分)
15. (本小题满分13分)
解:(I)因为 是等差数列, ,所以
     解得 .则 , .         ………….7分
(II)  构成首项为 ,公差为 的等差数列.
则  .  ………….13分
16. (本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)在 中,由正弦定理,得 .
因为 , , ,
所以 .………….6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
因为 ,
所以 .
在 中,由余弦定理,得 .
因为 , ,
所以 ,即   ,
解得 或 .
又 ,则 .             ………….13 分
17. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ) ,某场外观众评分不小于9的概率是 .    ………….3分
(Ⅱ)设“从现场专家中随机抽取2人,其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q.
因为基本事件有 , , , , , , , , ,  
共10种,事件Q的对立事件只有 1种,
所以 .         ………….9分
(Ⅲ) .                           ………….13分

18. (本小题满分13分)
解: (Ⅰ)证明:
因为 为 中点, ,
        所以 .
因为平面 平面 ,
平面 平面 ,  平面 ,    
所以 平面 .                       ………….4分
(Ⅱ)在直角三角形 中,易求 ,则 .
所以四棱锥 的体积的体积为
 .           …………8分  
(Ⅲ) 过点 作 交 于点 ,则 .
过点 作 交 于点 ,连接 ,则 .
又因为 ,  平面 , 平面 ,
所以 平面 .
同理 平面 .
又因为 ,
所以平面 平面 .
因为 平面  ,
所以  平面 .
所以在 上存在点 ,使得 平面 ,且 .
             ………….13分  

19. (本小题满分14分)
(Ⅰ)由题意可得  解得   
所以椭圆 的方程为 .        ………….4分
(Ⅱ)直线 恒过 轴上的定点 .证明如下
(1)    当直线 斜率不存在时,直线 的方程为 ,
不妨设 , , .
此时,直线 的方程为: ,所以直线 过点 .
(2)当直线 的斜率存在时,设 , , .
由 得 .
所以 .
直线 ,令 ,得 ,
所以
 
 
 .
由于 ,所以 .
故直线 过点 .[]
综上所述,直线 恒过 轴上的定点 .              ………….14分    
20. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)当 时, ,
         所以 , .
         又 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 .
………….4分  
(Ⅱ)函数 的定义域为 .  ,
(1)    当 即 时,
因为 时, ,
所以 的单调增区间为 .
(2)    当 ,即 时,令 ,得 .
当 时, ;
当 时, ;
所以 的单调增区间为 ,减区间为 .
综上,当 时, 的单调增区间为 ;
当 时, 的单调增区间为 ,减区间为 .
                                                                                  ………….9分  
 
(Ⅲ)因为 ,
所以 .
令 , .
若函数 在区间 内有且只有一个极值点,
则函数 在区间 内存在零点.
又 ,
所以 在 内有唯一零点 .
且 时,
 时,
则 在 内 为减函数,在 内为增函数.
又因为 且 在 内存在零点,
所以
解得 .
显然 在 内有唯一零点,记为 .
当 时, , 时, ,所以 在 点两侧异号,即 在 点两侧异号, 为函数 在区间 内唯一极值点.
当 时,
又 在 内成立,
所以 在 内单调递增,故 无极值点.
当 时, 易得 时, 故 无极值点.
所以当且仅当 时,函数 在区间 内有且只有一个极值点.   …….14分   

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