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2014届高三数学第九次月考理科试题(附答案)

时间:2015-01-11 作者:xingzhi 资料来源:网络

醴陵市第二中学2014届高三第九次月考
数学(理)试题
时量:120分钟  分值:150分    命题及审卷:叶桂如
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位,复数 在复平面内对应的点位于(    )
A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限
2.已知命题 ;和命题 则下列命题为真的是(     )
 A.  B.  C.  D.
3. 设 ,则(    )
A.        B.        C.       D.
4.已知函数 ( )的图象在 处的切线斜率为 ( ),且当 时,其图象经过 ,则 (     )
A.              B.             C.            D.
5.函数 的零点所在的区间是(     )
A.    B.     C.     D.
6.已知变量x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为   (    )
A.12        B.11       C.3          D.-1
7.在△ABC中,BC=1,∠B= ,△ABC的面积S= ,则AC=(    )
A、 4     B、    C、  D、
8.已知P是△ABC所在平面内一点, + +2 =0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(    )
A.14           B.13              C.23           D.12
9.若 ,且点 在过点 、 的直线上,则 的最大值是(     )
     A.        B.        C.      D. 
10.已知函数 的定义域为R,若存在常数 ,对任意 ,有 ,则称 为 函数.给出下列函数:① ;② ;③ ;④ ;⑤ 是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数 均有 .其中是 函数的序号为(     )
A.①②④       B.②③④        C.①④⑤              D.①②⑤ 
二.填空题:(本大题共6小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。前三题为选做题,只须选做二个,多做按前两题答案得分)

11.不等式|﹣3x+1|--|2x+1|<0的解集为     .
12.在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程是 (θ∈[0,2π],θ为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程是    .
13.如下图 是圆 的直径,过 、 的两条弦 和 相交于点 ,若圆 的半径是 ,那么 的值等于________________.
 
14.函数 在点(1,2)处的切线与函数 围成的图形的面积等于            .
15.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有    种            .(用数字作答)
16.若正整数 ,称 为N的一个“分解积”,
(1) 当N分别等于6,7,8时,它们的 “分解积”的最大值分别为            
(2) 当N=3m+1  ( )时,它的 “分解积”的最大值为              
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数 ,  .
(1)求函数 的最大值和最小值;
(2)设函数 在 上的图象与 轴的交点从左到右分别为M、N,图象的最高点为 ,求 与 的夹角的余弦.
18(12分)某种饮料每箱6听,如果其中有两听不合格产品.
(1)质检人员从中随机抽出1听,检测出不合格的概率多大?;                    
(2)质检人员从中随机抽出2听,设 为检测出不合格产品的听数,求 的分布列及数学期望.
 
19.(本小题满分12分).
如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD= DB,点C为圆O上一点,且BC= AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.
(1)求证:PA⊥CD;
(2)求二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

20. (本小题满分13分)
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 万元/辆,出厂价为 万元/辆,年销售量为 辆。本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 ( ),则出厂价相应提高的比例为 ,年销售量也相应增加。已知年利润=(每辆车的出厂价—每辆车的投入成本)×年销售量。
(1)若年销售量增加的比例为 ,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 应在什么范围内?
(2)年销售量关于 的函数为 ,则当 为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?


21.(本小题满分13分)如图,已知椭圆 : 的离心率为 ,以椭圆 的左顶点 为圆心作圆 : ,设圆 与椭圆 交于点 与点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)求 的最小值,并求此时圆 的方程;
  (3)设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点,
且直线 分别与 轴交于点 , 为坐标原点,
求证: 为定值.


22.(本小题满分13分)已知函数  的图像过坐标原点 ,且在点 处的切线斜率为 。
(1) 求实数 的值;
(2) 求函数 在区间 上的最小值;
(3) 若函数 的图像上存在两点 ,使得对于任意给定的正实数 都满足 是以 为直角顶点的直角三角形,且三角形斜边中点在 轴上,求点 的横坐标的取值范围。
 
醴陵二中2014届高三第九次月考试卷
科目:理科数学
时量:120分钟  分值:150分
命题及审卷:叶桂如
(注:请考生务必将答案写在答卷上,做在试题卷上无效)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位,复数 在复平面内对应的点位于(  B  )
A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限
2.已知命题 ;和命题 则下列命题为真的是(  C   )
 A.  B.  C.  D.
3. 设 ,则(  A   )
A.        B.        C.       D.
4.已知函数 ( )的图象在 处的切线斜率为 ( ),且当 时,其图象经过 ,则 (  B   )
A.              B.             C.            D.
5.函数 的零点所在的区间是(  C   )
A.    B.     C.     D.
6.已知变量x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为   (  B  )
A.12        B.11       C.3          D.-1
7.在△ABC中,BC=1,∠B= ,△ABC的面积S= ,则AC=(  B  )
A、 4     B、    C、  D、
8.已知P是△ABC所在平面内一点, + +2 =0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(  D  )
A.14           B.13              C.23           D.12


9.若 ,且点 在过点 、 的直线上,则 的最大值是(  A  )
     A.        B.        C.      D. 
10.已知函数 的定义域为R,若存在常数 ,对任意 ,有 ,则称 为 函数.给出下列函数:① ;② ;③ ;④ ;⑤ 是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数 均有 .其中是 函数的序号为(  C   )
A.①②④       B.②③④        C.①④⑤              D.①②⑤ 
二.填空题:(本大题共6小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。前三题为选做题,只须选做二个,多做按前两题答案得分)
11.不等式|﹣3x+1|--|2x+1|<0的解集为     .
12.在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程是 (θ∈[0,2π],θ为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程是    .
如图(图2) 是圆 的直径,过 、 的两条弦 和 相交于点 ,若圆 的半径是 ,那么 的值等于________________.
 
 
14.函数 在点(1,2)处的切线与函数 围成的图形的面积等于            4/3
15.(5分)四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有    种.(用数字作答)
16.若正整数 ,称 为N的一个“分解积”,
(3) 当N分别等于6,7,8时,它们的 “分解积”的最大值分别为            
(4) 当N=3m+1  ( )时,它的 “分解积”的最大值为              
(1) 9;12;18  (2)

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数 ,  .
(1)求函数 的最大值和最小值;
(2)设函数 在 上的图象与 轴的交点从左到右分别为M、N,图象的最高点为 ,求 与 的夹角的余弦.
解:(1) ,  ………3分
  ∵ ,∴ ,
 ∴函数 的最大值和最小值分别为1,-1.      ………5分
 (2)解法1:令 得 .………6分
 ∵ ,∴ 或 ,∴  ………8分
 由 ,且 得 ,∴   ………9分
 ∴   ………10分
∴  .    ………12分
解法2:过点P作 轴于 ,则   ………6分
由三角函数的性质知 ,   , ………8分
由余弦定理得 = .………12分
解法3:过点P作 轴于 ,则   ………6分
由三角函数的性质知 , .………8分
在 中, .………10分
∵PA平分 ,∴  …12分
17(12分)某种饮料每箱6听,如果其中有两听不合格产品.
(1)质检人员从中随机抽出1听,检测出不合格的概率多大?;                    
(2)质检人员从中随机抽出2听,设 为检测出不合格产品的听数,求 的分布列及数学期望.
解:(1)在6听中随机抽出1听有6种方法                                1分
       在2听中随机抽出1听有2种方法                                2分
所以                                                     4分
答:                                                              5分
(1)                                                          6分
当 时,                    7分
当 时,                                      8分
当 时,                                        9分
分布列为:                                                          10分
                                           11分
     =                   
17.(12分)(2013•江门二模)市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.
 
(1)求李生小孩按时到校的概率;
(2)李生是否有七成把握能够按时上班?
(3)设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数,求ξ的均值.
(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是 和 .
 ∴李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 ,所以李生没有七成把握能够按时上班.
(3)依题意ξ可以取0,1,2.
P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= .
ξ 0 1 2

 
 

分布列是:Eξ= =
18.(本小题满分12分).
如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD= DB,点C为圆O上一点,且BC= AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.
(1)求证:PA⊥CD;
(2)求二面角C﹣PB﹣A的余弦值.

 解析:(1)连接OC,由3AD=BD知,点D为AO的中点,
又∵AB为圆的直径,∴AC⊥BC,
∵ AC=BC,∴∠CAB=60°,
∴△ACO为等边三角形,∴CD⊥AO.
 
 

点评: 本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法.二面角的求法:法1、作角(根据定义作二面角的平面角)﹣﹣证角(符合定义)﹣﹣求角(解三角形);
法2、空间向量法,求得两平面的法向量,再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值.
19.(12分)已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an}、{bn}满足条件:
a1=1,an+1=g(an)+1(n∈N*),bn= .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn,并求使得Tn>m150对任意n∈N*都成立的最大正整数m.
解:(1)由题意an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).
∵a1=1,∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an+1=2×2n-1,∴an=2n-1.
(2)∵bn=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3,
∴Tn=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3
=1213-12n+3=n3×(2n+3)=n6n+9.
∵Tn+1Tn=n+16n+15•6n+9n=6n2+15n+96n2+15n>1,
∴Tn<Tn+1,n∈N*.
∴当n=1时,Tn取得最小值115.
由题意得115>m150,∴m<10.
∵m∈N+,∴m=9.
20. (本小题满分13分)
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 万元/辆,出厂价为 万元/辆,年销售量为 辆。本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 ( ),则出厂价相应提高的比例为 ,年销售量也相应增加。已知年利润=(每辆车的出厂价—每辆车的投入成本)×年销售量。
(1)若年销售量增加的比例为 ,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 应在什么范围内?
(2)年销售量关于 的函数为 ,则当 为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?
(1)由题意得:上年度的利润为 万元;
  本年度每辆车的投入成本为 万元;
  本年度每辆车的出厂价为 万元;
  本年度年销售量为 
  因此本年度的利润为
    
   (2)本年度的利润为
        

由 (舍去)。
 
21.(本小题满分13分)如图,已知椭圆 : 的离心率为 ,以椭圆 的左顶点 为圆心作圆 : ,设圆 与椭圆 交于点 与点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)求 的最小值,并求此时圆 的方程;
  (3)设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点,
且直线 分别与 轴交于点 , 为坐标原点,
求证: 为定值.

 


解:(1)依题意,得 , , ;
故椭圆 的方程为  .  …………………3分
(2)方法一:点 与点 关于 轴对称,设 , , 不妨设 .
由于点 在椭圆 上,所以 .     (*)     ……………4分        
由已知 ,则 , ,
    .………6分
由于 ,故当 时, 取得最小值为 .
由(*)式, ,故 ,又点 在圆 上,代入圆的方程得到 .  
故圆 的方程为: .       …………………8分
方法二:点 与点 关于 轴对称,故设 ,
不妨设 ,由已知 ,则
     .……6分
故当 时, 取得最小值为 ,此时 ,
又点 在圆 上,代入圆的方程得到 .
故圆 的方程为: .    ………8分
(3) 方法一:设 ,则直线 的方程为: ,
令 ,得 , 同理: ,   …………10分
故       (**)       ………………11分
又点 与点 在椭圆上,故 , ,……………………12分
代入(**)式,得:  .
所以 为定值.……………………14分
方法二:设 ,不妨设 , ,其中 .则直线 的方程为: ,
令 ,得 ,
同理: ,………………12分
故 .
所以 为定值.…………14分
22.(本小题满分13分)已知函数  的图像过坐标原点 ,且在点 处的切线斜率为 。
(1) 求实数 的值;
(2) 求函数 在区间 上的最小值;
(3) 若函数 的图像上存在两点 ,使得对于任意给定的正实数 都满足 是以 为直角顶点的直角三角形,且三角形斜边中点在 轴上,求点 的横坐标的取值范围。
21.解:(1)当 时, ,
依题意 ,
又     故     ...............3分
     (2)当 时,
令 有 ,故 在 单调递减;在 单调递增;
在 单调递减。又 f(1)=0  ,                    
 所以当 时,    ……………………6分
(3)设 ,因为 中点在 轴上,所以
又    ①
(ⅰ)当 时, ,当 时, 。故①不成立……7分
     (ⅱ)当 时, 代人①得:
    ,
     无解                                ………8分
(ⅲ)当 时, 代人①得:
     ②
设 ,则 是增函数。
 的值域是 。………………………………………10分
所以对于任意给定的正实数 ,②恒有解,故满足条件。
(ⅳ)由 横坐标的对称性同理可得,当 时,
 ,代人①得:  ③
设 ,得 ,则 是减函数,
又因为 的值域为 。
所以对于任意给定的正实数 ,③恒有解,故满足条件。………………12分
综上所述,满足条件的点 的横坐标的取值范围为 ..........13分

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