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高二数学下册期末复习测试题及参考答案

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2010-2011学年广州86中高二下期末
数学(理科)模拟考试1
          学号                班级             姓名                评价          

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
1.设 则
(A)   (B)    (C)    (D)
解析: ,故答案选D,本题主要考察了集合的基本运算,属容易题
2.已知函数  若   =
(A)0    (B)1    (C)2    (D)3
解析: +1=2,故 =1,选B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题
3.设i为虚数单位,则
(A)-2-3i   (B)-2+3i      (C)2-3i   (D)2+3i
解析:选C,本题主要考察了复数代数形式的四则运算,属容易题
4.某程序框图所示,若输出的S=57,则判断框内为
(A) k>4? (B) k>5?    (C) k>6?    (D) k>7? 
解析:选A,本题主要考察了程序框图的结构,以及与数列有关的简单运算,属容易题
5.设 为等比数列 的前n项和, 则
(A)-11   (B)-8       (C)5   (D)11
解析:通过 ,设公比 为 ,将该式转化为 ,解得 =-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
6.设0<x< ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的
(A)充分而不必要条件       (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件           (D)既不充分也不必要条件
解析:因为0<x< ,所以sinx<1,故xsin2x<xsinx,结合xsin2x与xsinx的取值范围相同,可知答案选B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属中档题
                           x+3y-3≥0,
7.若实数x,y满足不等式组   2x-y-3≤0,则x+y的最大值为
                           x-y+1≥0,
(A)9        (B)        (C)1        (D)
解析:将最大值转化为y轴上的截距,可知答案选A,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题
8.已知x是函数f(x)=2x+  的一个零点.若 ∈(1, ), ∈( ,+ ),则
(A)f( )<0,f( )<0    (B)f( )<0,f( )>0
(C)f( )>0,f( )<0    (D)f( )>0,f( )>0
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9.函数 的最小正周期是          .
解析:对解析式进行降幂扩角,转化为 ,可知其最小正周期为 ,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题。
10.已知平面向量 则 的值是       .
解析: ,由题意可知 ,结合 ,解得 ,所以 2= ,开方可知答案为 ,本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
11. )函数 的值域为              .  
12若正实数X,Y  满足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是          .
解析:运用基本不等式, ,令 ,可得 ,注意到t>0,解得t≥ ,故xy的最小值为18,本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ,以及换元思想和简单一元二次不等式的解法,属中档题
13. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元,则,x 的最小值       .
解析:20;本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力,属中档题

14.在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ=  与  的交点的极坐标为______.
. .由极坐标方程与普通方程的互化式 知,这两条曲线的普通方程分别为 .解得 由 得点(-1,1)的极坐标为 .

三.解答题:本大题共6小题,共80分。
15.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足     (Ⅰ)求角C的大小;  (Ⅱ)求 的最大值。
解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能力。
 (Ⅰ)解:由题意可知 absinC= ,2abcosC.,所以tanC= .因为0<C< ,所以C= .
(Ⅱ)解:由已知sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin( -A)
 =sinA+ cosA+ sinA= sin(A+ )≤ .
当△ABC为正三角形时取等号,所以sinA+sinB的最大值是 .

16.(14分)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足 +15=0。 (Ⅰ)若 =5,求 及a1;   (Ⅱ)求d的取值范围。
解析:本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。
(Ⅰ)解:由题意知S6= =-3,A6=S6-S5=-8所以
解得a1=7所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,  即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.  所以d2≥8.[   故d的取值范围为d≤-2 或d≥2 .
17.(14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°。E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F为线段A’C的中点。
(Ⅰ)求证:BF∥平面A’DE;
(Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。


解析:本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。
 (Ⅰ)证明:取A′D的中点G,连结GF,CE,由条件易知
FG∥CD,FG= CD.BE∥CD,BE= CD.
所以FG∥BE,FG=BE. 

故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG
 因为 平面 ,BF 平面
所以 BF//平面
(Ⅱ)解:在平行四边形,ABCD中,设BC=a 则AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,
  连CE  因为   在△BCE中,可得CE= a,  在△ADE中,可得DE=a,
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE, 在正三角形A′DE中,M为DE中点,所以A′M⊥DE.   由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中点N,连线NM、NF,
所以NF⊥DE,NF⊥A′M., 因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.在Rt△FMN中,NF= a, MN= a, FM=a,
则cos = .所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为 .
18.如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.  (Ⅰ)求p;  (Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率。      (Ⅲ) 表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求 的期望.
 
【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
 
【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引起高度重视.
19..(14分)已知函数 (a-b) <b)。
(I)当a=1,b=2时,求曲线 在点(2, )处的切线方程。
(II)设 是 的两个极值点, 是 的一个零点,且 ,
证明:存在实数 ,使得  按某种顺序排列后的等差数列,并求 .
解析:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。
(Ⅰ)解:当a=1,b=2时,因为f’(x)=(x-1)(3x-5)故f’(2)=1f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2
(Ⅱ)证明:因为f′(x)=3(x-a)(x- ),由于a<b.,故a< .
所以f(x)的两个极值点为x=a,x= .[不妨设x1=a,x2= ,
因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b.
又因为 -a=2(b- ),x4= (a+ )= ,
所以a, , ,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4= .
20.(本题满分15分)已知m是非零实数,抛物线 (p>0)
的焦点F在直线 上。(I)若m=2,求抛物线C的方程
(II)设直线 与抛物线C交于A、B,△A ,△ 的重心分别为G,H
求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。
解析:本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
(Ⅰ)解:因为焦点F( ,0)在直线l上,得 又m=2,故 所以抛物线C的方程为
设A(x1,y1) ,  B(x2,y2)由 消去x得y2-2m3y-m4=0,
由于m≠0,故 =4m6+4m4>0,且有y1+y2=2m3,y1y2=-m4,
设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,
由于2 可知G( ),H( ),
所以  所以GH的中点M .
设R是以线段GH为直径的圆的半径,则
设抛物线的标准线与x轴交点N ,则
= m4(m4+8 m2+4)= m4[(m2+1)( m2+4)+3m2]> m2 (m2+1)( m2+4)=R2.
故N在以线段GH为直径的圆外.

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