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上海徐汇区2019届高三数学上学期期末暨一模试卷(含答案)

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2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
 2018.12
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若复数 满足 ,其中 是虚数单位,则 的实部为___________.
2.已知全集 ,集合 ,则 ___________.
3.若实数 满足 ,则 的最小值为___________.
4.若数列 的通项公式为 ,则 ___________.
5.已知双曲线 ( )的一条渐近线方程是 ,它的一个焦点与抛物线 的焦点相同,则此双曲线的方程是___________.
6.在平面直角坐标系 中,直线 经过坐标原点, 是 的一个法向量.已知数列 满足:对任意的正整数 ,点 均在 上.若 ,则 的值为      .
7.已知 的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中含 项的系数是          .(结果用数值表示)
8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级,各等级换算成分数如下表所示:
等级 A+ A B+ B B- C+ C C- D+ D E
分数 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40
上海某高中2018届高三(1)班选考物理学业水平等级考的学生中,有5人取得 成绩,其他人的成绩至少是 级及以上,平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.
9.已知函数 是以 为周期的偶函数,当 时, ,令函数 ,则 的反函数为______________________.
10.已知函数 的定义域是 ,值域是 ,则 的最大值是¬-___________.
11.已知 ,函数 .若函数 恰有2个零点,则 的取值范围是___________.
12.已知圆 : ,圆 : .直线 、 分别过圆心 、 ,且 与圆 相交于 两点, 与圆 相交于 两点.点 是椭圆 上任意一点,则 的最小值为___________.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设 ,则“ ”是“ ”的(   )
(A)充分非必要条件            (B)必要非充分条件
(C)充要条件                  (D)既非充分也非必要条件
14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 .若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为(    )
(A)         (B)        (C)         (D)
15.对于函数 ,如果其图像上的任意一点都在平面区域 内,则称函数 为“蝶型函数”.已知函数:① ;② ,下列结论正确的是(     )
(A)①、②均不是“蝶型函数”
(B)①、②均是“蝶型函数”
(C)①是“蝶型函数”;②不是“蝶型函数”
(D)①不是“蝶型函数”;②是“蝶型函数”
16.已知数列 是公差不为0的等差数列,前 项和为 .若对任意的 ,都有 ,则 的值不可能为(    )
(A)2           (B)            (C)          (D) 
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图,已知正方体 的棱长为 .
(1)正方体 中哪些棱所在的直线与直线 是异面直线?
(2)若 分别是 的中点,求异面直线 与 所成角的大小.

 

18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数 其中
(1)解关于 的不等式 ;
(2)求 的取值范围,使 在区间 上是单调减函数.

 

19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧 ,对应的圆心角 . 该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域 对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点 分别建有监测站, 与 之间的直线距离为100海里.
(1)求海域 的面积;
(2) 现海上 点处有一艘不明船只,在 点测得其距 点40海里,在 点测得其距 点 海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域 ?请说明理由.


20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知椭圆 的长轴长为 ,右顶点到左焦点的距离为 直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若 为椭圆的上顶点, 为 中点, 为坐标原点,连接 并延长交椭圆 于 , ,求 的值;
(3)若原点 到直线 的距离为 , ,当 时,  求 的面积 的范围.

 

 

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知项数为  项的有穷数列 ,若同时满足以下三个条件:
① ( 为正整数);② 或 ,其中 ;
③任取数列 中的两项 ,剩下的 项中一定存在两项 ,满足 . 则称数列 为 数列.
(1)若数列 是首项为 ,公差为 ,项数为 项的等差数列,判断数列 是否是 数列,并说明理由;
(2)当 时,设 数列 中 出现 次, 出现 次, 出现 次,其中 ,求证: ;
(3)当 时,求 数列 中项数 的最小值.

 


   

 

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