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高二数学下册圆锥曲线方程单元训练题及答案

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第八章  圆锥曲线方程
课时训练46  椭圆
【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟.
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.已知方程 +1=0表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(    )
A.(- , )                                 B.( ,3)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞)                           D.(-1,- )∪( ,3)
答案:D
解析:方程为 =1表示在y轴上的椭圆,故 -1<k<- 或 <k<3.
2.(2010江苏宿迁二模,9)设F1、F2为椭圆 y2=1的两个焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时, • 的值为(    )
A.0                     B.1                C.2                    D.
答案:A
解析:不妨设P(x0,y0)在第一象限,则 |F1F2|•y0=1又c= ,故y0= ,x0= .又F1(- ,0),F2( ,0),故 =(- - ,- ), =( - ,- ),∴ • =( + )( - )+?(- )2= -3+ =0.
3.(2010湖南十校联考,9)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为 ,则ab等于(    )
A.                    B.                C.                 D.
答案:A
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P(x0,y0),则 ,又 =-1, ,故 .
4.设椭圆 =1(m>0,且m≠2)的焦点为F1、F2,CD为过焦点F1的弦,则△CDF2的周长是(    )
A.2                   B.4              C.2           D.4
答案:D
解析:∵m2+4>4m,故a2=m2+4,△CDF2的周长为CD+CF2+DF2=CF1+CF2+DF1+DF2=4a=
4 .
5.已知A(-1,0),B(1,0),点C(x,y)满足 = ,则|AC|+|BC|是(    )
A.6                      B.4                  C.2                  D.不能确定
答案:B
解析:化简整理等式,会得到方程为椭圆方程,根据第一定义知|AC|+|BC|=2a=4;由圆锥圆线的第二定义知,动点到定点与到定直线的距离之比为e(e>1为双曲线,e<1为椭圆,e=1为抛物线).由 = 知动点P(x,y)到(1,0)与到定直线x=4的距离之比为 ,动点P的轨迹为椭圆.但此题需要验证B点为椭圆的另一个焦点,知c=1,e= ,∴a=2.∴|AC|+|BC|=4.
6.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若 =e,则e的值为(    )
A.                     B.               C.                 D.
答案:A
解析:如右图,设椭圆方程为 =1,则F1(-c,0),F2(c,0).抛物线准线方程为x=-3c,椭圆与抛物线交点为P(x0,y0),则|PF1|=e(x0+ )=ex0+a,|PF2|=x0+3c.∵ =e,∴ex0+a=e(x0+3c),a=3ec.∴e2= ,e= .
 
7.(2010江苏常熟模拟,3)已知椭圆 =1的左、右焦点是F1、F2,P是椭圆上的一点,线段PF1交y轴于点M,若|PF1|是|PF2|与?|F1F2|的等差中项,则 等于(    )
A.3                  B.2                  C.5                   D.4
答案:D
解析:∵2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,又|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=4,故|PF1|= ,|PF2|= ,又 =a+exp,xp= ,
∴ = =4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.椭圆 =1的长轴长是短轴长的2倍,则a的值为___________________.
答案:4或 .
解析:分两种情况:①a2>a时,据题意有a=2 a=4;②当a2<a时,a=2a a= .
9.在椭圆 =1(a>b>0)中,左焦点为F,右顶点为A,短轴上方端点为B,若该椭圆的离心率为 ,则∠ABF=________________.
 
答案:90°
解析:由 = 知 是方程x2+x-1=0的根,∴( )2+ =1=0 b2=ac,从而可知∠ABF=90°.
10.(2010江苏南京一模,15)椭圆 =1上一点P到右焦点(1,0)的距离为 ,则点P到x轴的距离为______________.
答案:
解析:|PF|=a-exp= ,又a=2,e= ,故xp=-1,|yp|= .
三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.A、B为椭圆x2+ y2=a2(a>0)上的两点,F2为右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,且A、B的中点P到左准线的距离为 ,求该椭圆的方程.
解:设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得:
|AF2|=ed1= d1,|BF2|= d2,
d= .
又2d=d1+d2,∴5a-3=2d.
又 a=|AF2|+|BF2|= (d1+d2),
∴d1+d2=2a.∴5a-3=2a,
∴a=1,
∴该椭圆的方程为x2+ y2=1.
12.已知以坐标原点为中心的椭圆,满足条件
(1)焦点F1的坐标为(3,0);
(2)长半轴长为5.
则可求得此椭圆方程为 =1(※)
问可用其他什么条件代替条件(2),使所求得的椭圆方程仍为(※)?请写出两种替代条件,并说明理由.
解析:①短半轴长为4;②右准线方程为x= ;③离心率为e= ;④点P(3, ) 在椭圆上;⑤椭圆上两点间的最大距离为10;……(答案是开放的)
13.设椭圆 2=1(a>b>0)的右焦点为F,斜率为1的直线l过点F,交椭圆于A、B两点,O为坐标原点.已知椭圆上存在一点C使 + = .
(1)求椭圆的离心率;
(2)若| |=15,求椭圆的方程.
解析:(1)直线l方程为y=x-c代入 =1(a>b>0),得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= ,y1+y2=-
∵ = + ,
∴C点的坐标为( ,- ).
∵C在椭圆上,∴ =1,即 =1.
∴4c2=a2+b2,∴5c2=2a2.∴e= .
(2)∵|AB|=|AF|+|BF|=(a-ex1)+(a-ex2)=2a-e(x1+x2)=2a- .
已知 a=15,
∴a=10,e= ,a=2 .∴b2=60.
∴椭圆方程为 =1.
14.设椭圆 +y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点M,使得 • =0.
(1)求实数m的取值范围;
(2)在直线l:y=x+2上存在一点E,使得?|EF1|+|EF2|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程;
(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,满足 = ,且使得过点N(0,-1)、Q的直线,有 • =0?若存在,求出k的取值范围,若不存在,说明理由.
解析:(1)∵|MF1|+|MF2|=2 ,|MF1|2+|MF2|2=4m,
而|MF1|2+|MF2|2≥ ,
∴4m≥2(m+1),解得m≥1.
(2)由
得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.
Δ=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0.
解得m≥2或m≤-1(舍去),∴m≥2.
此时|EF1|+|EF2|=2m+1≥2 ,
当且仅当m=2时|EF1|+|EF2|取得最小值2 ,此时椭圆方程为 +y2=1.
(3)设两点AB的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),中点Q(x,y),
则 +(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴AB中点Q的轨迹为直线
y=- x                                                                      ①
在椭圆内的部分.
又由 • =0,得过点N(0,-1),且斜率为- 的直线方程为y=- x-1,          ②
由①②可得点Q的坐标为( , ),
∵点Q必在椭圆内,
∴ <1.解得k2<1,
又k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).
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