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2015高考数学几何概型一轮专练

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2015高考数学几何概型一轮专练
 
                    
【选题明细表】
知识点、方法 题号
与长度(角度)有关的几何概型 2、4、6、7
与面积(体积)有关的几何概型 1、3、9、10、12、13
随机模拟 5、8
综合应用 11、14、15、16

 一、选择题
1.欧阳修《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.”可见卖油翁技艺让人叹服.若铜钱直径3厘米,中间有边长为1厘米的正方形孔,你随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油正好落入孔中的概率是( D )
(A)  (B)  (C)  (D)
解析:此题属几何概型,正好落入孔中的概率是 = ,故选D.
2.设x∈[0,π],则sin x< 的概率为( C )
(A)  (B)  (C)  (D)
解析:由sin x< 且x∈[0,π],
借助于正弦曲线可得x∈ ∪ ,
∴P= = ,
故选C.
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于 的概率为( C )
(A)  (B)  (C)  (D)
 
解析:如图,当BM= BA时,△MBC的面积为 ,而当P在M、A之间运动时,△PBC的面积大于 ,即MA= AB,则△PBC的面积大于 的概率P= = ,故选C.
4.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( A )
(A)  (B)  (C)  (D)
解析:由题意可知,三角形的边长的和为5+12+13=30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为 = .故选A.

5.
 
(2013北京海淀区三模)如图所示,在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子,豆子在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n,则图形Ω面积的估计值为( C )
(A)  (B)  (C)  (D)
解析:由题知 ≈ ,所以SΩ≈ •S正方 形= ,即图形Ω面积的估计值为 .故选C.
6.
 
如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD= ,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为( B )
(A)        (B)
(C)        (D)
解析:∵∠B=60°,∠C=45°,
∴∠BAC=75°.
在Rt△ADB中,AD= ,∠B=60 °,
∴BD= =1,∠BAD=30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,
则BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
由几何概型的概率公式得P(N)= = ,故选B.
7.(2013年高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为 ,则 等于( D )
(A)  (B)  (C)  (D)
解析:如图,M、N分别是矩形CD边上的四等分点,由题意,点P在线段MN上,满足条件,则BN=AB,
由勾股定理,AD2+  AB 2=AB2,
 
7AB2=16AD2,
得 = .故选D.
二、填空题
8.(201 3年高考福建卷)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为    .
解析:由题意得0<a< ,根据几何概型概率公式得事件“3a-1<0”发生的概率为 .
答案:
9.(2013潍坊一模)在区间[0,4]内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为    .
解析:
 
若函数f(x)有零点 ,则Δ=a2-4b2≥0,即a≥2b或a≤-2b,用(a,b)表示平面内的点则在区间[0,4]内任取(a,b)构成如图正方形OABC及内部的区域,面积为16,满足Δ≥0区域为阴影部分面积为 ×4×2=4,所以f(x)有零点的概率为 = .
答案:
10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为    .
解析:蜜蜂要想安全飞行,应在原大正方体中一个棱长为1的小正方体内部飞行,所以安全飞行的概率P= = .
答案:
11.(2013苏北四市模拟)已知函数f(x)=ax2-bx-1,其中a∈(0,2],b∈(0,2],则此函数在区间[1,+∞ )上为增函数的概率为    .
解析:
 
把(a,b)看成平面区域内的点,则(a,b)满足a∈(0,2],b∈(0,2]时的区域为如图正方形OABC及内部,函数f(x)=ax2-bx-1在  ,+∞ 上为增函数,据已知条件可知, ≤1,
∴b≤2a,在正方形内满足b≤2a的区域为如图阴影部分所示,所求概率P= = .
答案:
12.(2013厦门模拟)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点;则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈ 0,  的概率为    .
解析:
 
由题意知P点在以DC为直径的圆外,且在以A为圆心1为半径的圆外,即P点在如图所示的阴影部分内,则概率为P= =1- .
答案:1-
13.(2013山西四校联考)在区间[2,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b,则方程 + =1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆的概率为    .
解析:
 
把(a,b)看作为平面区域内的点,则当a∈[2,5],b∈[2,4]时,(a,b)所表示平面区域如图矩形ABCD及内部面积为2×3=6,若椭圆焦点在x轴上即a>b,则其表示区域为如图阴影部分,面积为6- ×2×2=4,故符合题意的概率为 = .
答案:
三、解答题
14.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.
解:
 
设“a,b的夹角是钝角”为事件B,
由a,b的夹角是钝角,可得a•b<0,
即2x+y<0,且x≠2y.
基本事件空间为
Ω= (x,y)   ,
B= (x,y)  
则由图可知,
P(B)= = ,
即向量a,b的夹角是钝角的概率是 .

15.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程 有实根的概率.
解:
 
设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},即如图矩形OBCD及内部,构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},即如图矩形内阴影部分,
所以所求的概率为
P(A)= = .
16.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).
(1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;
(2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
 
解:(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),且满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界) .
∴所求的概率P1= = .
(2)满足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的点(x,y)有25个,满足x,y∈Z,且满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6个,∴所求的概率P2= .
大题冲关集训(六)
                    
1.(2013潍坊一模)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.
(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;
(2)若从抽得的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.
解:(1)家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为 = ,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2.
(2)设A1,A2,A3为从高一抽得的3个家长,B1为从高二抽得的1个家长,C1,C2为从高三抽得的2个 家长.
则抽取的全部结果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共15种.
令X=“至少有一人是高三学生家长”,结果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1),(A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共9种.
∴这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是
P(X)= = .
2.(2013年高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
 
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
解:(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 .
(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 .
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
3.(2012年高考新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单元:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
解:(1)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
y=  (n∈N).
(2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为 (55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
4.(2013天津一模)2013年春节,有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年,为保证他们的安全,交管部门在321国道沿线设立了多个驾乘人员休息站,交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问结果如图所示.
 
(1)交警小 李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名?
(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率.
解:(1)系统抽样.
(2)5天中抽取的广西籍人员有5+20+25+20+30=100人,四川籍人员有15+10+5×3=40人,两者比例为5∶2,所以广西籍抽5人,则四川籍应抽2人.
(3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的广西籍驾驶人员,b1,b2表示被抽取的四川籍驾驶人员,则所有基本事件为:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},{a1,a5},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,a5},{a2,b1},{a2,b2},{a3,a4},{a3,a5},{a3,b1},{a3,b2},{a4,a5},{a4,b1},{a4,b2},{a5,b1},{a5,b2},{b1,b2},共21个.
其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件为20个.
∴至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为P= .
5.(2013西北工大五月)某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如下表(服务满意度为x,价格满意度为y).
 y人数 x 价格满意度
 1 2 3 4 5
服务满意度 1 1 1 2 2 0
 2 2 1 3 4 1
 3 3 7 8 8 4
 4 1 4 6 4 1
 5 0 1 2 3 1

(1)求高二年级共抽取学生人数;
(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差;
(3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从x<3且2≤y<4的学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.
解:(1)共有1400名学生,
高二年级抽取的人数为 ×70=23.
(2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为
 =6,
所以方差
s2= =4.4.
(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z.
在这7人中抽取2人有如下情况:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(c,d),(c,x),(c,y),(c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况.
其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种.
所以至少有一人的“服务满意度为1”的概率为P= = .
6.(2013沈阳二模)为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
 
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀.请填写下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
 甲班 乙班 合计
优秀   
不优秀   
合计   

下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

 参考公式:K2= 
解:(1)记成绩为87分的同学为A,B,其他不低于80分的同学为C、D、E,“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有:
(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)( B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个,
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有7个,所以P= .
(2)
 甲班 乙班 合计
优秀 6 14 20
不优秀 14 6 20
合计 20 20 40

K2= =6.4>5.024.
∴我们有97.5 %的 把握认为成绩优秀与教学方式有关.
7.(2013东北三省四市)2013年第三季度,国家电网决定对城镇居民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将居民分为三类:第一类的用电量区间在(0,170],第二类在(170,260],第三类在(260,+∞)(单位:千瓦时).某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示.
 
(1)求该小区居民用电量的中位数与平均数;
(2)本月份该小区没有第三类的用电户出现,为鼓励居民节约用电,供电部门决定:对第一类每户奖励20元钱,第二类每户奖励5元钱,求每户居民获得奖励的平均值;
(3)利用分层抽样的方法从该小区内选出5户居民代表,若从该5户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率.
解:(1)因为在频率分布直方图上,中位数的两边面积相等,可得中位数为155.
平均数为120×0.005×20+140×0.015×20+160×0.020×20+180×0.005×20+200×0.003×20+220×0.002×20=156.8.
(2) =
=17(元).
(3)由题可知,利用分层抽样取出的5户居民中属于第一类的有4户,编为A,B,C,D,第二类的有1户,编为a.现从5户中选出2户,所有的选法有aA,aB,aC,aD,AB,AC,AD,BC,BD,CD共计10种,其中属不同类型的有aA,aB,aC,aD共计4种.
因此,两户居民用电资费属不同类型的概率P= =  .


 

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