江西师大附中高三数学开学考试卷(理)及答案

时间:2012-02-18 作者:佚名 试题来源:网络

江西师大附中高三数学开学考试卷(理)及答案

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江西师大附中高三数学(理)开学考试试卷
    2012.1.

一、选择题(本大题共 10个小题,每小题5分,共50分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数z满足 (i是虚数单位),则z =(    )
A.   B.   C.   D.  
2.平面α⊥平面β, α∩β=l, 点P∈α, 点Q∈l, 那么PQ⊥l是PQ⊥β的 (     )
 A.充分但不必要条件        B.必要但不充分条件
 C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10:S5=1:2,则S15:S5= (     )
A. 1:2 B. 1:3
C. 2:3             D. 3:4
4.如图给出的是计算 的值的一个程序框图,
其中判断框内应填入的条件是 (     )
 A.i>10       B.i<10          
  C.i>20             D.i<20
5.将函数 的图象向右平移 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍,所得图象关 于直线  对称, 则 的最小正值为  (       )
A.           B.              C.            D. 
6.若函数 在 上可导,且  ,则 (     )
A.       B.      C.      D.无法确定
7.若点 是 的外心,且 , ,则实数 的值为(     )
 A.     B.      C.     D. 
8.由曲线 和直线   
所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 (     )  
A.                    B. 
C.                    D.
9.已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆 (a>b>0)的右焦点交椭圆于A.B两点,P为直线 上任意一点,则∠APB为  (     ) 
 A.钝角     B.直角      C.锐角       D.都有可能
10.已知 ,实数 、 、 满足  ,(0< < < )若实数 是函数y= 的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是(     )
A.             B.            C.              D. 

二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分 .)
  11.设 ,则 的最小值为              .
12.已知变量 满足约束条件 ,若目标函数 (其中 )仅在点 处取得最大值,则 的取值范围是          .
13.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.则它的体积为            .
14.对于定义在R上的函数f(x),有下述命题:
 ①若f(x)为奇函数,则 的图象关于点A(1,0)对称;
 ②若对x∈R,有 = ,则f(x)的图象关于直线x=1对称;
 ③若函数 的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;
 ④函数 与函数 的图象关于直线x=1对称.
 其中正确命题的序号是______________. 
15.(不等式选做题)
若不等式 ,对满足 的一切实数 恒成立,则实数 的取值范围是                .

三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明  .证明过 程或演算步骤.)
16.(本题满分12分)已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为 ,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程. 17.(本题满分12分)设 、  、 分别是△ABC三个内角 A、 B、 C的对边,若向量 , 且  .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的最大值.


18.(本题满分12分)已知斜三棱柱 的底面是直角三角形, ,侧棱与底面所成角为 ,点 在底面上射影D落在BC上.
(Ⅰ)求证: 平面 ; 
(Ⅱ)若点D恰为BC中点,且 ,求 的大小 ;
(III)若 ,且当 时,求二面角 的大小.
 

19.(本题满分12分)已知平面上一定点C(4,0)和一定直线 为该平面上一动点,作 ,垂足为Q,且(
(Ⅰ)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(Ⅱ)设直线 与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使 得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由

 
20.(本题满分13分)已知函数 , 
(Ⅰ)若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)令 ,是否存在实数 ,当  ( 是自然常数)时,函数 的最小值是3,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由;
(III)当  时,证明: 
 


21.(本题满分14分)在数列 中, ,其中 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 ;
(Ⅲ)证明存在 ,使得 对任意 均成立.
 

江西师大附中高三(理)数学答案2012.1.30
一、选择题  ACDAB  CDDCD
 二、填空题  11.8     12.(1,+∞)     13.72      14.①③       15.
三、解答题
16.(本题满分12分)已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为 ,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.
解:设点P的坐标为(x,y),由题设有 , 即 .
整理得  x2+y2-6x+1=0.  ①
因为点N到PM的 距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为± ,
直线PM的方程为y=± (x+1).     ②
将②式代入①式整理得x2-4x+1=0.解得x=2+ ,x=2- .
代入②式得点P的坐标为(2+ ,1+ )或(2- ,-1+ );
(2+ ,-1- )或(2- ,1- ).∴直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1.
1 7.(本题满分12分)设 、 、 分别是△ABC三个内角 A、 B、 C的对边,若向量   , 且 .
   (Ⅰ)求 的值;
   (Ⅱ)求 的最大值.
解:(Ⅰ) 由 ,得
即    ,   亦即   
所以    
   (Ⅱ) 因 ,
而 , 所以, 有最小值 .
当 时,取得最小值.  又 ,则 有最大值 .
故 的最大值为 .
18.(本题 满分12分)已知斜三棱柱 的底面是直角三角形, ,侧 棱与底面所成角为 ,点 在底面上射影D落在BC上.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)若点D恰为BC中点, 且 ,求 的大小 ;
(III)若 ,且当 时,求二面角 的大小.
解:(I)∵B1D⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴
又∵ , ,∴AC⊥平面 
(II)
∴四边形 为菱形,    又∵D为BC的中点 ,
∴ 为侧棱和底面所成的角 ,∴
∴ ,即侧棱与底面所成角 .
(III)以C为原点,CA为x轴CB为y轴,过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴,建立空间直角坐标系,
则A(a,0,0),B(0,a,0), ,平面ABC的法向量 ,设平面ABC1的法向量为 ,
由 ,即 ,    , 
∵二面角 大小是锐二面角, ∴二面角 的大小是 .   
19.(本题满分12分)已知平面上一定点C(4,0)和一定直线 为该平面上一动点,作 ,垂足为Q,且(
(Ⅰ)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程; 
(Ⅱ)设直线 与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使 得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由
解:(Ⅰ)设P的坐标为 ,由   得
∴( 化简得    ∴P点在双曲线上,其方程为
(Ⅱ)设A、B点的坐标分别为 、 ,由   得
 , ∵AB与双曲线交于两点,∴△>0,
即   解得
∵若以AB为直径的圆过D(0,-2),则AD⊥BD,  ∴ ,即
∴   ∴  
∴ ,        即存在 符合要求.
20.(本题满分13分)已知函数 , 
  (Ⅰ)若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围;
  (Ⅱ)令 ,是否存在实数 ,当  ( 是自然常数)时,函数 的最小值是3,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由;
  (III)当  时,证明: 
解:(Ⅰ) 在 上恒成立,
 令  ,有   得    得  .
   (Ⅱ)假设存在实数 ,使 ( )有最小值3,
  
①当 时, 在 上单调递减, , (舍去),
②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增
  , ,满足条件. 
③当 时, 在 上单调递减, , (舍去),
综上,存在实数 ,使得当 时 有最小值3.  
(III)令 ,由(2)知, .令 , ,
当 时, , 在 上单调递增 
∴       即 
21.(本题满分14分)在数列 中, ,其中 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 ;
(Ⅲ)证明存在 ,使得 对任意 均成立.
解:  (Ⅰ)解法一: ,   ,
 .由此可猜想出数列 的通项公式为 .
以下用数学归纳法证明.
(1)当 时, ,等式成立.
(2)假设当 时等式成立,即 ,
那么   .
这就是说,当 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 对任何 都成立.
解法二:由 , ,可得 ,
所以 为等差数列,其公差为1,首项为0,故 ,所以数列 的通项公式为 . 
(Ⅱ)解:设 ,   ①
            ②
当 时,①式减去②式,
得 ,
 .
这时数列 的前 项和 .
当 时, .这时数列 的前 项和 .
(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 的第一项 最大,下面证明:
 .    ③
由 知 ,要使③式成立,只要 ,
因为
 
 . 
所以③式成立.
因此,存在 ,使得 对任意 均成立.

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