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江苏高三数学历次模拟试题极坐标与参数方程汇编

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目录(基础复习部分)
第十六章 坐标系与参数方程 2
第01课 极坐标方程 2
第02课 常用曲线的参数方程 5

 

第十六章 坐标系与参数方程
第01课 极坐标方程
(南京三模)在极坐标系中,设圆C:=4 cos 与直线l:=4 (∈R)交于A,B两点,求以AB为直径的圆的极坐标方程.
解: 以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得
圆C的直角坐标方程 x2+y2-4x=0,
直线l的直角坐标方程 y=x.                   ………………………… 4分
由x2+y2-4x=0,y=x, 解得x=0,y=0,或 x=2,y=2.
所以A(0,0),B(2,2).
从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=2x+2y.
………………………… 7分
将其化为极坐标方程为:2-2(cos+sin)=0,即=2(cos+sin).
                                                 …………………… 10分

已知曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为 ,判断两曲线的位置关系.
解:将曲线 化为直角坐标方程得:
 ,----------------------------------------------------------------------3分
 -------------------------------------------------------------------6分
即 ,
圆心到直线的距离 ,-------------------------8分
∴曲线 相离.-----------------------------------------------------------------------10分
已知半圆C的参数方程为 ( 为参数), .
(1)在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆C的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,设T是半圆C上的一点,且 ,试写出T点的极坐标.
 
 
(南京盐城模拟一)在极坐标系中,求圆 的圆心到直线 的距离.
解:将 化为普通方程为 ,圆心为 ,    ………………4分
又 即 ,
所以直线的普通方程为 .                         ………………8分
故所求的圆心到直线的距离 .                        ………………10分
(苏州期末)在极坐标系中,已知圆 与直线 相切,求实数 的值.
C.解:圆 的普通方程为 ,即 .
直线 的普通方程为 .
又直线与圆相切,所以 ,解得 .
(金海南三校联考)在极坐标系中,已知A ,B ,线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C,求l的极坐标方程及△ABC的面积.
解:易得线段AB的中点坐标为(5,π3), ……………………………………………………2分
    设点P(ρ,θ)为直线l上任意一点,
     在直角三角形OMP中,ρcos(θ-π3)=5,
  所以,l的极坐标方程为ρcos(θ-π3)=5, ……………………………………………………6分
     令θ=0,得ρ=10,即C(10,0). …………………………………………………… 8分
     所以,△ABC的面积为:12×(9-1)×10×sinπ3=203. ……………………………………10分


(泰州二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为 .
(1)把直线 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)已知 为椭圆 上一点,求 到直线 的距离的最小值.
解:(1)直线 的极坐标方程 ,则 ,
     即 ,所以直线 的直角坐标方程为 ;…………5分
(2) 为椭圆 上一点,设 ,其中 ,则 到直线 的距离 ,其中 , ,
∴当 时, 的最小值为 .                          …………10分
(南通调研二)在极坐标系中,设直线 与曲线 相交于 , 两点,求线段 中点
的极坐标.  
   解:(方法1)将直线 化为普通方程得, ,
   将曲线 化为普通方程得, ,            …… 4分
  
   联立 并消去 得, ,
   解得 , ,
   所以AB中点的横坐标为 ,纵坐标为 ,                        …… 8分
   化为极坐标为 .                                                  …… 10分
  (方法2)联立直线 与曲线 的方程组                 …… 2分
   消去 ,得 ,
   解得 , ,                                                    …… 6分
    所以线段 中点的极坐标为 ,即 .                     …… 10分  
(注:将线段 中点的极坐标写成 的不扣分.)
(苏北三市调研三)已知曲线 的参数方程为 ( 为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .求 与 交点的极坐标,其中 .
解法一:将 消去参数 ,得 ,
所以 的普通方程为: .       ……………………4分
将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程得: .   ……………………6分
由 解得 或                  ……………………8分
所以 与 交点的极坐标分别为 或 .     ……………………10分
解法二:将 消去参数 ,得 ,
所以 的普通方程为: .     ……………………4分
所以 的极坐标方程为 .               ……………………6分
代入 ,得 ,   …………………………8分
所以 与 交点的极坐标分别为 或 .     ……………………10分

第02课 常用曲线的参数方程
已知两个动点 , 分别在两条直线 和 上运动,且它们的横坐标分别为角 的正弦,余弦, .记 ,求动点 的轨迹的普通方程.
C.选修4—4:坐标系与参数方程
解:设 ,则                      ………………………2分
两式平方相加得 .                           ………………………5分
又 , , ,
所以 , .                         ………………………8分
所以动点 轨迹的普通方程为 ( , ).……………………10分
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=3+32t,y=2+12t(t为参数 ),圆C的参数方程为x= 3+cosθ,y=sinθ(θ为参数).若点P是圆C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解:(方法一)
直线l的普通方程为x-3y+3=0.       …………………………………… 3分
因为点P在圆C上,故设P(3+cosθ,sinθ),
从而点P到直线l的距离
d=|3+cosθ-3sinθ+3|12+(-3)2=|23-2sin(θ-π6)|2.    …………………… 7分
所以dmin=3-1.
即点P到直线l的距离的最小值为3-1.        ……………………………… 10分
(方法二)
直线l的普通方程为x-3y+3=0.            ……………………………… 3分
圆C的圆心坐标为(3,0),半径为1.
从而圆心C到直线l的距离为d=|3-0+3|12+(-3)2=3.  ………………………… 6分
所以点P到直线l的距离的最小值为3-1.          ………………………… 10分
已知在平面直角坐标系 中,圆 的参数方程为 ( 为参数);以原点 为极点,以
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 ,直线 与圆 相交于
两点,求弦 的长.
21.C.解:圆 : ,直线 : ,              ………………5分
圆心 到直线 的距离 ,弦长 .………10分
在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 ,以极点为坐标原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为  ( 为参数),求直线 被曲线 所截得的弦长.
解:曲线C的直角坐标方程为 ,   
圆心为 ,半径为 ,   …………………………………………………………3分
直线的直角坐标方程为 ,    ………………………………………5分
所以圆心到直线的距离为 ,     ………………………………8分
所以弦长 .    ………………………………………………………10分
(南通调研一)在平面直角坐标 中,已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线与直线 : 相交于 , 两点,求线段 的长.
 
 
(扬州期末)已知曲线C1的极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为 求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标.
由 ,得曲线 的直角坐标系的方程为 ,     ……3分
   由 得曲线 的普通方程为 ,               ……7分
   由 得 ,即 (舍去)或 ,
   所以曲线 与曲线 交点的直角坐标为 .
(镇江期末)已知直线 的极坐标方程为 ,圆 的参数方程为 ( 为参数).
(1)请分别把直线 和圆 的方程化为直角坐标方程;
(2)求直线 被圆截得的弦长.
解:(1)由 ,得 ,
 ,即 .                                   ……4分
圆的方程为 .                                            ……6分
(2) , ,∴弦长 .                        ……10分
  己知直线 的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程为 .(a>0.  为参数),点P是圆C上的任意一点,若点P到直线 的距离的最大值为 ,求a的值。
因为直线 的参数方程为
消去参数 ,得直线 的普通方程为 .……………………………………3分
又因为圆 的参数方程为 (  为参数),
所以圆 的普通方程为 .  ……………………………………………6分
因为圆 的圆心到直线 的距离 ,……………………………………………8分
故依题意,得 ,解得 .  ……………………………………10分
(南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x=s,y=s2(s为参数),直线l:x=2+110t,y=4+310t(t为参数).设C与l交于A,B两点,求线段AB的长度.
解:由x=s,y=s2消去s得曲线C的普通方程为y=x2;
由x=2+110t,y=4+310t消去t得直线l的普通方程为y=3x-2.…………… 5分
联立直线方程与曲线C的方程,即y=x2,y=3x-2,
解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).
所以线段AB的长度为(2-1)2+(4-1)2=10.  …………… 10分
(盐城三模)在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,以极点 为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为 ( 为参数),试判断直线 与曲线 的位置关系,并说明理由.
解:将直线 与曲线 的方程化为普通方程,
得直线 : ,曲线 : ,所以曲线 是以 为圆心,半径为 的圆,所以圆心到直线 的距离 ,因此,直线 与曲线 相交. ……………………10分
(苏锡常镇二模)
 
 
故P点的直角坐标为(0,0).
(南师附中四校联考)已知直线 的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线 与圆C相交于点A、B.
(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求线段AB的长度.
(1) …………4分
(2)直线 的普通方程为 ………………6分
又圆心C(0,2),半径 ,∴C到 的距离为 ,
∴AB =4.……………10分
(前黄姜堰四校联考)已知直线的参数方程 ( 为参数),圆 的极坐标方程: .
(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求圆 上一点 到直线的最短距离.
解:(1)直线可化为 ,圆 的直角坐标方程为 ,圆心 ,半径为 .                                      …………………………………………………5分
(2)圆心到直线的距离为
 圆上一点 到直线的最短距离为   

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