湖北湖南十二校2019届高三数学第一次联考试卷(理科附答案)

时间:2018-10-11 作者:佚名 试题来源:网络

湖北湖南十二校2019届高三数学第一次联考试卷(理科附答案)

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绝密★2018年10月4日17:00前
湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考
 理科数学试题 
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本卷答题时间120分钟,满分150分。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 , ,则 (    )
A.    B.   C.   D.
2.已知命题 : , , ,则 是(   )
A. , ,
B. , ,
C. , ,
D. , ,
3.已知直线 是曲线 的切线,则实数 (    )
A.   B.    C.    D.
4.已知向量 ,且 ,则 等于(   )
A.1             B.3                 C.4                 D.5
5.为了得到 函数的图象,只需把 上所有的点(    )
A.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向左平移 个单位
B.先把横坐标缩短到原来的2倍,然后向左平移 个单位
C. 先把横坐标缩短到原来的2倍,然后向左右移 个单位
D.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向右平移 个单位
6.将标号为1,2,…,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片,选出每列标号最小的卡片,将这些卡片中标号最大的数设为 ;选出每行标号最大的卡片,将这些卡片中标号最小的数设为 .
    
    
    
    
甲同学认为 有可能比 大,乙同学认为 和 有可能相等,那么甲乙两位同学的说法中(   )
A. 甲对乙不对B. 乙对甲不对C. 甲乙都对D. 甲乙都不对
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(   )
 
A. B.           C.           D.
8.已知抛物线 : 的焦点为 ,过点 的直线 与抛物线 交于 两点,且直线 与圆 交于 两点.若 ,则直线 的斜率为(   )
A.             B.             C.            D.
9.过双曲线 的右焦点 作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B.  C.  D. 
10.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的
A B C D E F
这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 (   )
A. 360种    B. 432种    C. 456种    D. 480种
11.设点 是棱长为2的正方体 的棱 的中点,点 在面 所在的平面内,若平面 分别与平面 和平面 所成的锐二面角相等,则点 到点 的最短距离是(   )
A.  B.  C. 1    D. 
12.已知函数 若当方程 有四个不等实根 , , , ( )时,不等式 恒成立,则实数 的最小值为(   )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. , 互为共轭复数,且 则 =____________.
14.设有四个数的数列 ,前三个数构成一个等比数列,其和为 ,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数 ,若满足条件的数列个数大于1,则 的取值范围为________.
15.△ 的三个内角为 , , ,若 ,则 的最大值为.
16.已知 .若 时, 的最大值为2,则 的最小值为.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.已知数列 的前 项和为 , .
(1)求 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.
 
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②: .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.三棱柱 的底面 是等边三角形, 的中点为 , 底面 , 与底面 所成的角为 ,点 在棱 上,且 .
 
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
20.已知中心在原点的椭圆 的两焦点分别为双曲线 的顶点,直线 与椭圆 交于 、 两点,且 ,点 是椭圆 上异于 、 的任意一点,直线 外的点 满足 ,  . 
(1)求点 的轨迹方程;
(2)试确定点 的坐标,使得 的面积最大,并求出最大面积.
21.设函数 ,其中 .
(1)讨论 极值点的个数;
(2)设 ,函数 ,若 , ( )满足 且 ,证明: .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中, 的参数方程为( 为参数),过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点.
(1)求 的取值范围;
(2)求 中点 的轨迹的参数方程。
23. [选修4–5:不等式选讲]
已知 ,函数 的最小值为1.
(Ⅰ)证明:。
(Ⅱ)若 恒成立,求实数 的最大值。
湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考
 理科数学试题参考答案及解析
1.B.【解析】由题意得, , ,∴ ,故选B.
考点:集合的运算.
2.C【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题 则否定为 故选C.
考点:全称命题的否定.
3.C【解析】设切点为 ,∴切线方程是 ,
∴ ,故选C.
考点:导数的运用.
4.D【解析】由向量 ,且 ,则 ,解得 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选D.
考点:向量的运算.
5.A【解析】把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象,再把 的图象向左平移 个单位得到函数 ,故选A.
考点:函数图象的平移变换与伸缩变换.
6.B【解析】
随意列表如下
20 1 2 10 11
19 3 4 9 12
18 5 6 13 16
17 7 8 14 15

比如此时每一列的最小值分别为17,1,2,9,11,此时最小值中最大的是 ,每一行中最大的分别是20,19,18,17,此时四个最大值中最小的是 ,此时 ,即乙说法正确,观察该表格,将表中数据无论怎么调换,始终有 ,即甲说法错误,故选B.
考点:考查推理
7.B【解析】几何体为锥与柱的组合体,其中锥的高为1,底面为四分之一个圆,圆半径为1;柱的高为1,底面为直角三角形,两个直角边长分别为1和2,所以体积为 ,选B.
考点:三视图
8.C【解析】由题设可得 ,故圆心在焦点上,故 ,设直线 ,代入 得 ,所以 ,则
 ,即 ,也即 .故应选C.
考点:直线与圆抛物线的位置关系及运用.
9.C【解析】双曲线右焦点为 ,过右焦点的直线为 ,与双曲线方程联立消去 可得到 ,由题意可知,当 时,此方程有两个不相等的异号实根,所以 ,得 ,即 ;当 时,此方程有两个不相等的同号实根,所以 ,得 , ;又 ,所以离心率的取值范围为.故本题正确选项为C.
考点:双曲线的离心率,一元二次方程根的情况.
10.A【解析】由容斥原理,全排减去2站两端的,再减去,1,3,5不相邻,再加上2 站两端且1,3,5不相邻,所以N=360一类:恰两个相邻,选1,3,5中3个选两个排,再与另外4,6,排,最后插入2,不插两端,方法数 =72,二类,三个相邻,1,3,5捆绑在一起,再与4,5排,最后插入2,不插两端,方法数 360.
考点:容斥原理,排列组合问题。
11.A【解析】设 在平面 上的射影为 在平面 上的射影为 ,平面 与平面 和平面 成的锐二面角分别为 ,则 ,  ,设 到 距离为 ,则 ,即点 在与直线 平行且与直线距离为 的直线上,  到 的最短距离为 ,故选A.
考点:正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用
12.B【解析】当 时, ,所以 ,由此画出函数 的图象如下图所示,由于 ,故 .且 .所以 , ,由 分离参数得 , ,令 ,则上式化为 ,即 ,此方程有实数根,判别式大于或等于零,即 ,解得 ,所以 ,故选B.
 
考点:分段函数与不等式.
13. 【解析】设 ,代入得 ,所以 ,解得 ,所以 .
考点:复数运算.
14.
【解析】 因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,(d )
又前3个数构成等比数列,
则第一个数为,即+5-d+5=k,
化简得 =0,
因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k> .
再由d ,得
故答案为:
考点:本题主要考查等差数列,等比数列的性质,考查了函数与方程的思想,属于中档题。
15.
【解析】
 ,  ,展开化简得 ,所以 ,则 ,当 ,所求的 有最大值 .
考点:1.三角恒等变换;2.二次函数的最值.
16. 【解析】 ,所以 ,可行域为一个平行四边形及其内部,由直线 斜率小于零知直线 过点 取最大值,即 ,因此 ,当且仅当 时取等号
考点:线性规划,基本不等式求最值
17.(1)当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 .
当 时, , ,
以上两式相减,得 ,
∴ ,
∴ ,

(2)
当 时, ,

考点:已知 与 的关系求数列通项,放缩法证明不等式.
18.(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
考点:若已知回归直线方程,则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;若回归直线方程有待定参数,则根据回归直线方程恒过点 求参数.
19.(1)连接 ,
 底面 , 底面 ,
 ,且 与底面 所成的角为 ,即 .
在等边 中,易求得 .
在 中,由余弦定理,得
 ,
 ,即 .

 
又 ,
 平面 ,
又 平面 ,
 ,
又 ,
 平面 .
(2)如下图所示,以 为原点,分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系,
 


由(1)可知
 可得点 的坐标为 ,
 平面 的一个法向量是 .
设平面 的法向量 ,由
 得
令 则
则 ,
 
易知所求的二面角为钝二面角 ,
 二面角 的平面角的余弦角值是
考点:1.线面垂直的判定定理;2.空间向量的应用.
20.(1)由 的焦点为 的顶点,得 的焦点  ,  .
令 的方程为 ,因为 在 上,所以 .
于是由 解得 ,  ,所以 的方程为 .
由直线 与椭圆 交于 、 两点,知 、 关于原点对称,所以 .
令点 ,  ,则 ,  ,
 ,  .
于是由 ,  ,得

两式相乘得 .
又因为点 在 上,所以 ,即 ,
代入 中,得  .
当 时,得 ;
当 时,则点 或 ,此时 或 ,也满足方程 .
若点 与点 重合,即 时,由 解得 或 .
若点 与点 重合时,同理可得 或 .
综上,点 的轨迹是椭圆 除去四个点 ,  ,  ,  ,其方程为 ( ,  ).
(2)因为点 到直线  的距离 ,  ,
所以 的面积  
      .
当且仅当 ,即 或  ,
此时点 的坐标为 或 .
21.(1)函数 的定义域为 , .
令 .
①当 时, , ,所以,函数 在 上单调递增,无极值;
②当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
且 ,所以, 在 上有唯一零点,从而函数 在 上有唯一极值点;
③当 时,若 ,即 时,则 在 上恒成立,
从而 在 上恒成立,函数 在 上单调递增,无极值;
若 ,即 ,由于 ,
则 在 上有两个零点,从而函数 在 上有两个极值点.
综上所述:
当 时,函数 在 上有唯一极值点;
当 时,函数 在 上无极值点;
当 时,函数 在 上有两个极值点.
(2) , .
假设结论不成立,则有
由①,得 ,∴ ,
由③,得 ,∴ ,即 ,即 .④
令 ,不妨设 , ( ),则 ,
∴ 在 上增函数, ,
∴④式不成立,与假设矛盾.
∴ .
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数的极值;3、反证法.
22.(1) 的直角坐标方程为 .
当 时, 与 交于两点.
当 时,记 ,则 的方程为 . 与 交于两点当且仅当 ,解得 或 ,即或.
综上, 的取值范围是 .
(2) 的参数方程为为参数, .
设 , , 对应的参数分别为 , , ,则 ,且 , 满足 .
于是 , .又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是为参数, .
考点:本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的参数方程,考查求点的轨迹方程。23.(Ⅰ)证明:
 ,显然 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 的最小值为 ,即.
(Ⅱ)因为 恒成立,所以恒成立,
 
当且仅当 时, 取得最小值 ,
所以 ,即实数 的最大值为 .
考点:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题。

 

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