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2013高考数学文科模拟试题(带答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数 学(文科)

第Ⅰ卷  选择题(共50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.设全集 集合 集合 ,则 =(    )
A.      B.      C.      D.

2.设复数 (其中 为虚数单位),则z的共轭复数 等于(    )
A.1+         B.         C.          D.

3.已知条件p: ,条件q: ,则p是q的(    )
A.充分不必要条件      B.必要不充分条件
C.充要条件            D.既非充分也非必要条件

4.如右图的程序框图所示,若输入 ,则输出的值是(    )
A.           B.1      C.            D. 2

5.若抛物线 上一点 到 轴的距离为3,则点 到抛物线的焦点 的距离为(   )
A.3       B.4         C.5         D.7

6.公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列,则这三项的公比为(   )
A.1        B.2           C.3            D.4

7.已知 是单位向量,且 夹角为60°,则 等于(   )
A.1       B.          C.3        D.

8.已知函数 对任意 ,有 ,且当 时, ,则函数 的大致图象为(   )

9.设函数 ,则不等式 的解集是(   )
A.        B. 
C.       D.

10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为(    )
A.      B.      C.1     D.

第Ⅱ卷  非选择题(共100分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分,把答案填写在答题卡相应的位置)
11.若函数 的图象在 处的切线方程是 ,则           .

12.若椭圆的短轴为 ,它的一个焦点为 ,则满足 为等边三角形的椭圆的离心率是            .

13.已知变量 满足约束条件 ,则 的最大值为      ;
14.若 则          ;

15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A(选修4—4坐标系与参数方程)已知点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值是         ;

B(选修4—5不等式选讲)已知 则 的最大值是        .;

C(选修4—1几何证明选讲)如图, 内接于 , ,直线 切 于点C, 交 于点 .若 则 的长为          .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
 
(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.

17.(本小题满分12分)在 中,角A,B,C的对边分别为 ,b,c,且满足 , .
(Ⅰ)求 的面积;
(Ⅱ)若 ,求边 与 的值.

18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列 中, .
(Ⅰ)求数列 通项公式;
(Ⅱ)若等差数列 满足 ,求数列 的前 项和 .


19.(本小题满分12分)已知 是矩形, , 分别是线段 的中点, 平面 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)在棱 上找一点 ,使 ∥平面 ,并说明理由.

20.(本小题满分13分)已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时,判断方程 在区间 上有无实根.
(Ⅲ)若 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.

21.(本题满分14分)已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,离心率 ,且点 在椭圆 上.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)已知 、 为椭圆 上的动点,当 时,求证:直线 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B C C C A D

二、填空题:
11.3      12.      13.11      14.  
15.A ;    B. ;     C.
三、解答题
16.(本小题满分12分)
【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取 人.   ……4分
(2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为 ,若从5人中任取2名观众记作 ,……6分
则包含的总的基本事件有: 共10个。…8分
其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有: 共6个. ……10分
故 (“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)= ;            ……12分

17. (本小题满分12分)
【解】:(Ⅰ)由正弦定理得 ,……2分
 , , ,……6分
由 得 , 的面积为 .……8分
(Ⅱ)因 ,故 ,……10分
由余弦定理得  ……12分

18.(本小题满分12分)由条件知 ……………………2分
           ………… 4分
(2)设数列 公差为 ,则 , …………6分
 
 
                 ……………………8分
                                  ……………………10分
                                         ……………………12分
19.(本小题满分12分)
【解】:证明:在矩形ABCD中,因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. ……………………4分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.所以FD⊥平面PAF.  ……………………6分
(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,
则EH//平面PFD,且 AH = AD. 
再过H作HG//PD交PA于G,  ……………………9分
所以GH//平面PFD,且 AG= PA. 
所以平面EHG//平面PFD.  ……………………11分
所以EG//平面PFD.
从而点G满足AG= PA.       ……………………12分
 
20.(本小题满分13分)
【解】:(1) 时, , ,切点坐标为 ,
 切线方程为  …………………… 3分
(2) 时,令 ,
 , 在 上为增函数…………………… 5分
又 ,所以 在 内无实数根 ……………………7分
(3) 恒成立, 即 恒成立,
      又 ,则当 时, 恒成立,……………………9分
     令 ,只需 小于 的最小值,
 ,…………………… 11分
 ,  ,  当 时 ,
 在 上单调递减, 在 的最小值为 ,
        则 的取值范围是  ……………………13分

21.(本小题满分14分)
【解】:(1)椭圆C的方程是: …………………………4分
(2) 当直线l不垂直于x轴时,设 :     
  得  ………………………6分
 
    …………………… 8分
  即   ……………10分
当 时, 恒过定点
当 时, 恒过定点 ,不符合题意舍去…       12分
当直线l垂直于x轴时,若直线AB:   则AB与椭圆C相交于 ,  , ,满足题意
综上可知,直线 恒过定点,且定点坐标为 ……………… 14分

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