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江苏省木渎中学2010-2011学年第二学期高二数学下册期末复习测试题及答案

江苏省木渎中学2010-2011学年第二学期期末考试
高二数学模拟试卷十一(理)
一、填空题:共14小题,每题5分。请考生把相应的答案填写在指定位置。
1.  用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,应假设       
2.复数 (i是虚数单位)的实部是         
3.直线 与直线 平行,则实数 的值为       
4.已知 ,则       
5. 的展开式中的常项是             。(用数字作答)
6.已知直线l⊥平面α,直线m 平面β,下面有三个命题:
①α∥β l⊥m;    ②α⊥β l∥m;   ③l∥m α⊥β,
则真命题的序号为        .
7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训,则不同的选派方式有      种
8. 若抛物线 的焦点也是双曲线 的一个焦点,则        。
9.  若函数 在 上是增函数,则m的取值范围是         .
10. 将边长为a的正方体ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为         .
11. 若关于x的方程kx-lnx=0有解,则k的取值范围是         .
12. 点 是椭圆 上的点,以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ,圆 与 轴相交于 ,若 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围
是          
13. 若函数 在区间 上是单调递增函数,则使方程 有整数解的实数 的个数是          
14. 已知函数 ,
设 ,且函数 的零点均在区间 内,
则 的最小值为         .
 
二、解答题:本大题共6题,共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分14分) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,
AC=BC,点D是AB的中点。
   (I)求证:CD⊥平面A1ABB1;
   (II)求证:AC1//平面CDB1。
 

16.(本小题满分14分) 在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某同学判断正确的概率为 ,判断错误的概率为 ,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该同学答完  题后总得分为 ”.
  (1)当 时,记 ,求 的分布列及数学期望及方差;
 (2)当 时,求 的概率.
 
17. (本题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,其中 ,AB∥CD, BC=CD=2AB=2,侧面PAB⊥底面ABCD,且  ,棱PB与底面ABCD所成角为 ,
(I)求二面角B—PC—D的大小。
(II)若存在一个球,使得P,B,C,D四点都在此球面上,
求该球的体积。


18.(本题满分16分)
已知 (其中 )
(1)求 及 ;(2) 试比较 与 的大小,并说明理由.
 
19.(本题满分16分)已知在△ 中,点 、 的坐标分别为 和 ,点 在 轴上方.
(Ⅰ)若点 的坐标为 ,求以 、 为焦点且经过点 的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ ,求△ 的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线 上任取一点 ,从点 向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为 . 问是否存在一个定点 ,恒有 ?请说明理由.
 

20.(本小题满分16分)已知函数 (a,b均为正常数).
(1)求证:函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)设函数在 处有极值.
①对于一切 ,不等式 恒成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间 上是单调增函数,求实数m的取值范围.
 
江苏省木渎中学2010-2011学年第二学期期末考试
高二数学模拟试卷十一(理)
一、填空题:共14小题,每题5分。请考生把相应的答案填写在指定位置。
1.  用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,应假设       
   解:三角形的三个内角全大于60度
2.复数 (i是虚数单位)的实部是         
解:
3.直线 与直线 平行,则实数 的值为       
   解:1
4.已知 ,则       
 解:7
5. 的展开式中的常项是             。(用数字作答)
 解:112
6.已知直线l⊥平面α,直线m 平面β,下面有三个命题:
①α∥β l⊥m;    ②α⊥β l∥m;   ③l∥m α⊥β,
则真命题的序号为        .
解:①③ 
7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第1期培训,则不同的选派方式有      种
 解:12
8. 若抛物线 的焦点也是双曲线 的一个焦点,则        。
 解:8
9.  若函数 在 上是增函数,则m的取值范围是       .
解: 
10. 将边长为a的正方体ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为         .
 解:
11. 若关于x的方程kx-lnx=0有解,则k的取值范围是       .
解:
12. 点 是椭圆 上的点,以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ,圆 与 轴相交于 ,若 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围
是          
解:
13. 若函数 在区间 上是单调递增函数,则使方程 有整数解的实数 的个数是              
解: 4
14. 已知函数 ,
设 ,且函数 的零点均在区间 内,
则 的最小值为    9   .
解:令    故:
 当x<0时,显然     
又f(-1)<0   f(0)>0  故f(x)=0    x在(-1,0)上    f(x+3)=0  x在(-4,-3)上
  g(1)>0    g(2)<0   故g(x)=0    x在(1,2)上    g(x-3)=0  x在(4,5)上
故F(x)=0    x在(-4,5)上     b=5  a=-4
二、解答题:本大题共6题,共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分14分) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,
AC=BC,点D是AB的中点。
   (I)求证:CD⊥平面A1ABB1;
   (II)求证:AC1//平面CDB1。
证明:(I)证明:∵ABC—A1B1C1是三直棱柱,
∴平面ABC⊥平面A1ABB1,∵AC=BC,点D是AB的中点,
∴CD⊥AB,平面ABC∩平面A1ABB1=AB,∴CD⊥平面A1ABB1。
   (II)证明:连结BC1,设BC1与B1C的交点为E,连结DE。
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE//AC1。
∵DE 平面CDB1,AC 平面CDB1,
∴AC1//平面CDB1。
16.(本小题满分14分) 在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某同学判断正确的概率为 ,判断错误的概率为 ,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该同学答完  题后总得分为 ”.
  (1)当 时,记 ,求 的分布列及数学期望及方差;
 (2)当 时,求 的概率.
16.(1) 的取值为1,3,又 ;   
故 , .
所以 ξ的分布列为:
  1 3
    
且  =1× +3× = ;
(2)当S8=2时,即答完8题后,回答正确的题数为5题,回答错误的题数是3题, 
又已知 ,若第一题和第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第一题和第二题回答错误,第三题回答正确 ,则后5题可任意答对题.   
此时的概率为 .

17. (本题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,其中 ,AB∥CD, BC=CD=2AB=2,侧面PAB⊥底面ABCD,且  ,棱PB与底面ABCD所成角为 ,
(I)求二面角B—PC—D的大小。
(II)若存在一个球,使得P,B,C,D四点都在此球面上,
求该球的体积。
17.解:(I)在平面PAB内,过点P作BA的垂线,交BA的延长线于点O
 侧面PAB⊥底面ABCD,PO⊥AB,棱AB与底面ABCD所成角为
 PO⊥面ABCD,
  , BO=2
又  ,AB∥CD,BC=CD=2,
 四边形OBCD是正方形                                       ……(3分)
如图,以点O为坐标原点,以OB所在的直线为x轴,以OD所在
的直线为y轴,以OP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系。
则A(1,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)
 
设面PBC的法向量为 ,面PCD的法向量为
由   有  
令 ,解得:
同理,可得
                   ……(7分)
所以二面角B—PC—D为120°。               ……(9分)
(II)取PC中点M(1,1,1),则易求得点M到P,B,C,D四点的距离都相等, …(10分)
所以,P,B,C,D四点在以点M为球心,以PC为直径的球上。           ……(12分)
 
 所球的体积为                                  ……(14分)
注:其它解法,参照评分标准给分。
18.(本题满分16分)
已知 (其中 )
(1)求 及 ;(2) 试比较 与 的大小,并说明理由.
18.解:(1)令 ,则 ,令 ,
则  ,∴ ;                ----------------------5分
(2)要比较 与 的大小,即比较: 与 的大小,
当 时, ;当 时, ;
当 时, ;               -----------------------------------8分
猜想:当 时 时, ,下面用数学归纳法证明:
由上述过程可知,  时结论成立,
假设当  时结论成立,即 ,
两边同乘以3 得:
而 ∴
即 时结论也成立,
∴当 时, 成立.
综上得,当 时, ;
当 时, ;当 时,  -----16分
19.(本题满分16分)已知在△ 中,点 、 的坐标分别为 和 ,点 在 轴上方.
(Ⅰ)若点 的坐标为 ,求以 、 为焦点且经过点 的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ ,求△ 的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线 上任取一点 ,从点 向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为 . 问是否存在一个定点 ,恒有 ?请说明理由.
 

20.(本小题满分16分)已知函数 (a,b均为正常数).
(1)求证:函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)设函数在 处有极值.
①对于一切 ,不等式 恒成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间 上是单调增函数,求实数m的取值范围.
【证】(1)因为 ,
 ,
所以函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点.              …………………………4分
【解】(2) .                          …………………………5分
因为函数在 处有极值,所以 ,即 ,所以a=2.
于是 .                              …………………………6分
① ,
于是本小题等价于 对一切 恒成立.
记 ,则
因为 ,所以 ,从而 ,
所以 ,所以 ,即g(x)在 上是减函数.
所以 ,于是b>1,故b的取值范围是 ………………… 10分
② ,
由 得 ,即   ……………………… 12分
因为函数f(x)在区间 上是单调增函数,
所以 ,
则有    即
只有k=0时, 适合,故m的取值范围是     ………………… 16分
 

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