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2012年高考数学冲刺易错点:概率与统计试题(附答案)

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概率与统计
一、高考预测
计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高考对该部分的考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型,几何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中一般是2~3个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计2012年该部分的基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.计数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和方差的计算,用样本估计总体等.
二、知识导学
  (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件性质 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式 求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.
要点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母 、 等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量 可能取的值为 , ,……, ,……, 取每一个值 ( 1,2,……)的概率P( )= ,则称下表.
      …   …
P P1 P2 …   …
 
为随机变量 的概率分布,简称 的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:(1) , 1,2,…;(2) …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列:
 (2) 几何分布          
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量,“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为:
  1 2 3 … k …
P p qp   …   …
 
要点4  抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.
要点5  正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
(1)正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ,x   其中 、 为常数,并且 >0,则称 服从正态分布,记为 ( , ).
 2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n个样本数据( ),( ),…,( ),其回归直线方程,或经验公式为: .其中 ,其中 分别为| |、| |的平均数.
三、易错点点睛
 【知识点归类点拨】二项式 的展开式相同,但通项公式不同,对应项也不相同,在遇到类似问题时,要注意区分
 2、如果 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中 的系数是(   )
(A)7          (B)          (C)21           (D)
解析:当 时 即 ,根据二项式通项公式得
  时对应 ,即 故 项系数为 .
【易错点3】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,在此往往因为概念不清导致出错
 解析:由题意知,第五项系数为 ,第三项的系数为 ,则有 , 设展开式中的第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为 ,若第r+1项的系数绝对值最大,则 ,解得:  系数最大值为 由 知第五项的二项式系数最大,此时 .
【易错点4】对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。
1.有六本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1) 分成1本、2本、3本三组;
(2) 分给甲、乙、丙三人,其中1人1本,1 人两本,1人3本;
(3) 平均分成三组,每组2本;
(4) 分给甲、乙、丙三人,每人2本。
(5)  在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式 种。
【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于此类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计算重复或遗漏。
2.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有(   )
A、 210种  B、420种  C、630种  D、840种
解析:首先选择3位教师的方案有:①一男两女;计 ;②两男一女:计 =40。
其次派出3位教师的方案是 =6。故不同的选派方案共有 种。
解析:(1)3个女同学是特殊元素,我们先把她们排列好,共有 种排法;由于3 个同学必须排在一起,我们可视排好的女同学为一个整体,在与男同学排队,这时是五个元素的全排列,应有 种排法。由乘法原理,有 种不同排法。
(2)先将男生排好,共有 种排法;再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生,有 种方案。故符合条件的排法共有 种。
(3)甲、乙2人先排好,共有 种排法;再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间,有 种排法,这时把已排好的5人看作一个整体,与剩下的2人再排,又有 种排法;这样,总共有 种不同的排法。
(4)先排甲、乙、丙3人以外的其他四人,有 种排法,由于甲、乙要相邻,故把甲、乙排好,有 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中,有 种排法;这样,总共有 种不同的排法。
(5)从七个位置中选出4个位置把男生排好,有 种排法;然后再在余下得个空位置中排女生,由于女生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有 种不同的排法。
2.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就坐,规定前排中间三个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数(   )
A、234   B、346    C、350   D、363
解析:把前后两排连在一起,去掉前排中间3个座位,共有 种,再加上4种不能算相邻的,共有 种。
 
所以 的概率分布为
  —300 —100 100 300
P 0.008 0.096 0.384 0.512
根据 的概率分布,可得 的期望
 
(2)这名同学总得分不为负分的概率为
 。
【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列,其概率
 就是独立重复实验n次其中发生k次的概率 。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。
 解析:(1) 的所有可能值为0,1,2,3,4。用 表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则 独立。故
 
 
从而 的分布列为
  0 1 2 3 4
P         
 
(2) 。
 
【知识点归类点拨】在正态分布 中, 为总体的平均数, 为总体的标准差,另外,正态分布 在 的概率为 ,在 内取值的概率为 。解题时,应当注意正态分布 在各个区间的取值概率,不可混淆,否则,将出现计算失误。
四、典型习题导练
1、一笼子中装有2只白猫,3只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可能出来。(Ⅰ)第三次出来的是只白猫的概率;(Ⅱ)记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为 ,试求 的概率分布列及期望。
【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ)设笼中所剩黑猫数为 ,则: =0,1,2,3,其概率分布列如下:
  0 1 2 3
P        
 
2、深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球), 3 个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2 个球,用完后放回.(Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望;(Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.
(Ⅱ)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件 .
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 .而事件 、 、 互斥,
所以, .由条件概率公式,
得 ,…9分
 ,……10分
 .………11分
所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 .…12分

3、黄山风景区某旅游超市销售不同价格的两种纪念品,一种单价10元,另一种单价15元,
超市计划将这两种纪念品共4件(两件10元,两件15元)在超市入口和出口处展出销售,假设光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品,且选购单价10元和15元的纪念品是等可能的.(Ⅰ)若每处各展出一件10元的纪念品和一件15元的纪念品,则该游客只选购了一件纪念品且单价为15 元的概率是多少?(Ⅱ)若每处至少展出一件纪念品,记该游客只选购了一件纪念品且单价为15元的概率为 ,怎样分配展出能使 的值最大?并求出 的最大值;(Ⅲ)若每处随机的各展出两件纪念品, 该游客从这两处各选购了一件纪念品,记该游客选购纪念品的消费总金额为 元,求随机变量 的分布列,并求出 的数学期望.
 4、盒中有大小相同的编号为1,2,3,4,5,6的六只小球,规定:摸一次需1元,从盒中摸出2只球,如果这2只球的编号均能被3整除,则获一等奖,奖金10元,如果这2只球的编号均为偶数,则获二等奖,奖金2元,其他情况均不获奖(Ⅰ)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率;(Ⅱ)若有2人参加摸球游戏,按规定每人摸一次,摸后放回,2人共获奖金X元,求X的分布列及期望
【解析】(Ⅰ)设摸一次得一等奖为事件A,摸一次得二等奖为事件B,则 ,
某人摸一次且获奖为事件 ,显然A、B互斥所以
故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:
 【解析】(Ⅰ)设学生“跳高得 ,跳远得 ”记为事件 , “跳高得 ,跳远得 ”记为事件 ,
则 (2分)所以该学生恰好得到一个 和一个 的概率为
 。(4分)
(Ⅱ)由题意, 的所有可能取值是10,15,20,20,25,30。

 
 (8分)则 的分布列为
  10 15 20 25 30
          
  的数学期望为 。(12分)
6、某电视台有A、B两种智力闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏A,丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为 ,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 .(Ⅰ)求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率;(Ⅱ) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为 ,求 的分布列和期望.
 7、盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分 . 现从盒内任取3个球(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(Ⅲ)设 为取出的3个球中白色球的个数,求 的分布列和数学期望.
8、如图3, 两点之间有 条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为 .
从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,
设这三条网线通过的最大信息量之和为
(Ⅰ)当 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率;
(Ⅱ)求 的分布列和数学期望.
(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识,  考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
【解析】(Ⅰ)从6条网线中随机任取三条网线共有 种情况… 1分
∵ , ∴ … 2分
∵ , ∴ … 3分
∵ , ∴ .… 4分
∵ , ∴ .……… 5分
∴   .
 9、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 局 胜制(即先胜 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(Ⅰ)求甲以 比 获胜的概率;(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于 局的概率;(Ⅲ)求比赛局数的分布列.
【解析】(Ⅰ):由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 …1分
记“甲以 比 获胜”为事件 ,则 .……4分
(Ⅱ):记“乙获胜且比赛局数多于 局”为事件 . 因为乙以 比 获胜的概率为
 , 6分  乙以 比 获胜的概率为 ,…7分
所以  …8分
(Ⅲ)解:设比赛的局数为 ,则 的可能取值为 .
 ,…9分 ,……10分
 ,…11分 .…12分
比赛局数的分布列为:
 ; ;
 .    ……11分 随机变量 的分布列为:
  0 1 2 3 4
          
                                                ………………………12分
所以 ……………………13分
 11、2012年2月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示:
⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数值);⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求他们贷款年限相同的概率;
⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变,在这段时间里,每星期都从借贷客户中选出一人,记 表示其中贷款年限不超过20年得人数,求 .新课标第一网
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.
【解析】⑴平均年限 . (4分)                                           
⑵所求概率 .    (8分)
⑶由条件知 ,所以 .  (12分)
12、为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.(Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
分组(单位:岁) 频数 频率


【解析】(Ⅰ)①处填20,②处填0.35;补全频率分布直方图如图所示.

 
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为500×0.35=175.……(4分)
 13、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到频率分布表如下表所示。
 
(1)请求出①②位置相应的数字,填在答题卡相应位置上,并补全频率分布直方图;
(2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试,求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试;假定考生“XXX”笔试成绩为178分,但不幸没入选这100人中,那这样的筛选方法对该生而言公平吗?为什么? (3)在(2)的前提下,学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试,设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为 ,求 的分布列和数学期望.
【解析】(1)由题意知, 组频率总和为 ,故第 组频率为 ,即①处的数字为 ;  ……1分
总的频数为 ,因此第 组的频数为 ,即②处数字为 ……2分频率分布直方图如下:
  (2)第 组共 名学生,现抽取 人,因此第 组抽取的人数为: 人,第 组抽取的人数为: 人,第 组抽取的人数为: 人.    ……7分
公平:因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 人,每个人被抽到的概率是相同的. …8分(只写“公平”二字,不写理由,不给分)
(3) 的可能取值为                 
  的分布列为:
……11分
 ……12分
 【解析】(Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 天,
所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为    .…………………4分
  (Ⅱ)随机变量 的可能取值为 ,则
    , ,
   所以 的分布列为:      
      
      

15、户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,对本单位的50名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表:
 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男性  5 
女性 10  
合计   50
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 .(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;(Ⅱ)是否有99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由;(Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的10名女性员工中,有4人还喜欢瑜伽.若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人,记 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 的分布列和数学期望.下面的临界值表仅供参考:
  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
  2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( )
 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男性 20 5 25
女性 10 15 25
合计 30 20 50
【解析】 (Ⅰ)  在全部50人中随机抽取1人的概率是 , 喜欢户外活动的男女员工共30,其中,男员工20人,列联表补充如下
                                                                         
 
16、在某医学实验中,某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:
动物编号 1 2 3 4 5 6
用药量x(单位) 1 3 4 5 6 8
抗体指标y
(单位) 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3
记 为抗体指标标准差,若抗体指标落在 内则称该动物为有效动物,否则称为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归方程,再对被选取的两只动物数据进行检验.
 【解析】(Ⅰ) .故1、6号为无效动物,2、3、4、5号为有效动物 ----2分
        所以随机变量 的取值为0,1,2         记从六只动物中选取两只所有可能结果共有 15种.               ----5分
  0 1 2
P     
分别列为   

期望              ---6分  
 17、一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 的函数: , , , , , . (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 的分布列和数学期望.
 18、“肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名。”某科研所为进一步改良肇实,为此对肇实的两个品种(分别称为品种A和品种B)进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘分成n小片水塘,在总共2n小片水塘中,随机选n小片水塘种植品种A,另外n小片水塘种植品种B.
(1)假设n=4,在第一大片水塘中,种植品种A的小片水塘的数目记为 ,求 的分布列和数学期望;
(2)试验时每大片水塘分成8小片,即n=8,试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量(单位:kg/亩)如下表:
 号码 1 2 3 4 5 6 7 8
品种A 101 97 92 103 91 100 110 106
品种B 115 107 112 108 111 120 110 113
分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
【解析】(1) 可能的取值为0,1,2,3,4. (1分) , , ,
 , 即 的分布列为
  0 1 2 3 4
P         
                                                                (4分)
 的数学期望为     (6分)
 19、某地农民种植A种蔬菜,每亩每年生产成本为7000元,A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响。预计明年雨水正常的概率为 ,雨水偏少的概率为 。若雨水正常,A种蔬菜每亩产量为2000公斤,单价为6元/公斤的概率为 ,单价为3元/公斤的概率为;若雨水偏少,A种蔬菜每亩产量为1500公斤,单价为6元/公斤的概率为,单价为3元/公斤的概率为 .(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率;(2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户,订单农业”的生产模式,某公司为不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后,产量不受天气影响,预计每亩产量为2500公斤,农民生产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民每亩预期收入增加1000元,收购价格至少为多少?
   ,…11分
设收购价格为 元/公斤,农民每亩预期收入增加1000元,则 ,
即 ,所以收购价格至少为 元/公斤.………12分
20、甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(无平局),比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 
(I)如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S,T的程序框图.
其中如果甲获胜,输人a=l.b=0;如果乙获胜,则输人a=0,b=1.
请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件?(Ⅱ)求p的值;
(Ⅲ)设 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列和
【解析】(Ⅰ)程序框图中的①应填 ,②应填 .
(注意:答案不唯一.)……………2分
(Ⅱ)依题意得,当甲连胜2局或乙连胜2局时,
第二局比赛结束时比赛停止.
所以 ,解得:  或 ,
因为 ,所以 ……6分
 

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