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鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试题及答案

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鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)
1.设函数f(x)在 处可导,则 等于    (    C  )
A.        B.        C.-        D.-
2.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切
线的倾斜角为( C    )
A.90°      B.0°       C.锐角     D.钝角
3.函数y=x3-3x在[-1,2]上的最小值为 ( B )
 A、2 B、-2 C、0 D、-4
4.设函数 的导函数为 ,且 ,则 等于 (B  )
A、     B、    C、      D、
5.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( D )
  A、-1<a<2    B、-3<a<6    C、a<-1或a>2    D、a<-3或a>6
6、设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2 +1在区间(0,4)上是减函数,则 的取值范围是                                                 ( D  )
A、   B、    C、    D、
7、设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数y=f (x)
可能为        
8、对于R上可导的任意函数f(x),且 若满足(x-1) >0,则必有                                                          ( C  )
A、f(0)+f(2)2f(1)             B、f(0)+f(2)2f(1)
C、f(0)+f(2)>2f(1)             D、f(0)+f(2)2f(1)
9、已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数 ,有 ,则 的最小值为(C )
A.                B.        C.              D.
10、f( )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令g( )=af( )+b,则下 列关于函数g( )的叙述正确的是(B     )   
  A.若a<0,则函数g( )的图象关于原点对称.
  B.若a=-1,-2<b<0,则方程g( )=0有大于2的实根.
  C.若a≠0,b=2,则方程g( )=0有两个实根.
  D.若a≥1,b<2,则方程g( )=0有三个实根.
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.求 的导数                        
12.曲线S:y=3x-x3的过点A(2,-2)的切线的方程是y=-9x+16或y=-2           。
13. 设P为曲线C: 上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ,则点P横坐标的取值范围为                .
14.设函数 是 上以5为周期的可导偶函数,则曲线 在         处的切线的斜率为       0        
15. 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点,O是坐标原点,P是抛物线的弧 上求一点P,当△PAB面积最大时,P点坐标为   P(4,-4)        .
三、解答题(共6小题,,共75分)
16、(本题满分12分)对于三次函数 ,定义:设 是函数 的导函数 的导数,若 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”。现已知 ,请解答下列问题:
(1)求函数 的“拐点”A的坐标;
(2)求证 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明).

16、[解析](1) , .令 得
  ,  . 拐点
(2)设 是 图象上任意一点,则 ,因为 关于 的对称点为 ,把 代入 得
左边  ,
右边 
 右边=右边 在 图象上  关于A对称
猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。


17. (本题满分12分)已知函数 是 上的可导函数,若 在 时恒成立.
(1)求证:函数 在 上是增函数;
(2)求证:当 时,有 .
17. (1)由 得 因为 ,
所以 在 时恒成立,所以函数 在 上是增函数.
(2)由(1)知函数 在 上是增函数,所以当 时,
有 成立,
从而
两式相加得
18. (本题满分12分)已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小值;
(Ⅱ)若对所有 都有 ,求实数 的取值范围.

18. 解析: 的定义域为 , …………1分  
    的导数 .    ………………3分
令 ,解得 ;令 ,解得 .
从而 在 单调递减,在 单调递增.  ………………5分
所以,当 时, 取得最小值 .       ………………………… 6分
(Ⅱ)解法一:令 ,则 ,        ……………………8分
① 若 ,当 时, ,
故 在 上为增函数,
所以, 时, ,即 .…………………… 10分
② 若 ,方程 的根为  ,
此时,若 ,则 ,故 在该区间为减函数.
所以 时, ,
即 ,与题设 相矛盾.           ……………………13分
综上,满足条件的 的取值范围是 .  ……………………………………14分
解法二:依题意,得 在 上恒成立,
即不等式 对于 恒成立 .    ……………………8分
令 ,   则 .   ……………………10分
当 时,因为 ,  
故 是 上的增函数,   所以  的最小值是 , ……………… 13分
所以 的取值范围是 .   …………………………………………14分
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19、(本题满分12分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 到底面中心 的距离为多少时,帐篷的体积最大?
【注: 】
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19、解:设正六棱锥的高为x m,则正六棱锥底面边长为 (单位:m)。
………………2分
于是底面正六边形的面积为(单位:m2): 。
………………4分
帐篷的体积为(单位:m3):
 
………………8分
求导数,得 ;
令 解得x=-3(不合题意,舍去),x=1。           ………………10分
当0<x<1时, ,V(x)为增函数;当1<x<3时, ,V(x)为减函数。
所以当x=1时,V(x)最大。即当OO1为2m时,帐篷的体积最大。 …………12分

20. (本题满分13分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
   (Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
20. 解:(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
  即       解得a=1,b=0.        ∴f(x)=x3-3x.
   (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6分
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8分
   (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
         ∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足
因 ,故切线的斜率为 ,
整理得 .∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程 =0有三个实根.……………………10分
设g(x¬0)=  ,则g′(x0)=6 ,
由g′(x0)=0,得x0=0或x0¬=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)=  的极值点为x0=0,x0=1………………12分
∴关于x0方程 =0有三个实根的充要条件是
 ,解得-3<m<-2.故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
21. (本题满分14分)已知 ,其中 是自然常数,
(Ⅰ)讨论 时,  的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, ;
(Ⅲ)是否存在实数 ,使 的最小值是3,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
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21.解:(Ⅰ)  ,    ……1分
∴当 时, ,此时 单调递减
当 时, ,此时 单调递增    ……3分
∴ 的极小值为                          ……4分
(Ⅱ)  的极小值为1,即 在 上的最小值为1,
∴  ,                    ……5分
令 , ,  ……6分
当 时, , 在 上单调递增  ……7分
∴  
∴在(1)的条件下,            ……9分
(Ⅲ)假设存在实数 ,使 ( )有最小值3,
                        ……9分
① 当 时, 在 上单调递减, , (舍去),所以,此时 无最小值.             ……10分
②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增
 , ,满足条件.  ……11分
③ 当 时, 在 上单调递减, , (舍去),所以,此时 无最小值.综上,存在实数 ,使得当 时 有最小值3. 
 

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