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2015高考理科数学数列总复习题(含答案)

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[A组 基础演练•能力提升]
一、选择题
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=(  )
A.15    B.12    C.-12    D.-15
解析:a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)]=3×5=15.
答案:A
2.数列{an}的通项an=nn2+90,则数列{an}中的最大值是(  )
A.310   B.19 
C.119   D.1060 
解析:因为an=1n+90n,运用基本不等式得,1n+90n≤1290,由于n∈N*,不难发现当n=9或10时,an=119最大.
答案:C
3.(2014年银川模拟)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-1an,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2 013的值为(  )
A.-12  B.-1  
C.12  D.2
解析:由a2= 12,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而T2 013=(-1)671=-1.
答案:B
4.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(n∈N*且n≥2),则a81=(  )
A.638  B.639 
C.640  D.641
解析:由已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1可得,Sn-Sn-1=2,∴{Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
答案:C
5.(2014年长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x•y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an为(  )
A.2n-1  B.n 
C.2n-1   D.32n-1
解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{ an}是首项为1,公比为32的等比数列,∴an=32n-1.
答案:D
6.(2014年石家庄模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn+1=  (n-λ)1an+1,b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为(  )
A.λ>2  B.λ>3 
C.λ<2  D.λ<3
解析:由已知可得1an+1=2an+1,1an+1+1=21an+1,1a1+1=2≠0,则1an+1=2n,bn+1=2n(n-λ),bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2,).b1=-λ也适合上式,故bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立,而n+1的最小值为2,故λ的取值范围为λ<2.
答案:C
二、填空题
7.(2014 年沈阳模拟 )数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)•an=(n-1)•3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________.
解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)•an-1+(2n-1)•an=(n-1)•3n+1+3,把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)•an-1=(n-2)•3n+3,两项相减得an=3n.
答案:3n
8.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有________个点.
 
解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图中点的个数为
(n-1)×n+1=n2-n+1.
答案:n2-n+1
9.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)78n,则当an取得最大值时,n等于________.
解析:由题意知an≥an-1,an≥an+1,
∴n+278n≥n+178n-1,n+278n≥n+378n+1.
解得n≤6,n≥5.∴n=5或6.
答案:5或6
三、解答题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=4n+b.
解析:(1)当n=1时,a1=S1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5.
又∵a1=-1,适合an=4n-5,∴an=4n-5.
(2)当n=1时, a1=S1=4+b.
n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3•4n-1,
因此,当b=-1时,a1=3适合an=3•4n-1,
∴an=3•4n-1.
当b≠-1时,a1=4+b不适合an=3•4n-1,
∴an=4+b,n=1,3•4n-1,n≥2.
综上可知当b=-1时,an=3•4n-1;
当b≠-1时,an=4+b,n=1,3•4n-1,n≥2.x.k.b.1
11.已知数列{an}满足a1=1,an= an-1+3n-2(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)由已知:{an}满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2),
∴a2=a1+4=5,a3=a2+7=12.
(2)由已知an=an-1+3n-2(n≥2)得:
an-an-1=3n -2,由递推关系,
得an-1-an-2=3n-5,…,a3-a2=7,a2-a1=4,
叠加得:
an-a1=4+7+…+3n-2
=n-14+3n-22=3n2-n-22,
∴an=3n2-n2(n≥2).
当n=1时,1=a1=3×12-12=1,
∴数列{an}的通项公式an=3n2-n2.
12.(能力提升)(2014年合肥质检)已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000?
解析:(1)an=anan-1•an-1an-2•…•a3a2•a2a1•a1
=12n-1•12n-2•…•122•121
=121+2+…+(n-1)=12n-1n2,∴an=12nn-12.
(2)当n≤4时,n-1n2≤6,an=12n-1n2≥164,
当n≥5时,n-1n2≥10,an=12n-1n2≤11 024.
∴从第5项开始各项均小于11 000.
[B组 因材施教•备选练习]
1.(2014年石家庄模拟)已知数列an:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则a99+a100的值为(  )
A.3724  B.76  C.1115  D.715
解析:通过将数列的前10项分组得到第 一组有一个数11,分子分母之和为2;第二组有两个数21,12,分子分母之和为3;第三组有三个数31,22,13,分子分母之和为4;第四组有四个数,依次类推,a99,a100分别是第十四组的第8个,第9个数,分子分母之和为15,所以a99=78,a100=69,故选A.
答案:A
2.(2014年济南模拟)数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9.
(1)分别求数列{an },{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn+2an+2(n∈N*),求证:cn+1<cn≤13.
解析:(1)由an+1=2Sn+1 ①,
得an =2Sn-1+1(n≥2,n∈N*) ②,
①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1),
∴an+1=3an(n≥2,n∈N *),
又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,∴an=3n-1.
∵b5-b3=2d=6,∴d=3,
∴bn=3n-6.
(2)∵an+2=3n+1,bn+2=3n,
∴cn=3n3n+1=n3n,
∴cn+1-cn=1-2n3n+1<0,
∴cn+1<cn<…<c1=13,
则cn+1<cn≤13.
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