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高二数学下册抛物线单元训练题及答案

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课时训练48  抛物线
【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟.
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.(2010江苏南通九校模拟,2)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为(    )
A.                     B.-                C.4                    D.-4
答案:B
解析:y=ax2 x2= y,又准线方程为y=1,故- =1,a=- .
2.(2010江苏苏州一模,5)抛物线y= x2的焦点坐标是(    )
A.(0, )                                 B.( ,0)
C.(1,0)                                   D.(0,1)
答案:D
解析:y= x2 x2=4y,其焦点为(0,1).
3.(2010中科大附中模拟,7)已知抛物线的顶点为原点,焦点在y轴上,抛物线上点(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为(    )
A.4                      B.-2                 C.4或-4                  D.2或-2
答案:C
解析:设抛物线方程为x2=-2py,(p>0),则 -(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x2=-8y,m2=-8×(-2),m=±4.
4.(2010湖北黄冈一模,11)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于(    )
A.4p                     B.5p                  C.6p                    D.8p
答案:A
解析:|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ +x2+ =x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.
5.(2010江苏南通九校模拟,9)已知点P(m,3)是抛物线y=x2+4x+n上距点?A(-2,0)最近一点,则m+n等于(    )
A.1                      B.3                   C.5                      D.7
答案:C
解析:由已知得P为抛物线的顶点(-2,3),故3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5.
6.(2010浙江联考,7)一动圆圆心在抛物线x2=4y上,过点(0,1)且恒与定直线l相切,则直线l的方程为(    )
A.x=1                    B.x=                C.y=-1                   D.y=-
答案:C
解析:根据抛物线定义,圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等,故l为准线y=-1.
7.(2010北京东城区一模,8)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是A( ,4),则|PA|+|PM|的最小值是(    )
A.                     B.4                    C.                     D.5
答案:C
解析:|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+ - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = - = .
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有_____________条.
答案:3
解析:两条切线和一条平行于对称轴的直线,应填3.
9.过抛物线y2=4x的焦点F,作倾角为 的弦AB,则AB的长是_____________.
答案:
解析:利用结论|AB|= .
10.(2010湖北十一校大联考,16)设PQ是抛物线y2=2px(p>0)上过焦点F的一条弦,l是抛物线的准线,给定下列命题:①以PF为直径的圆与y轴相切;②以QF为直径的圆与y轴相切;③以PQ为直径的圆与准线l相切;④以PF为直径的圆与y轴相离;⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是:________________________.
答案:①②③
解析:设P(x1,y1),PF中点为A( ),A到y轴的距离为 |PF|,故①正确;同理②也正确;又|PQ|=x1+x2+p,PQ的中点B( )到准线的距离为 ,故③正确,④⑤错误.
三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证:|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明:如右图,焦点F的坐标为F( ,0).
 
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立,消去y并整理,得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|,根据抛物线的定义,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析:因|AB|= 的定义域是0<θ<π,又sin2θ≤1,
所以,当θ= 时,|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分,求证: 为定值,本题若推广到椭圆、双曲线,你能得到什么结论?
解析:(1)当AB⊥x轴时,m=n=p,
∴ = .
(2)当AB不垂直于x轴时,设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB方程代入抛物线方程,得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,

∴ =
= .
本题若推广到椭圆,则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线,则要求弦AB与双曲线交于同一支,此时,同样有 = (e为双曲线的离心率).
13.如右图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点,且?|MA|=|MB|.
 
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明:设M(y02,y0),直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k,
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0•yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析:当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,所以k=1,由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y),则有
 
消去参数y0,得y2=  (x>0).
14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足 =?t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
(1)求证: ⊥ ;
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,故点C的轨迹方程是:y+3= •(x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12,
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2)解析:存在点P(4,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知:弦所在的直线的斜率不为零,
故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入y2=x,得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA•kOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y),
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为: 消去k,得y2=2x-8.
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圆锥曲线的由来
    圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线与双曲线的总称,它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面截圆锥面得到,圆锥曲线也因此而得名.
    圆锥曲线是继直线、圆以后人类认识比较早的一类曲线.早在两千多年前,古希腊的数学家就开始详细研究圆锥曲线.他们曾用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,即用垂直于圆锥母线的平面截圆锥面,当圆锥的顶角为直角、锐角或钝角时,分别得到抛物线、椭圆和双曲线.公元前3世纪,希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonus)首次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线,并创立了相当完美的圆锥曲线理论.
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