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萍乡市2016届高三数学二模试题(文带答案)

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文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 若 ,则 等于(     )
A.1     B.     C.      D.
2.已知集合 , ,则集合 中元素的个数为(    )
A.5    B.6    C.7     D.8
3.“函数 为奇函数”是“ ”的(    )
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要
4.等比数列 中, ,则 的最小值为(    )
A.4     B.6    C.8    D.10
5. 已知函数   的部分图象如图所示,则 的值为(    )
A.     B.     C.     D.
 
6. 公元263年左右,中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的值为(     )
(参考数据: , )
A.6      B.12      C.24     D.48
 
7.已知点 ,点 在曲线 上,且线段 的垂直平分线经过曲线 的焦点 ,则 的值为(    )
A.2     B.3    C.4    D.5
8. 已知实数 满足约束条件 ,则目标函数 取不到的值为(    )
A.1    B.2    C.4    D.5
9. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体中,最长的棱的长是(     )
A.     B.      C.6      D.
 
10.已知双曲线 的一条渐近线截圆 所得弦长为 ,则该双曲线的离心率为(    )
A.     B.     C.     D.
11.为研究某灌溉渠道水的流速 和水深 之间的关系,现抽测了100次,统计出其流速的平均值为1.92,水深的频率直方图如图,已知流速对水深的线性回归方程为 ,若水深的平均值用每组数据的中值(同一组数据用该区间中点值作代表)来估计,则估计 约为(     )
A.0.3     B.0.6    C.0.9    D.1.2
 
12.已知函数 有两个零点,则 的取值范围为(    )
A.     B.     C.    D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 ,若 ,则           .
14.函数 的定义域为          .
15.一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 ,那么该三棱柱的体积是          .
16.设 , 为数列 的前 项和,且 ,则数列 的通项公式           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
在 中,角 所对的边分别为 ,已知 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ,求证: .
18. (本小题满分12分)
如图, 是等腰直角三角形, , , 分别为 的中点,沿 将 折起,得到四棱锥 ,已知 ,垂足为 .
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求三棱锥 的最大体积.
 
19. (本小题满分12分)
户外运动已经成为一种时尚运动,某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本公司全体650人中随机抽取50人进行问卷调查.
(1)通过对挑选的50人进行调查,得到了如下 列联表:
 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男员工  5 
女员工 10  
合计   50
已知在这50人中随机挑选1人,此人喜欢户外运动的概率是0.6,请将 列联表补充完整,并估计该公司男、女员工各多少人;
(2)估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性别有关,并说明你的理由;
(3)若用随机数表法从650人中抽取员工,先将650人按000,001,…,649编号,恰好000~199号都为男员工,450~649号都为女员工,现规定从随机数表(见附表)第2行第7列的数开始往右读,在最先挑出的5人中,任取2人,求至少取到1位男员工的概率.
附:
 
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
 
随机数表:
84 42 17 53 31     57 24 55 06 88    77 04 74 47 67     21 76 33 50 25    83 92 12 06 76
63 01 63 78 59     16 95 56 67 19    98 10 50 71 75     12 86 73 58 07    44 39 52 38 79
33 21 12 34 29     78 64 56 07 82    52 42 07 44 38     15 51 00 13 42    99 66 02 79 54
20. (本小题满分12分)
已知点 是椭圆 的焦点,且椭圆 上的点到点 的最大距离为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设直线 , ,若 均与椭圆 相切,试在 轴上确定一点 ,使点 到 的距离之积恒为1.
 
21. (本小题满分12分)
已知函数 .
(1)若直线 与曲线 相切于点 ,求点 的坐标;
(2)是否存在 ,使 在区间 上的最大值不超过 ?请说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知 与圆 相切, 为切点, 为割线,弦 , 相交于 点, 为 上一点,且 .
(1)求证: 四点共圆;
(2)若 , ,求 的长.
 
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,由曲线 上的点 按坐标变换 得到曲线 .
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)若射线 和 与曲线 的交点分别为点 ,求 .
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若 ,证明: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


参考答案
一、选择题
CBACA   CBDDB   DC
二、填空题
13.-1或2        14.        15.         16. 
三、解答题
17.(1)因为 ,由余弦定理并化简得:
由余弦定理: ,得 ,
因 ,所以 .
(2)由正弦定理可知: ,


 
18.(1) , 分别为 的中点,∴ ,
∴ .
又 ,∴ 面 ,
∴ .
∵ , ,∴ 平面 .
∴平面 平面 .
(2)因为 ,
而底面 的面积是一定值,故只需求三棱锥 高的最大值,
由(1)知, 就是三棱锥 的高.
由 知,点 和 重合时,三棱锥 的体积取最大值.
由于 , 为 的中点,故三棱锥 高的最大值为 .
∵ ,∴ .
∴ .
 
19.(1)依题意有:在这50人中喜欢运动的有 人,
 列联表补充如下:
 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男员工 20 5 25
女员工 10 15 25
合计 30 20 50
所以该公司男员工人数为 ,则女员工 人.
(2)∵ ,
∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关.
(3)最先挑出的5人的编号为:199,507,175,128,580,
其中有男员工3人,女员工2人,
设3位男员工为 ,2位女员工为 .
从中任取2人的总情况数: 共10种,
取到1位男员工的情况是: 共6种
取到2位男员工的情况是: 共3种
故至少取到1位男员工的概率为 .(或 )
20.(1)由 ,得
依题意可知:
 

∴椭圆 的方程为 .
(2)把 的方程代入椭圆 的方程整理得:
 
由 与椭圆 相切,得 ,
整理得
设 ,由 到直线 的距离之积为1,得
 ,即 .
把 代入上式整理得: 或 .
前式显然不恒成立,而要使得后式对任意的 恒成立,则 ,解得
综上所述,满足题意的定点 的坐标为 或 .
21.(1)
 ,有 ,得 ,
故 ,
将 代入 ,得 ,所以 ,
从而, , ,所以切点 .
(2)假设存在 ,则
∵ , ,
(1)若 ,则 ,从而 在 上是单调递增,
∴ ,
而 , ,(这两不等式同时取等号),
所以不存在 ,使 在区间 的最大值不超过 .
(2)若 ,则由 得 ,即 ,得 在 上单调递增.
由 得 ,即 ,得 在 上单调递减,

令 ,∴ ,∴ ,即
∵ ,上不等式无解
∴不存在 ,使 在区间 上的最大值不超过
由(1)(2)可知不存在 ,使 在区间 上的最大值不超过 .
22.(1)∵ ,∴ ,又 ,∴ ∽ .
∴ .
又 ,∴ ,故 ,
所以 四点共圆.
(2)由相交弦定理得: ,∵ ,∴ .
∵ ,∴ .
又 ,∴ .
∴ .
由切割线定理得: ,
所以 为所求.
23.(1) ,即 ,
代入 ,得 ,即曲线 的方程为 .
由 ,所以 的极坐标方程为 ,
即 . (未化简,保留上式也可)
(2)将 代入 ,得 ,即 , ,
 代入 ,得 ,即 , .
所以 .
24.(1)由已知可得:
由 时, 成立; 时, ,即 ,所以 .
所以 的解集为 .
(2)∵ .
由于 ,则
所以 .

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