湖南衡阳八中2019届高三数学上学期第二次月考试题(文科含答案)

时间:2018-10-11 作者:佚名 试题来源:网络

湖南衡阳八中2019届高三数学上学期第二次月考试题(文科含答案)

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衡阳市八中2019届高三第二次考试
文科数学
命题人:彭源              审题人:吕建设
请注意: 时量120分钟              满分150分
第I卷(选择题,共60分)
选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.
1.已知集合 , ,则  (    )
A.         B.          C.           D.
2*.已知复数  ( 是实数),其中 是虚数单位,则复数 的共轭复数是(    )
A.         B.          C.           D.

3*.已知直线 的倾斜角为 且过点 ,其中 ,则直线 的方程为(    )
A.    B.    C.    D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,
次日脚痛减一半,六朝才得到其关 ,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第2 天走了(    )
A.24里          B. 48里          C.96里          D.192里
5.已知 ,则 的大小关系为(    )
A.          B.          C.           D.
6.已知向量 满足 , , ,则 的夹角等于(    )
A.         B.          C.           D.
7.已知 满足约束条件 ,若 的最大值为4,则 (    )
A.         B.          C.           D.

8.设 分别为 三边 的中点,则 (    )
A.          B.          C.           D.
9.如图,在棱长为2的正方体 中, 的中点是 ,过点 作与
截面 平行的截面,则该截面的面积为(    )
A.        B.        C.        D.

10*.在等差数列中 , ,公差为 ,前n项和为 ,当且仅当 时 取得最大值,则 的取值范围是(    )
A.       B.       C.        D. 
11.已知函数 相邻两条对称轴间的距离为 ,且 ,则下列说法正确的是(    )
A.                                 B. 函数 是偶函数
C. 函数 的图象关于点 对称     D. 函数 在 上单调递增
12.已知函数 ,若 是函数 的唯一极值点,则实数 的取值范围为(    )
A.          B.          C.           D.

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13*.若 ,则               .
14.若过点 作圆 的切线 ,则直线 的方程为               .

15*.某几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的外接球的表面积是_______ .

16*.己知实数 满足 ,则 的最小值      .
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题12分)  的内角 的对边分别为 已知
(1)求 ;
(2)若 为 边上一点,且 ,求 .


18*.(本小题12分) 已知数列 前 项和为 ,且 .
(1)证明: 是等比数列;
(2) 若数列 ,求数列 的前 项和 .


19.(本小题12分) 如图在三棱柱 中, , .
(1)证明: ;
(2*)若 ,求四棱锥 的体积.

 


20*.(本小题12分) 已知过点 的圆M的圆心在 轴的非负半轴上,且圆M截直线
 所得弦长为 .
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点 的直线 交圆M于 两点,求当 的面积最大时直线 的方程.


21*.(本小题12分) 已知函数 ,其中 .
(1)试讨论函数 的单调性;
(2)若 ,且函数 有两个零点,求实数 的最小值.


22.(本小题10分) (选修4-5:不等式选讲) 已知不等式 的解集为 .
(1)求 的值;
(2)若 ,求证: .

 

衡阳市八中2019届高三第二次考试
文科数学参考答案
命题人:彭源              审题人:吕建设
请注意: 时量120分钟              满分150分
第I卷(选择题,共60分)
选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.
1.已知集合 , ,则  (  B  )
A.         B.          C.           D.
2*.已知复数  ( 是实数),其中 是虚数单位,则复数 的共轭复数是(  A  )
A.         B.          C.           D.

3*.已知直线 的倾斜角为 且过点 ,其中 ,则直线 的方程为(  B  )
A.    B.    C.    D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,
次日脚痛减一半,六朝才得到其关 ,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第2 天走了(  C  )
A.24里          B. 48里          C.96里          D.192里
5.已知 ,则 的大小关系为(  D  )
A.          B.          C.           D.
6.已知向量 满足 , , ,则 的夹角等于(  A  )
A.         B.          C.           D.
7.已知 满足约束条件 ,若 的最大值为4,则 (  B  )
A.         B.          C.           D.

8.设 分别为 三边 的中点,则 (  D  )
A.          B.          C.           D.
9.如图,在棱长为2的正方体 中, 的中点是 ,过点 作与
截面 平行的截面,则该截面的面积为(  C  )
A.        B.        C.        D.

10*.在等差数列中 , ,公差为 ,前n项和为 ,当且仅当 时 取得最大值,则 的取值范围是(  C  )
A.       B.       C.        D. 
11.已知函数 相邻两条对称轴间的距离为 ,且 ,则下列说法正确的是(  D  )
A.                                 B.函数 是偶函数
C. 函数 的图象关于点 对称     D. 函数 在 上单调递增
12.已知函数 ,若 是函数 的唯一极值点,则实数 的取值范围为(  A  )
A.          B.          C.           D.

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.若 ,则                .
14.若过点 作圆 的切线 ,则直线 的方程为     或      .
15*.某几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的外接球的表面积是_ __ .

16*.己知实数 满足 ,则 的最小值     .
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题12分)  的内角 的对边分别为 已知
(1)求 ;
(2)若 为 边上一点,且 ,求 .
解:(1) 
   
(2)在 中,由 得 ,
由 得
在 中,由 得 .

18*.(本小题12分) 已知数列 前 项和为 ,且 .
(1)证明: 是等比数列;
(2) 若数列 ,求数列 的前 项和 .
解:(1)当 时,
 
  是以 为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得: ,
 
 
19.(本小题12分) 如图在三棱柱 中, , .
(1)证明: ;
(2*)若 ,求四棱锥 的体积.

 

(1)证明:取 的中点 ,连结 ,易证
 平面
(2)解:由 得,  ,

由(1)可知 , 平面
 
20*.(本小题12分) 已知过点 的圆M的圆心在 轴的非负半轴上,且圆M截直线
 所得弦长为 .
(1)求圆M的方程;
(2)若过点 的直线 交圆M于 两点,求当 的面积最大时直线 的方程.
解:(1)设圆M的方程为:
则圆心M到直线 的距离等于
由题意得: 由题意得
所以所求圆M的方程为:
(2) 由题意可知,直线 的斜率存在,设直线 的方程为
则圆心M到直线 的距离等于 ,所以
(或由 求出 )
又点 到直线 的距离等于 ,
所以
因为 ,所以当 时,
所以所求直线 方程为:
21*.(本小题12分) 已知函数 ,其中 .
(1)试讨论函数 的单调性;
(2)若 ,且函数 有两个零点,求实数 的最小值.
解:(1)  ,则
 
当 时, ,所以函数 在 上单调递增;
当 时,若 ,则 ,若 ,则
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
综上可知,当 时,,函数 在 上单调递增;当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
(2) 函数 有两个零点等价于 有两个零点.
由(1)可知,当 时,,函数 在 上单调递增, 最多一个零点,不符合题意。所以 ,又当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;所从 .
要使 有两个零点.,则有 .
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减.又
所以存在 ,当 时, .
即存在 ,当 时,   即
又因为 ,所以实数 的最小值等于2.
此时,当 时, ,当 时, , 有两个零点.故实数 的最小值等于2.
22.(本小题10分) (选修4-5:不等式选讲) 已知不等式 的解集为 .
(1)求 的值;
(2)若 ,求证: .
 (1) 解:原不等式可化为:
 或 或
所以 或 或 ,即
所以
(2)证明:由(1)知 即 ,且
所以
当且仅当 时取“=”
所以

 

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