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2017年天津市高考文科数学试题(含答案和解释)

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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
 数学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
•如果事件A,B互斥,那么•如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A) P(B).
•棱柱的体积公式V=Sh.         •圆锥的体积公式 . 
其中S表示棱柱的底面面积,   其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.
h表示棱柱的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合 ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】 
 
(A)充分而不必要条件  (B)必要而不充分条件
(C)充要条件          (D)既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ,则 ,
 ,则 ,
据此可知:“ ”是“ ”的必要二不充分条件.
本题选择B选项.
(3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】 
 
(4)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入 的值为19,则输出 的值为
 
(A)0 (B)1(C)2(D)3
【答案】
【解析】阅读流程图可得,程序执行过程如下:
首先初始化数值为 ,
第一次循环: ,不满足 ;
第二次循环: ,不满足 ;
第三次循环: ,满足 ;
此时跳出循环体,输出 .
本题选择C选项.
(5)已知双曲线 的左焦点为 ,点 在双曲线的渐近线上, 是边长为2的等边三角形( 为原点),则双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
【答案】 
 
(6)已知奇函数 在 上是增函数.若 ,则 的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
【答案】 
【解析】由题意: ,
且: ,
据此: ,
结合函数的单调性有: ,
即 .
本题选择C选项.
(7)设函数 ,其中 .若 且 的最小正周期大于 ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】 
 
(8)已知函数 设 ,若关于 的不等式 在 上恒成立,则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D) zx xk
【答案】
【解析】满足题意时 的图象恒不在函数 下方,
当 时,函数图象如图所示,排除C,D选项;
 
当 时,函数图象如图所示,排除B选项,


 

本题选择A选项.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知 ,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .
【答案】 
【解析】 为实数,
则 .
(10)已知 ,设函数 的图象在点(1, )处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
【答案】 
【解析】 ,切点为 , ,则切线的斜率为 ,切线方程为: ,令 得出 , 在 轴的截距为 .学 科.网
(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【答案】 
【解析】设正方体边长为  ,则  ,
外接球直径为 .
(12)设抛物线 的焦点为F,学 科&网准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若 ,则圆的方程为 .
【答案】
 
(13)若a, , ,则 的最小值为 .
【答案】 
【解析】  ,当且仅当 时取等号.
(14)在△ABC中, ,AB=3,AC=2.若 , ( ),且 ,则 的值为 .
【答案】  
【解析】  ,则
 .
三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在 中,内角 所对的边分别为 .已知 , .
(I)求 的值;
(II)求 的值.
【答案】(1)  (2) 
 
 .
(16)(本小题满分13分)
某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用 , 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(I)用 , 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
【答案】(1)见解析(2)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
【解析】(Ⅰ)解:由已知, 满足的数学关系式为 即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
 
 
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥 中, 平面 , , , , , , .
(I)求异面直线 与 所成角的余弦值;
(II)求证: 平面 ;
(II)求直线 与平面 所成角的正弦值.
 
【答案】(1)  (2) 
 
 
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以 为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC¬–BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得 .
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 .
(18)(本小题满分13分)
已知 为等差数列,前n项和为 , 是首项为2的等比数列,且公比大于0,
 .
(Ⅰ)求 和 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前n项和 .
【答案】(1) . .(2) .
 由此可得 .学    科 &网
所以, 的通项公式为 , 的通项公式为 .
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ,由 ,有
 ,
 ,
上述两式相减,得
 .
得 .
所以,数列 的前 项和为 .
(19)(本小题满分14分)设 , .学&科网已知函数 , .
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)已知函数 和 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证: 在 处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式 在区间 上恒成立,求b的取值范围.
【答案】(1)递增区间为 , ,递减区间为 .(2)(ⅰ) 在 处的导数等于0.(ⅱ) 的取值范围是 .
【解析】(I)由 ,可得
 
(ii)因为 , ,由 ,可得 .
又因为 , ,学.科网故 为 的极大值点,由(I)知 .
另一方面,由于 ,故 ,
由(I)知 在 内单调递增,在 内单调递减,
故当 时, 在 上恒成立,从而 在 上恒成立.
由 ,得 , 。
令 , ,所以 ,
令 ,解得 (舍去),或 .
因为 , , ,故 的值域为 .
所以, 的取值范围是 .
(20)(本小题满分14分)已知椭圆 的左焦点为 ,右顶点为 ,点 的坐标为 , 的面积为 .
(I)求椭圆的离心率;
(II)设点 在线段 上, ,延长线段 与椭圆交于点 ,点 , 在 轴上, ,且直线 与直线 间的距离为 ,四边形 的面积为 .
(i)求直线 的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
【答案】(1)  (2)(ⅰ)  (ⅱ)
 得 ,即点Q的坐标为 .
由已知|FQ|= ,有 ,整理得 ,所以 ,即直线FP的斜率为 .
  这两条平行直线间的距离,故直线 和 都垂直于直线 .
因为 ,所以 ,所以 的面积为 ,同理 的面积等于 ,由四边形 的面积为 ,得 ,整理得 ,又由 ,得 .
所以,椭圆的方程为 .
 

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